重難點19數(shù)列的單調性、周期性、最值性質及其應用

【全國通用】

【題型1數(shù)列的單調性及其應用】...........................................................................................................................4

【題型2數(shù)列的周期性及其應用】...........................................................................................................................6

【題型3數(shù)列的最大（?。╉棥?..............................................................................................................................8

【題型4求數(shù)列前n項和Sn的最值】....................................................................................................................10

【題型5定義法求數(shù)列的最值】.............................................................................................................................12

【題型6函數(shù)法求數(shù)列的最值】.............................................................................................................................15

1、數(shù)列的單調性、周期性、最值性質及其應用

數(shù)列的性質及其應用是高考的熱點問題，也是重點問題，主要包括數(shù)列的單調性問題、數(shù)列的周期性

問題以及數(shù)列的最值問題這幾類問題.

從近幾年的高考情況來看，對數(shù)列的性質的考查也是高考的一個重要趨勢，所以在高考復習時要注意

加強對數(shù)列的性質的理解，對數(shù)列的幾類性質問題學會求解.

知識點1數(shù)列的概念與基本知識

1．數(shù)列的定義

一般地，把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，數(shù)列的第一個位

置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示

第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示.其中第1項也叫做首項.

．數(shù)列的分類

?2?

分類標準名稱含義舉例

有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,…,n

按項的個數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列1,0,1,0,1,0,…

從第2項起，每一項都大于它的前一

遞增數(shù)列3,4,5,6,…,n+2

項的數(shù)列

按項的變化趨勢

從第2項起，每一項都小于它的前一

遞減數(shù)列-1,-2,-3,…,-n

項的數(shù)列

常數(shù)列各項相等的數(shù)列0,0,0,0,…

從第2項起，有些項大于它的前一

擺動數(shù)列1,-2,3,-4,…

項，有些項小于它的前一項的數(shù)列

3．數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)

列的通項公式.

4．數(shù)列的遞推公式

(1)遞推公式的概念

如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推

公式.

(2)對數(shù)列遞推公式的理解

①與“不一定所有數(shù)列都有通項公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.

②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關于項的序號n的恒等式.如果

用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項.

③用遞推公式求出一個數(shù)列，必須給出：

基礎——數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)；

遞推關系——數(shù)列{an}的任意一項an與它的前一項an-1()(或前幾項)間的關系，并且這個關系可以用等

式來表示.

5．數(shù)列表示方法及其比較

優(yōu)點缺點

一些數(shù)列用通項公式表示比較

通項公式法便于求出數(shù)列中任意指定的一項，

困難

利于對數(shù)列性質進行研究

內容具體、方法簡單，給定項的序確切表示一個無窮數(shù)列或項數(shù)

列表法

號，易得相應項比較多的有窮數(shù)列時比較困難

能直觀形象地表示出隨著序號的變數(shù)列項數(shù)較多時用圖象表示比

圖象法

化，相應項的變化趨勢較困難

可以揭示數(shù)列的一些性質，如前后不容易了解數(shù)列的全貌，計算也

遞推公式法

幾項之間的關系不方便

6．數(shù)列的前n項和

數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作，即.

如果數(shù)列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個

數(shù)列的前n項和公式.

=.

知識點2數(shù)列的性質

1．數(shù)列的性質

(1)單調性

如果對所有的，都有，那么稱數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；如果對所有的，都有，

那么稱數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.

(2)周期性

如果對所有的，都有(k為正整數(shù))，那么稱{an}是以k為周期的周期數(shù)列.

(3)有界性

如果對所有的，都有，那么稱{an}為有界數(shù)列，否則稱{an}為無界數(shù)列.

知識點3數(shù)列的性質有關問題的解題策略

1．數(shù)列的單調性的判斷方法

(1)作差比較法：

數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；數(shù)列{an}是

常數(shù)列.

(2)作商比較法：

①當an>0時，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；數(shù)列{an}

是常數(shù)列；

②當an<0時，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；數(shù)列{an}

是常數(shù)列；

(3)圖象法：

結合相應函數(shù)的圖象直觀判斷：寫出數(shù)列對應的函數(shù)，利用導數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調性探求其單調

性，再將函數(shù)的單調性對應到數(shù)列中去，進而得出數(shù)列的單調性，即可得解.

