2025年高等數(shù)學分層教學測試題（B層）一、選擇題（每題5分，共30分）設函數(shù)$f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$，則$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=$（）A.0B.1C.$\frac{1}{2}$D.不存在已知向量$\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec=(2,\lambda,1)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$\lambda=$（）A.-1B.0C.1D.2曲面$z=x^2+y^2-2x+4y$在點$(1,-2,-5)$處的切平面方程為（）A.$z=-5$B.$2x-4y-z=5$C.$x-2y-z=0$D.$z=2x-4y-5$設$D$是由$x^2+y^2=4$所圍成的閉區(qū)域，則二重積分$\iint_D(x^3+y^2)d\sigma=$（）A.$4\pi$B.$8\pi$C.$12\pi$D.$16\pi$微分方程$y''-4y'+4y=e^{2x}$的特解形式為（）A.$y^=Ae^{2x}$B.$y^=Axe^{2x}$C.$y^=Ax^2e^{2x}$D.$y^=(Ax+B)e^{2x}$設$L$為從點$(0,0)$到$(1,1)$的直線段，則曲線積分$\int_L(x+y)ds=$（）A.$\sqrt{2}$B.$2\sqrt{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$2$二、填空題（每題5分，共30分）函數(shù)$z=\ln(x^2+y^2-1)+\sqrt{4-x^2-y^2}$的定義域為________。設$z=x^y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}|{(2,1)}=$________，$\frac{\partialz}{\partialy}|{(2,1)}=$________?？臻g直線$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{3}$與平面$2x-y+3z=5$的位置關系是________。交換二次積分的積分次序：$\int_0^1dy\int_y^1e^{-x^2}dx=$________。設$\varOmega$是由$x^2+y^2+z^2=1$所圍成的閉區(qū)域，則三重積分$\iiint_\varOmega(x^2+y^2+z^2)dV=$________。冪級數(shù)$\sum_{n=1}^\infty\frac{(x-2)^n}{n\cdot3^n}$的收斂域為________。三、計算題（每題10分，共60分）設$z=f(x^2-y^2,e^{xy})$，其中$f$具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$。計算二重積分$\iint_Dxyd\sigma$，其中$D$是由$y=x$，$y=0$，$x=1$所圍成的閉區(qū)域。求微分方程$xy'+y=x\lnx$滿足初始條件$y(1)=\frac{1}{4}$的特解。計算曲線積分$\oint_L(x^2y-2y)dx+(xy^2-x)dy$，其中$L$為正向圓周$x^2+y^2=4$。求過點$(1,2,3)$且與平面$2x-y+z=0$平行，同時與直線$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{2}$相交的直線方程。求函數(shù)$f(x,y)=x^3-3x+y^2-2y$的極值。四、應用題（每題15分，共30分）某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品$A$和$B$，其銷售單價分別為$p=10$元，$q=15$元。生產(chǎn)$x$件$A$和$y$件$B$的總成本函數(shù)為$C(x,y)=2x^2+xy+3y^2+20$（元）。問如何安排生產(chǎn)使利潤最大？最大利潤是多少？設有一高為$h$、底面半徑為$r$的正圓錐體，其密度$\rho(x,y,z)=k\sqrt{x^2+y^2}$（$k$為常數(shù)），求該錐體的質量。參考答案及評分標準一、選擇題A2.B3.A4.B5.C6.A二、填空題${(x,y)|1<x^2+y^2\leq4}$$1$，$2\ln2$平行$\int_0^1dx\int_0^xe^{-x^2}dy$$\frac{4\pi}{5}$$[-1,5)$三、計算題解：令$u=x^2-y^2$，$v=e^{xy}$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=f_u'\cdot2x+f_v'\cdotye^{xy}$（4分）$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=f_u''\cdot(-2y)\cdot2x+f_{uv}''\cdotxe^{xy}\cdot2x+f_v'\cdote^{xy}+f_{vu}''\cdot(-2y)\cdotye^{xy}+f_{vv}''\cdotxe^{xy}\cdotye^{xy}$（6分）（注：需合并同類項并利用$f_{uv}''=f_{vu}''$）解：積分區(qū)域$D$可表示為$0\leqx\leq1$，$0\leqy\leqx$，$\iint_Dxyd\sigma=\int_0^1dx\int_0^xxydy=\int_0^1x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^xdx=\frac{1}{2}\int_0^1x^3dx=\frac{1}{8}$（10分）解：方程化為$y'+\frac{1}{x}y=\lnx$，積分因子$\mu(x)=e^{\int\frac{1}{x}dx}=x$，通解$y=\frac{1}{x}\left(\intx\lnxdx+C\right)=\frac{x}{2}\lnx-\frac{x}{4}+\frac{C}{x}$（8分）代入$y(1)=\frac{1}{4}$得$C=0$，故特解$y=\frac{x}{2}\lnx-\frac{x}{4}$（2分）解：由格林公式，$P=x^2y-2y$，$Q=xy^2-x$，$\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy}=y^2-1-(x^2-2)=y^2-x^2+1$（4分）積分區(qū)域$D:x^2+y^2\leq4$，利用極坐標得$\oint_L=\iint_D(y^2-x^2+1)d\sigma=\iint_D1d\sigma=4\pi$（6分）解：設所求直線方向向量為$\vec{s}=(m,n,p)$，由平面平行得$2m-n+p=0$（4分）直線過點$(1,2,3)$，與已知直線相交得$\begin{vmatrix}0&-1&-3\1&-1&2\m&n&p\end{vmatrix}=0$，即$m+3n-p=0$（6分）解得$\vec{s}=(1,1,-1)$，故直線方程為$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-1}$解：令$\begin{cases}f_x=3x^2-3=0\f_y=2y-2=0\end{cases}$，得駐點$(1,1)$，$(-1,1)$（4分）$A=f_{xx}=6x$，$B=f_{xy}=0$，$C=f_{yy}=2$在$(1,1)$處，$AC-B^2=12>0$，$A=6>0$，為極小值$f(1,1)=-3$（3分）在$(-1,1)$處，$AC-B^2=-12<0$，非極值（3分）四、應用題解：利潤函數(shù)$L(x,y)=10x+15y-(2x^2+xy+3y^2+20)$（4分）令$\begin{cases}L_x=10-4x-y=0\L_y=15-x-6y=0\end{cases}$，解得$x=2$，$y=2$（6分）二階導數(shù)$A=-4$，$B=-1$，$C=-6$，$AC-B^2=23>0$，$A<0$，最大利潤$L(2,2)=10\times2+15\times2-(8+4+12+20)=10$元（5分）解：建立坐標系，圓錐方程$z=h\left(1-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r}\right)$，$0\leqz\leqh$（4分）質量$M=\iiint_\varOmegak\sqrt{x^2+y^2}dV=k\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^r\rho^