2025年大學(xué)《信息與計(jì)算科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)教學(xué)資源考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)函數(shù)\(f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^n(a^n+b^n)}{a^{2n}+b^{2n}}\)，其中\(zhòng)(a,b>0\)且\(a\neqb\)。(1)求\(f(x)\)的表達(dá)式；(2)討論\(f(x)\)的連續(xù)性。二、計(jì)算不定積分\(\int\frac{x\lnx}{(1+x^2)^2}\,dx\)。三、設(shè)\(y=y(x)\)由方程\(x^3+y^3-3axy=0\)確定。(1)求\(y\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的導(dǎo)數(shù)\(\frac{dy}{dx}\)；(2)求\(y\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的微分\(dy\)。四、計(jì)算二重積分\(\iint_D\frac{x^2}{1+y^2}\,dA\)，其中區(qū)域\(D\)由曲線\(y=\sqrt{x}\)和直線\(y=x\)圍成。五、求冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{n\cdot5^n}\)的收斂域。六、將函數(shù)\(f(x)=\arctan\frac{2x}{1-x^2}\)展開成\(x\)的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂域。七、計(jì)算極限\(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right)\)。八、已知\(\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(\mathbf{A}^*\)（伴隨矩陣），并驗(yàn)證\(\mathbf{A}\mathbf{A}^*=|\mathbf{A}|\mathbf{E}\)。九、設(shè)向量組\(\mathbf{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\)，\(\mathbf{a}_2=\begin{pmatrix}1\\3\\-x\end{pmatrix}\)，\(\mathbf{a}_3=\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}\)。(1)當(dāng)\(x\)為何值時(shí)，向量組\(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\)線性無關(guān)？(2)當(dāng)\(x\)為何值時(shí)，向量組\(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\)線性相關(guān)？并求出此時(shí)向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。十、求線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1+x_2-x_3=2\\-x_1+x_2+2x_3=\lambda\end{cases}\)的解，并討論參數(shù)\(\lambda\)的取值情況。十一、設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x&0<x<1\\0&\text{其他}\end{cases}\)。(1)求\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)；(2)求\(P\{X>\frac{1}{2}\}\)和\(P\{X\leq\frac{1}{3}\}\)。十二、設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,4)\)。(1)求\(Z=2X-Y\)的概率密度函數(shù)；(2)求\(P\{Z\leq-3\}\)。十三、設(shè)總體\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，\(X_1,X_2,\ldots,X_n\)是來自\(X\)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。(1)求\(\lambda\)的矩估計(jì)量；(2)求\(\lambda\)的最大似然估計(jì)量。十四、設(shè)總體\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\thetae^{-\thetax}&x>0\\0&x\leq0\end{cases}\)，其中\(zhòng)(\theta>0\)未知。又設(shè)\(X_1,X_2,\ldots,X_n\)是來自\(X\)的樣本。(1)求\(\theta\)的最大似然估計(jì)量；(2)說明該估計(jì)量是否為無偏估計(jì)量。十五、從正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^2)\)中抽取容量為16的樣本，樣本均值為\(\bar{X}=20\)，樣本方差\(S^2=10\)。(1)求\(\mu\)的置信水平為0.95的置信區(qū)間（假設(shè)已知\(\sigma^2=10\)）；(2)求\(\mu\)的置信水平為0.95的置信區(qū)間（假設(shè)\(\sigma^2\)未知）。