2．數(shù)列周期性問題的解題策略：

解決數(shù)列周期性問題，根據給出的關系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進而求出有關

項的值或前n項和.

3．求數(shù)列最大項與最小項的常用方法

(1)函數(shù)法：利用相關的函數(shù)求最值.若借助通項的表達式觀察出單調性，直接確定最大(小)項，否則，利用

作差法.

(2)利用確定最大項，利用確定最小項.

【方法技巧與總結】

1．在數(shù)列{an}中，若an最大，則；若an最小，則.

【題型1數(shù)列的單調性及其應用】

【例1】（2025·天津·二模）已知是一個無窮數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的（）

A．充分不必要條件??B．必要不?充2>分?條1件??

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【解題思路】根據遞增數(shù)列的概念及充分、必要條件的定義判斷即可.

【解答過程】遞增數(shù)列是指一個數(shù)列從第二項起，每一項都大于它的前一項，即.

?

若是擺動數(shù)列，可能有，但是不是遞增數(shù)列，則僅不能推?出?+1>為??遞?增∈數(shù)N列，但

為遞??增數(shù)列可以推出?.2>?1???2>?1????

所以“”是“?為2>遞?增1數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：?B2.>?1??

【變式1-1】（2025·貴州黔南·三模）數(shù)列滿足，若數(shù)列單調遞增，

??1

?,?>2,*

????=?∈???

則實數(shù)的取值范圍為（）3???+2,?≤2

A．?B．C．D．

【答案】D2,31,31,22,3

【解題思路】依題意可得，解得即可.

?>1

23??>0

?>3??×2+2

【解答過程】因為單調遞增，所以，解得，

??1?>1

?,?>2,*

??=?∈?3??>02<?<3

3???+2,?≤22

即實數(shù)的取值范圍為.?>3??×2+2

故選：D?.2,3

【變式1-2】（2025·江西·二模）已知數(shù)列的首項為常數(shù)且，，若數(shù)列

2?*

?11?+1??

是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）???≠3?+2?=4?∈??

1

A．?B．

222224

?3,3?3,3∪3,3

C．D．

2224

0,30,3∪3,3

【答案】B

【解題思路】由已知條件推得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的通項公

?

42

???6?1?3?2

式可得，再由數(shù)列的單調性，結合不等式恒成立思想，可得所求取值范圍．

【解答過?程?】因為，

?

?+1?

所以?+2?=4，

1?+11?

??+1?6×4=?2???6×4

由于，即，

22

?1≠3?1?3≠0

可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

?

42

???6?1?3?2

則，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，可得，

1?2??1

??=6×4+?1?3×?2????+1>??

即對任意的正整數(shù)都成立．

1?+12?1?2??1

6×4+(?1?3)?(?2)>6×4+(?1?3)?(?2)?

當為偶數(shù)時，恒成立，由于數(shù)列單調遞減，

21?21?

??1>3?3×23?3×2

可得，則；

21?2422

3?3×2≤3?3=?3?1>?3

當為奇數(shù)時，恒成立，由于數(shù)列單調遞增，

21?21?

??1<3+3×23+3×2

可得，則；

21?2244

3+3×2≥3+3=3?1<3

綜上可得的取值范圍是．

2224

?1?3,3∪3,3

故選：B．

【變式1-3】（2025·湖北·模擬預測）已知的面積為1，取各邊的中點作，然

后再取各邊的中點作△???依此方法一△直?繼?續(xù)?下去.記?1,?1,?1△?的1?面1?積1為

*

，數(shù)列△?1?的1?前1項和為?，2,則?（2,?2）△?2?2?2,?△??????(?∈?)

??A．數(shù)?列??為常數(shù)列??B．數(shù)列為遞增數(shù)列

??

2??2??

C．數(shù)列為遞減數(shù)列D．數(shù)列為遞增數(shù)列

????

{?}{?}

【答案】C

【解題思路】根據給定條件，結合相似三角形性質求出及，再利用數(shù)列單調性定義逐項分析判斷.

??

【解答過程】依題意，各次作得的三角形都相似，相鄰兩?次作?得的三角形相似比為，則，，

111

2??+1=4???1=4

因此數(shù)列是首項、公比都為的等比數(shù)列，，11，

114(1?4?)11

????1?

