2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——函數(shù)逼近在信號處理中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上不能展開成切比雪夫級數(shù)的是（）。A.e^xB.sin(x)C.x^2D.log(1+x)2.函數(shù)f(x)=|x|在區(qū)間[-1,1]上的切比雪夫最佳一致逼近多項式的階數(shù)是（）。A.1B.2C.3D.43.在信號處理中，使用窗函數(shù)進行傅里葉變換的主要目的是（）。A.提高頻率分辨率B.提高時間分辨率C.減小頻譜泄漏D.增加信號功率4.下列窗函數(shù)中，旁瓣幅度最小的是（）。A.矩形窗B.漢寧窗C.海寧窗D.黑曼窗5.插值函數(shù)在插值節(jié)點處取得插值點的值，這是插值函數(shù)的基本性質之一。（）A.正確B.錯誤6.樣條插值函數(shù)比線性插值函數(shù)具有更好的光滑性。（）A.正確B.錯誤7.在信號處理中，小波變換的主要優(yōu)勢是（）。A.對多尺度分析能力強B.計算效率高C.對噪聲不敏感D.不需要大量計算資源8.下列小波中，屬于緊支集小波的是（）。A.高斯小波B.馬爾文小波C.小波D.萊夫勒小波9.在函數(shù)逼近理論中，均勻逼近是指（）。A.在整個定義域內(nèi)，函數(shù)的誤差都小于某個固定值B.在某個子區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的誤差都小于某個固定值C.函數(shù)的誤差隨著x的增大而減小D.函數(shù)的誤差隨著x的增大而增大10.在信號處理中，函數(shù)逼近的主要目的是（）。A.提高信號的信噪比B.對信號進行壓縮C.用簡單的函數(shù)模型近似復雜的信號D.提高信號的傳輸速率二、填空題（每題2分，共10分）1.切比雪夫多項式T_n(x)在區(qū)間[-1,1]上的零點位于__________。2.矩形窗的旁瓣衰減約為__________dB。3.插值節(jié)點越多，插值函數(shù)的光滑性__________。4.小波變換可以將信號分解成不同頻率和不同時間的信息。5.函數(shù)f(x)=x^3在區(qū)間[0,1]上的線性插值函數(shù)與f(x)的最大誤差不超過__________。三、計算題（每題10分，共30分）1.試用切比雪夫多項式T_3(x)構造一個在區(qū)間[-1,1]上的三次多項式P(x)，使得P(x)與f(x)=x^2在[-1,1]上具有最佳一致逼近效果。2.已知信號x(n)={1,2,3,4,5}，試用漢寧窗對x(n)進行5點DFT變換，并寫出變換結果。3.給定插值節(jié)點x_0=0,x_1=1,x_2=2，插值函數(shù)f(x)滿足f(x_0)=1,f(x_1)=2,f(x_2)=3。試用三次Hermite插值多項式計算f(1.5)的值。四、論述題（每題25分，共50分）1.試論述函數(shù)逼近理論在信號處理中的應用，并舉例說明。2.試比較并分析不同窗函數(shù)在信號處理中的優(yōu)缺點，并說明如何根據(jù)實際情況選擇合適的窗函數(shù)。試卷答案一、選擇題1.A2.C3.C4.D5.A6.A7.A8.B9.A10.C二、填空題1.\((-1+\sqrt{2}/2),0,(\sqrt{2}/2+1)\)2.133.越好4.(此題無需填空)5.1/8三、計算題1.解析思路：利用切比雪夫多項式性質，構造最佳一致逼近多項式。首先，將f(x)=x^2表示為切比雪夫多項式的線性組合，然后利用切比雪夫多項式的正交性和唯一性確定系數(shù)。答案：P(x)=\frac{1}{2}T_0(x)+\frac{1}{2}T_2(x)=\frac{1}{2}(1+x^2)2.解析思路：首先對信號x(n)進行DFT變換，然后乘以漢寧窗函數(shù)w(n)=[0.5-0.5cos(2πn/(N-1))]_n=0^N-1，其中N為信號長度。答案：X(k)=[X(0),X(1),X(2),X(3),X(4)]'，其中X(k)為DFT變換結果，乘以漢寧窗后的結果需要具體計算。3.解析思路：利用三次Hermite插值公式，根據(jù)插值節(jié)點和函數(shù)值構造插值多項式，然后代入x=1.5計算函數(shù)值。答案：f(1.5)=\frac{1}{2}[2(1.5-1)^3+3(1.5-0)(1.5-2)^2+1(1.5-1)(1.5-2)^2+3(1.5-0)(1.5-1)^2]四、論述題1.解析思路：首先闡述函數(shù)逼近的基本概念，然后說明其在信號處理中的應用場景，如信號壓縮、濾波、去噪等，最后通過具體例子說