試卷答案一、(1)當(dāng)\(0<x<1\)時(shí)，\(\frac{x^n}{a^{2n}}\to0\)，\(\frac{x^nb^n}{a^{2n}+b^{2n}}\to0\)，所以\(f(x)=0\)；當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(f(1)=\frac{1}{2}\)；當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(\frac{x^n}{b^{2n}}\to0\)，\(\frac{x^na^n}{a^{2n}+b^{2n}}\to\left(\frac{a}\right)^n\to0\)（因\(a<b\)），所以\(f(x)=0\)；當(dāng)\(x<-1\)時(shí)，取\(x=-t\)，則\(t>1\)，\(\frac{(-t)^n(a^n+b^n)}{a^{2n}+b^{2n}}=(-1)^n\frac{t^n(a^n+b^n)}{a^{2n}+b^{2n}}\to(-1)^n\)，極限不存在；當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，\(f(-1)=-\frac{1}{2}\)；當(dāng)\(-1<x<0\)時(shí)，\(\frac{x^n}{a^{2n}}\to0\)，\(\frac{x^nb^n}{a^{2n}+b^{2n}}\to0\)，所以\(f(x)=0\)；當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(f(0)=0\)。綜上，\(f(x)=\begin{cases}0&x\in(-1,1)\cup\{0\}\\\frac{1}{2}&x=1\\-\frac{1}{2}&x=-1\end{cases}\)。(2)\(f(x)\)在\((-1,-\infty)\cup(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,1)\cup(1,\infty)\)上連續(xù)。在\(x=-1\)處，左極限\(\lim_{x\to-1^-}f(x)=0\)，右極限\(\lim_{x\to-1^+}f(x)=0\)，但\(f(-1)=-\frac{1}{2}\)，故\(x=-1\)處不連續(xù)。在\(x=0\)處，左極限\(\lim_{x\to0^-}f(x)=0\)，右極限\(\lim_{x\to0^+}f(x)=0\)，且\(f(0)=0\)，故\(x=0\)處連續(xù)。在\(x=1\)處，左極限\(\lim_{x\to1^-}f(x)=0\)，右極限\(\lim_{x\to1^+}f(x)=0\)，但\(f(1)=\frac{1}{2}\)，故\(x=1\)處不連續(xù)。綜上，\(f(x)\)在\(x=-1\)和\(x=1\)處不連續(xù)，其他點(diǎn)處連續(xù)。二、設(shè)\(u=\lnx\)，\(dv=\frac{x}{(1+x^2)^2}dx\)。則\(du=\frac{1}{x}dx\)，\(v=-\frac{1}{2(1+x^2)}\)。原式\(=-\frac{\lnx}{2(1+x^2)}+\int\frac{1}{2x(1+x^2)}dx\)\(=-\frac{\lnx}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\right)dx\)\(=-\frac{\lnx}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2}\ln|x|-\frac{1}{4}\ln(1+x^2)+C\)\(=\frac{1}{4}\ln\frac{x^2}{1+x^2}-\frac{\lnx}{2(1+x^2)}+C\)。三、(1)方程對(duì)\(x\)求導(dǎo)，得\(3x^2+3y^2y'-3ay'-3ayy'=0\)。代入\((1,1)\)，得\(3+3y'-3ay'-3a=0\)，即\(3(1+y')-3a(1+y')=3\)。若\(1+y'\neq0\)，則\(3-3a=3\)，得\(a=1\)。此時(shí)\(y'=0\)。若\(1+y'=0\)，則\(y'=-1\)。將\(a=1\)代回原方程\(x^3+y^3-3xy=0\)在\((1,1)\)處驗(yàn)證，\(1+1-3=-1\neq0\)，矛盾。故必有\(zhòng)(1+y'=0\)，即\(y'=-1\)。(2)\(dy=y'dx=-dx\)。四、積分區(qū)域\(D\)為\(0\leqx\leq1\)，\(\sqrt{x}\leqy\leqx\)。原式\(=\int_0^1\int_{\sqrt{x}}^x\frac{x^2}{1+y^2}dydx\)\(=\int_0^1x^2\left[\arctany\right]_{\sqrt{x}}^xdx\)\(=\int_0^1x^2(\arctanx-\arctan\sqrt{x})dx\)。令\(I=\int_0^1x^2\arctanx\,dx\)，令\(t=\arctanx\)，則\(x=\tant\)，\(dx=\sec^2t\,dt\)，當(dāng)\(x=0\)時(shí)\(t=0\)，當(dāng)\(x=1\)時(shí)\(t=\frac{\pi}{4}\)。\(I=\int_0^{\pi/4}\tan^2t\cdot\tant\sec^2t\,dt=\int_0^{\pi/4}\tan^3t\sec^2t\,dt\)\(=\int_0^{\pi/4}\tan^3t\,d(\tant)=\frac{1}{4}\tan^4t\bigg|_0^{\pi/4}=\frac{1}{4}\)。令\(J=\int_0^1x^2\arctan\sqrt{x}\,dx\)，令\(u=\sqrt{x}\)，則\(x=u^2\)，\(dx=2u\,du\)，當(dāng)\(x=0\)時(shí)\(u=0\)，當(dāng)\(x=1\)時(shí)\(u=1\)。\(J=\int_0^1(u^2)^2\arctanu\cdot2u\,du=2\int_0^1u^5\arctanu\,du\)。令\(v=\arctanu\)，則\(u=\tanv\)，\(du=\sec^2v\,dv\)，當(dāng)\(u=0\)時(shí)\(v=0\)，當(dāng)\(u=1\)時(shí)\(v=\frac{\pi}{4}\)。\(J=2\int_0^{\pi/4}(\tanv)^5\cdot\tanv\sec^2v\,dv=2\int_0^{\pi/4}\tan^6v\sec^2v\,dv\)\(=2\int_0^{\pi/4}\tan^6v\,d(\tanv)=\frac{2}{7}\tan^7v\bigg|_0^{\pi/4}=\frac{2}{7}\)。原式\(=I-J=\frac{1}{4}-\frac{2}{7}=\frac{7-8}{28}=-\frac{1}{28}\)。五、令\(u_n=\frac{1}{n\cdot5^n}\)。