?4?=4?=1?4=3(1?4)

對于AB，，數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，AB錯誤；

1

???

2??=22??

對于，，?11，

CD?+1?+1

??11?+13(?+1)(1?4?+1)?(4?1)

???11?+1

?=3?(1?4)?=3?(1?4?)=(?+1)(4?4)

?+1?+1?+1?+1

?(4?1)?(?+1)(4?4)=3?+4?4=3?+4?(1+，3)

121

?+1?+1?+1

即=3?+4?(1+3C+9C+?)<，3?+4?(1+3C，因)=此0，

?+1

?(4?1)??+1??

?+1?+1?+1

0<?(4?1)<(?+1)(4?4)(?+1)(4?4)<1?+1<?

數(shù)列為遞減數(shù)列，C正確，D錯誤.

??

{?}

故選：C.

【題型2數(shù)列的周期性及其應用】

【例2】（2025·全國·模擬預測）數(shù)列滿足，，則（）

1

????+1=1????3=4?2025=

A．B．C．D．

1

?3202542024

【答案】C

【解題思路】解法一：求出數(shù)列前四項的值，分析可知，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，結合數(shù)列

的周期性可求得的值；????3

解法二：利用迭代?20法25推導出數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，結合數(shù)列的周期性可求得的值.

?2025

【解答過程】解法一：因為?，3，所以，即，同理可得?，，

11311

??+1=1????3=44=1??2?2=4?1=?3?4=?3

故數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，又，所以.

解法二：??由3，得2025=3×675，?2025=?3=4，

111111

11

?+1??+2?+1??+3?+2?

?=1???=1??=1?1???=1???=1??=1?1???=?

故數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，又，所以.

故選：C?.?32025=3×675?2025=?3=4

【變式2-1】（2025·遼寧·模擬預測）已知數(shù)列滿足，則（）

11

??????+4=?4,?4=2?200=

A．B．C．0D．

111

2?2?4

【答案】B

【解題思路】根據題意，由遞推關系可得是以8為一個周期的周期數(shù)列，代入計算，即可得到結果.

?

【解答過程】由，得且?，所以，故，

11

????+4=?4??≠0??+4??+8=?4??+8??+4=????+4??+8=??

所以是以8為一個周期的周期數(shù)列，

??

又，所以，所以.

1111

?4=2,?4?8=?4?8=?2?200=?25×8=?8=?2

故選：B.

【變式2-2】（2025·天津南開·二模）若數(shù)列滿足，且則

??+1???,??+1≥??,

???1=2,?2=1??+2=??

的前2025項的和為（）?????+1,??+1<??,

A．1350B．1352C．2025D．2026

【答案】B

【解題思路】由數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列可以看作以為一個周期的數(shù)列，然后代入計算，即可

得到結果.???2,?3,?4

【解答過程】由題意可得，

因為，所以?3=?1??2，=1

因為?3=?2，所以?4=?3??2=0，

因為?4<?3，所以?5=?3??4=1，

因為?5>?4，所以?6=?5??4=1，，

所以數(shù)?6列=?5從第二?項7=起?是6?以?15，=10，0?為周期的數(shù)列，

則??.

故選?20：25B=.?1+674?2+?3+?4+?2024+?2025=2+674×2+1+1=1352

【變式2-3】（2025·上海嘉定·二模）設數(shù)列滿足，記其前n項和為，前

?π??π

????=sin3+?1cos4??

n項積為．則下列結論正確的是（）

A．數(shù)??列和數(shù)列均不是周期數(shù)列

B．數(shù)列??是周期數(shù)?列?，數(shù)列不是周期數(shù)列

C．數(shù)列??不是周期數(shù)列，數(shù)列??是周期數(shù)列

D．數(shù)列??和數(shù)列均為周期數(shù)?列?

【答案】B????

【解題思路】令，可得數(shù)列的周期為6，令，可得數(shù)列的周期為8，

?π??π

??=sin3????=?1cos4??

進而依次得數(shù)列和數(shù)列的周期，又和判斷數(shù)列的周期性.

32?

?????1=2?2??=0?≥6,?∈N??

【解答過程】令，則數(shù)列的一個周期為6，

?π

??=sin3??