\(\lim_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\cdot5^n}{(n+1)\cdot5^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{5(n+1)}=\frac{1}{5}\)。收斂半徑\(R=5\)。收斂域?yàn)閈(|x-2|<5\)，即\(-5<x-2<5\)，即\(-3<x<7\)。需檢查端點(diǎn)\(x=-3\)和\(x=7\)。當(dāng)\(x=-3\)時(shí)，級(jí)數(shù)為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-5)^n}{n\cdot5^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)，為交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)，收斂。當(dāng)\(x=7\)時(shí)，級(jí)數(shù)為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^n}{n\cdot5^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)，為調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散。故收斂域?yàn)閈([-3,7)\)。六、\(f(x)=\arctan\frac{2x}{1-x^2}=\arctan\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)=\arctan\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)=\arctan\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)=\arctan\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)。令\(t=\frac{2x}{1-x^2}\)。當(dāng)\(|x|<1\)時(shí)，\(|t|<\infty\)。\(\arctant=\int_0^t\frac{1}{1+u^2}du\)。\(\fracs24ksy6{dx}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)=\frac{2(1-x^2)-2x(-2x)}{(1-x^2)^2}=\frac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}\)。\(f'(x)=\frac{1}{1+\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)^2}\cdot\frac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2}=\frac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2+4x^2(1+x^2)^2}=\frac{2(1+x^2)}{1-2x^2+x^4+4x^2+4x^4+4x^6}\)\(=\frac{2(1+x^2)}{5x^6+5x^4+2x^2+1}=\frac{2(1+x^2)}{(1+2x^2)(1+x^2)^2}\)。\(f(x)=\int_0^xf'(t)dt=\int_0^x\frac{2(1+u^2)}{(1+2u^2)(1+u^2)^2}du\)。令\(v=1+u^2\)，則\(dv=2udu\)。當(dāng)\(u=0\)時(shí)\(v=1\)，當(dāng)\(u=x\)時(shí)\(v=1+x^2\)。\(f(x)=\int_1^{1+x^2}\frac{1}{(1+2v)v^2}dv=\int_1^{1+x^2}\left(\frac{1}{v^2}-\frac{1}{v}+\frac{1}{1+2v}\right)dv\)\(=\left[-\frac{1}{v}-\lnv+\frac{1}{2}\ln(1+2v)\right]_1^{1+x^2}\)\(=\left(-\frac{1}{1+x^2}-\ln(1+x^2)+\frac{1}{2}\ln(1+2x^2+2x^4)\right)-\left(-1-\ln1+\frac{1}{2}\ln3\right)\)\(=-\frac{1}{1+x^2}-\ln(1+x^2)+\frac{1}{2}\ln(1+2x^2+2x^4)+1-\frac{1}{2}\ln3\)\(=-\frac{1}{1+x^2}-\ln(1+x^2)+\frac{1}{2}\ln((1+x^2)^2+x^4)+1-\frac{1}{2}\ln3\)\(=-\frac{1}{1+x^2}-\ln(1+x^2)+\frac{1}{2}\ln((1+x^2)^2)+1-\frac{1}{2}\ln3\)\(=-\frac{1}{1+x^2}-\ln(1+x^2)+(1+x^2)+1-\frac{1}{2}\ln3\)\(=1+x^2-\frac{1}{1+x^2}-\ln(1+x^2)+1-\frac{1}{2}\ln3\)。收斂域：\(\frac{2x}{1-x^2}\)在\(|x|<1\)有定義，且\(\arctany\)在\((-\infty,\infty)\)有定義，故收斂域?yàn)閈((-1,1)\)。七、方法一：用積分和式估計(jì)。\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\approx\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln2\)。方法二：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的積分定義。\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n\left(1+\frac{k}{n}\right)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\)。令\(x=\frac{k}{n}\)，則\(dx=\frac{1}{n}\)。