又，

3333

123456

則?=2,?=2,?=0,?=?，2,?=?2,?=0

?1+?2+?3+?4+?5+?6=0

令，則數(shù)列的一個周期為8，

??π

??=?1cos4??

又，

2222

12345678

則?=?2,?=0,?=2,?=?1,?=2，,?=0,?=?2,?=1

所以?1數(shù)+列?2+?3的+一?4個+周?期5+為?624+，?7且+?8=0，所以，則的一個周期為24，

?24??+24?

又?，?，=0?=??

32

?1=?1+?1=2?2≠0?6=0

所以，故，所以不是周期數(shù)列.

32?

16??

故選：?B=.2?2,?=0?=0?≥6,?∈N?

【題型3數(shù)列的最大（小）項】

【例3】（2025·浙江溫州·模擬預測）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列中的最小項為（）

111

???1=?5,??+1???=2??

A．B．C．D．

【答案】B?2?3?4?5

【解題思路】根據等差數(shù)列的通項可得，計算，結合即可求解.

11

??=2??7?2=?3,?3=?1??≥4,??>0

【解答過程】由可知為等差數(shù)列，且公差為2，首項為，

111

??+1???=2???5

因此，

11

??=2??1?5=2??7???=2??7

由于且，

1

23?

故?中=的?最3,小?項=為?1，??≥4,?>0

故選??：B.?3

【變式3-1】（2025·上?！と＃┮阎獢?shù)列的通項公式為，，則關于數(shù)列

??1??1

33*

???

的最值敘述正確的是（）??=44?1?∈N?

A．既有最大項也有最小項B．只有最大項沒有最小項

C．沒有最大項只有最小項D．沒有最大項也沒有最小項

【答案】A

【解題思路】把數(shù)列的通項公式看作函數(shù)解析式，令，換元后是二次函數(shù)解析式，結合二次函數(shù)的

3n?1

性質判斷即可．?=4

【解答過程】令，因為，所以當時，

??1

3*3927

?=4?∈N?=1,2,3,4...?=1,4,16,64...

而，

2

211

??=???1=???=??2?4

所以當時，即時，取最大值；

?

因為?=1，且?=1，?，因為，所以距離最近，

2713127531151271

64<2<42?64=644?2=464<4642

所以當，即時，取最小值；

27

?

所以該數(shù)?=列6既4有最?大=項4又有最?小項，

故選：A．

【變式3-2】（2025·云南昭通·模擬預測）已知數(shù)列的通項公式為7，若

2??7,?≤5

?7

???=121?

是中唯一的最小項，則實數(shù)的取值范圍是（）7??7??1?,?≥6

?A?．B．?C．D．

【答案】B14,1615,1615,1614,16

【解題思路】當時，解，得出單調性，判斷出在時，取最小值：；當，

利用二次函數(shù)的?對≤稱5性和最?值?+，1建?立??關≤于0的不等式組求解．?=3?3=?7?≥6

【解答過程】當時，，令?，得：，

777?14

??+1?

解得：或?≤5，因此?可=知2?：?7???<0；2?+1?7?2??7=2??52??7<0

又當?≤2時?，≥4，當?1>時?，2>?3,?，4>所?以5在時，取最小值：．

???3

當?=時1,2，,3?<0?=4，,5則該代?數(shù)>式0對應函數(shù)?對稱軸?=為3直線，?=?7

121??1

?≥6??=7??7??1??=2

因為是中唯一的最小項，所以，且，

13??115

7?7

解得??，且，2<2<2?=8??<?7

即14<?<1．6?>15

故選15：<B?.<16

【變式3-3】（2025·江西·二模）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的首項均為，且，則數(shù)列

（）?????1?2=8?4=1????

A．既有最大項又有最小項B．只有最大項沒有最小項

C．只有最小項沒有最大項D．沒有最大項也沒有最小項

【答案】A

【解題思路】由題意先求出、的通項公式，進而求出的通項公式，當時，顯然奇數(shù)項都

?????????≥2

是負數(shù)，偶數(shù)項都是正數(shù)，構造數(shù)列（），研究數(shù)列的增減性得出結論即可.

2??3

??1

??=????=2?≥2

【解答過程】設的公差為d，的公比為q，則，；

??2

，?，所以?，?=?1+?=，1?=2

?