當(dāng)\(k=1\)時(shí)\(x=\frac{1}{n}\)，當(dāng)\(k=n\)時(shí)\(x=1\)。\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\lim_{n\to\infty}\int_{\frac{1}{n}}^1\frac{1}{1+x}dx=\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln(1+1)-\ln(1+0)=\ln2\)。方法三：利用積分和式。\(\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{n+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}+\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{n+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3n+k}\)。\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3n+k}\right)\)。令\(x=\frac{k}{n}\)，\(dx=\frac{1}{n}\)。當(dāng)\(k=1\)時(shí)\(x=\frac{1}{n}\)，當(dāng)\(k=n\)時(shí)\(x=1\)。令\(x'=\frac{k}{n}\)，\(dx'=\frac{1}{n}\)。當(dāng)\(k=1\)時(shí)\(x'=\frac{1}{n}\)，當(dāng)\(k=n\)時(shí)\(x'=1\)。\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{2}\left(\int_0^1\frac{1}{1+x}dx+\int_0^1\frac{1}{1+3x}dx\right)=\frac{1}{2}\left(\ln2+\frac{1}{3}\ln2\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\ln2=\frac{2}{3}\ln2\)。注意：此處方法二和方法三的最終結(jié)果不同，方法二正確。方法三中，第二項(xiàng)積分應(yīng)為\(\int_{\frac{n}{3}}^1\frac{1}{1+3x}dx=\frac{1}{3}\ln(1+3)-\frac{1}{3}\ln(1+n/3)\approx\frac{1}{3}\ln4=\frac{2}{3}\ln2\)。所以兩項(xiàng)和為\(\ln2+\frac{2}{3}\ln2=\frac{5}{3}\ln2\)。再除以2，結(jié)果為\(\frac{5}{6}\ln2\)。看來方法三計(jì)算有誤。應(yīng)使用方法二。最終結(jié)果為\(\ln2\)。八、\(\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)。\(|\mathbf{A}|=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\)。\(\mathbf{A}_{11}=4\)，\(\mathbf{A}_{12}=-3\)，\(\mathbf{A}_{21}=-2\)，\(\mathbf{A}_{22}=1\)。\(\mathbf{A}^*=\begin{pmatrix}\mathbf{A}_{11}&\mathbf{A}_{21}\\\mathbf{A}_{12}&\mathbf{A}_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。\(\mathbf{A}\mathbf{A}^*=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot4+2\cdot(-3)&1\cdot(-2)+2\cdot1\\3\cdot4+4\cdot(-3)&3\cdot(-2)+4\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-6&-2+2\\12-12&-6+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}\)。\(|\mathbf{A}|\mathbf{E}=(-2)\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}\)。故\(\mathbf{A}\mathbf{A}^*=|\mathbf{A}|\mathbf{E}\)。九、(1)向量組線性無關(guān)的充要條件是其構(gòu)成的矩陣的行列式不為0。構(gòu)成矩陣\(\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&4\\2&-x&3\end{pmatrix}\)。計(jì)算行列式\(|\mathbf{A}|=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&3&4\\2&-x&3\end{vmatrix}=1\begin{vmatrix}3&4\\-x&3\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&4\\2&3\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&3\\2&-x\end{vmatrix}\)\(=1(9+4x)-1(3-8)+1(-x-6)=9+4x-(-5)-x-6=4x-x+9+5-6=3x+8\)。若\(|\mathbf{A}|=0\)，則\(3x+8=0\)，得\(x=-\frac{8}{3}\)。若\(|\mathbf{A}|\neq0\)，則\(3x+8\neq0\)，得\(x\neq-\frac{8}{3}\)。故當(dāng)\(x\neq-\frac{8}{3}\)時(shí)，向量組\(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\)線性無關(guān)。(2)向量組線性相關(guān)的充要條件是其構(gòu)成的矩陣的行列式為0。由(1)知，當(dāng)\(x=-\frac{8}{3}\)時(shí)，向量組線性相關(guān)。此時(shí)\(\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&4\\2&\frac{8}{3}&3\end{pmatrix}\)。對(duì)矩陣\(\mathbf{A}\)進(jìn)行行變換化為行階梯形：\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&4\\2&\frac{8}{3}&3\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-r_1\rightarrowr_2}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&3\\2&\frac{8}{3}&3\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_1\rightarrowr_3}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&3\\0&\frac{2}{3}&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-\frac{1}{3}r_2\rightarrowr_3}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&3\\0&0&0\end{pmatrix}\)?？梢姡?dāng)\(x=-\frac{8}{3}\)時(shí)，向量組線性相關(guān)，且矩陣的秩為2，小于向量的個(gè)數(shù)3，因此向量組中存在線性相關(guān)關(guān)系。取非零主元所在的列為第1、第2列，第3列為自由變量對(duì)應(yīng)的列。令第3列為0，解線性方程組：\(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)。得\(x_1+x_2=0\)，\(2x_2=0\)。解得\(x_2=0\)，\(x_1=0\)。令\(x_3=t\)（\(t\neq0\)）。代入\(x_1+x_2=0\)，得\(x_1=0\)。故存在非零解\((x_1,x_2,x_3)=(0,0,t)\)（\(t\neq0\)）。說明\(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\)線性相關(guān)，且存在比例關(guān)系，即\(0\mathbf{a}_1+0\mathbf{a}_2+t\mathbf{a}_3=\mathbf{0}\)，即\(t\mathbf{a}_3=\mathbf{0}\)，即\(\mathbf{a}_3=k\mathbf{a}_1\)（其中\(zhòng)(k=0\)），這與題目中\(zhòng)(\mathbf{a}_3\)的形式\(\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}\)不符。說明之前的推斷有誤。線性相關(guān)時(shí)，解形式應(yīng)為\(x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+x_3\mathbf{a}_3=\mathbf{0}\)。由行階梯形\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&3\\0&0&0\end{pmatrix}\)對(duì)應(yīng)方程組\(x_1+x_2+x_3=0\)，\(2x_2+3x_3=0\)。從第二個(gè)方程\(2x_2+3x_3=0\)解得\(x_2=-\frac{3}{2}x_3\)。代入第一個(gè)方程\(x_1-\frac{3}{2}x_3+x_3=0\)，即\(x_1-\frac{1}{2}x_3=0\)，得\(x_1=\frac{1}{2}x_3\)。令\(x_3=t\)，則\(x_1=\frac{1}{2}t\)，\(x_2=-\frac{3}{2}t\)。存在非零解\((x_1,x_2,x_試卷答案一、(1)當(dāng)\(0<x<1\)時(shí)，\(\frac{x^n}{a^{2n}}\to0\)，\(\frac{x^nb^n}{a^{2n}+b^{2n}}\to0\)，所以\(f(x)=0\)；當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(f(1)=\frac{1}{2}\)；當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(\frac{x^n}{b^{2n}}\to0\)，\(\frac{x^na^n}{a^{2n}+b^{2n}}\to0\)（因\(a<b\)），所以\(f(x)=0\)；當(dāng)\(x<-1\)時(shí)，取\(x=-t\)，則\(t>1\)，\(\frac{(-t)^n(a^n+b^n)}{a^{2n}+b^{2n}}=(-1)^n\frac{t^n(a^n+b^n)}{a^{2n}+b^{2n}}\to(-1)^n\)，極限不存在；當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，\(f(-1)=-\frac{1}{2}\)；當(dāng)\(-1<x<0\)時(shí)，\(\frac{x^n}{a^{2n}}\to0\)，\(\frac{x^nb^n}{a^{2n}+b^{2n}}\to0\)，所以\(f(x)=0\)；當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(f(0)=0\)。綜上，\(f(x)=\begin{cases}0&x\in(-1,1)\cup\{0\}\\\frac{1}{2}&x=1\\-\frac{1}{2}&x=-1\end{cases}\)。(2)\(f(x)\)在\((-1,-\infty)\cup(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,1)\cup(1,\infty)\)上連續(xù)。在\(x=-1\)處，左極限\(\lim_{x\to-1^-}f(x)=0\)，右極限\(\lim_{x\to-1^+}f(x)=0\)，但\(f(-1)=-\frac{1}{2}\)，故\(x=-1\)處不連續(xù)。在\(x=1\)處，左極限\(\lim_{x\to1^-}f(x)=0\)，