111??1?1

3??1

?4=?1?=8?=?2??=2??3??=??2=2

所以，

?

?1?2??3

????1

當??時=，顯然2奇數(shù)項都是負數(shù)，偶數(shù)項都是正數(shù)，

設?≥2（），

2??3

??1

??=????=2?≥2

則，當時，，；

2??12??35?2?

?+1????1??+1??+1?

當??時?，=2?2=，2?，=即2數(shù)列?從??到>0遞增?，從>?往后遞減，

?+1??+1??233

又?≥3，???，<0?，<所?以中，??最大?；?

15

?1?1=1?2?2=2?4?4=8?????1?1

又，，即，

373

?3=4?5=16<4?3?3<?5?5<?7?7<?<?2??1?2?+1<0?≥2

所以是最小項.

故選：?3?A3.

【題型4求數(shù)列前n項和Sn的最值】

【例4】（2025·安徽馬鞍山·一模）已知數(shù)列的通項公式為，前n項和為，則取得最小時n

??3

????

的值為（）??=2??17??

A．6B．7C．8D．9

【答案】C

【解題思路】令，解得：或，分類分析的單調性求解即可.

??317

??=2??17≥0?≤3?>2??

【解答過程】令，解得：或，

??317

?

當時，?=，2?故?17當≥0時，?≤遞3增，?且>2

當?≤3?時?，≥0，?故=當1,2??時，?遞3=減?；2

當4≤?時≤，8??，<0遞增.?=4,5,6,7,8??

??

且?≥9，?>0，?，，，，

211

?1=15?2=13?3=0?4=?9????8=?5

故，所以取得最小時n的值為.

故選?8：<C?.1??8

【變式4-1】（2025·甘肅白銀·模擬預測）已知數(shù)列，若該數(shù)列的前項和

1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,1,3,9,27,81,???

為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（）

??A．26??>160B0．27?C．28D．29

【答案】C

【解題思路】根據給定條件，構造新數(shù)列，利用分組求和法，并借助單調性求出最小正整數(shù)的值.

【解答過程】依題意，設原數(shù)列為，?

令?1,?2,?,??,?，

112233456

?=?=1,?=?+?=1+3=4,?=?+?+?=1+3+，9=13,?

?

?(??1)?(??1)?(?+1)??13?1

?

?=?2+1+?2+2+?+?2=1+3+9+?+3=2

令數(shù)列的前項和為，則，

?+1

12?3?3?

???????=2(3+3+?+3??)=4?2

而是單調遞增數(shù)列，，

78

3?363?37

?67

則使?的最小整?數(shù)=4，?又2=543,?=4?2=1636

7×67×67×8

?7222328

?>1600?=7?=?2+1+?2+2+?+?2=?+?+?+?

，于是，又，

266

=所以1+滿3足+3+?+的3最小正整?28數(shù)=的16值36為28.?28=3=729,?27=?28??28=907<1600

故選：C.??>1600?

【變式4-2】（24-25高三上·四川成都·階段練習）若數(shù)列滿足，其前項和為，則（）

?128

????=2?????

A．既無最大值，又無最小值B．當且僅當時，取得最小值

C．當??且僅當時，取得最小值D．，?=1??

?

【答案】D?=8????∈???≥?7

【解題思路】分析數(shù)列的單調性，可知當時，；當時，，且，逐項判斷

即可.???≤7??<0?≥9??>0?8=0

【解答過程】因為數(shù)列、均為遞增數(shù)列，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，

?128

2????

因為，，

7128128128128128

77782788

故當?=時2，?=；8當2?時=，?.<0?=16?=0

無最?≤大7值，但?有?<最小0值，?且≥最9小值為??>、0，即.

?所?以，D對，ABC均錯.?7?8?7=?8

故選：D.

【變式4-3】（2025·北京海淀·三模）已知數(shù)列的通項公式為，前n項和為，前n項積為.

2??7

????=2??15????

則下列結論正確的個數(shù)為（）

①既有最小值，又有最大值，

②?滿?足的n的值共有6個；

③使取??得??+最1?小?+值2的<0n為7；

④?有?最小值，無最大值；

??A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解題思路】化簡為