2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——在天文學(xué)中應(yīng)用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.簡(jiǎn)述奈奎斯特采樣定理的原理及其在天文觀測(cè)中的重要性。請(qǐng)說明如果違反該定理，在信號(hào)處理中會(huì)遇到什么主要問題。2.比較理想低通濾波器與實(shí)際可實(shí)現(xiàn)的FIR或IIR濾波器在設(shè)計(jì)和性能上的主要區(qū)別。在處理天文觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，選擇哪種類型的濾波器可能更有優(yōu)勢(shì)？請(qǐng)說明理由。二、1.已知一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)x[n]={a,b,c,d}，其中a=1,b=2,c=3,d=4。請(qǐng)計(jì)算其N=4點(diǎn)的離散傅里葉變換（DFT）X[k]，并給出X[k]的幅度譜和相位譜的表達(dá)式（用k表示）。2.解釋快速傅里葉變換（FFT）算法的基本思想。相比于直接計(jì)算DFT，F(xiàn)FT算法在計(jì)算量上有什么顯著優(yōu)勢(shì)？這個(gè)優(yōu)勢(shì)對(duì)于處理大規(guī)模天文數(shù)據(jù)集意味著什么？三、1.在射電天文學(xué)中，常常需要從接收到的信號(hào)中檢測(cè)出微弱的脈沖星信號(hào)。請(qǐng)簡(jiǎn)述利用相關(guān)分析法檢測(cè)脈沖星信號(hào)的原理。如果信號(hào)是隨機(jī)的噪聲，相關(guān)函數(shù)的結(jié)果會(huì)有什么特點(diǎn)？為了提高檢測(cè)概率，可以采取哪些措施？2.天文望遠(yuǎn)鏡的探測(cè)器輸出信號(hào)通常包含來自恒星、行星和其他天體的光信號(hào)，以及來自大氣和儀器的噪聲。請(qǐng)描述使用數(shù)字濾波器對(duì)這類信號(hào)進(jìn)行處理的基本思路。設(shè)計(jì)一個(gè)合適的濾波器時(shí)，需要考慮哪些因素？這些因素如何影響濾波器的性能？四、1.假設(shè)我們觀測(cè)到某天體的光變曲線，其亮度變化表現(xiàn)出明顯的周期性。請(qǐng)說明如何利用傅里葉分析（如FFT）來估計(jì)該天體的光變周期。在分析過程中可能遇到哪些挑戰(zhàn)？如何判斷所找到的周期性信號(hào)是真實(shí)的物理現(xiàn)象還是噪聲？2.數(shù)字信號(hào)處理中的線性相位特性對(duì)某些應(yīng)用（如濾波）至關(guān)重要。請(qǐng)解釋什么是線性相位濾波器，并說明為什么在天文信號(hào)處理中（例如，在分離不同頻率成分時(shí)）通常傾向于使用線性相位濾波器。五、1.描述功率譜密度函數(shù)（PSD）在分析天文信號(hào)（如太陽(yáng)黑子活動(dòng)、射電源強(qiáng)度分布）時(shí)的作用。請(qǐng)解釋自功率譜和互功率譜各自的含義，并說明它們?cè)谔煳膶W(xué)研究中可能的應(yīng)用場(chǎng)景。2.在進(jìn)行天文數(shù)據(jù)的數(shù)字信號(hào)處理時(shí)，采樣頻率的選擇是一個(gè)關(guān)鍵問題。請(qǐng)分析采樣頻率過高或過低可能分別導(dǎo)致的問題。結(jié)合采樣定理，討論在天文觀測(cè)中如何確定合適的采樣頻率？需要考慮哪些因素？六、1.介紹一種具體的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法（如窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器，或巴特沃斯/IIR濾波器的設(shè)計(jì)公式），請(qǐng)簡(jiǎn)述其設(shè)計(jì)步驟和原理。2.數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)在處理現(xiàn)代大型天文巡天項(xiàng)目（如PLATO、LSST）產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)中扮演著重要角色。請(qǐng)列舉至少三個(gè)DSP技術(shù)在處理這些數(shù)據(jù)時(shí)的重要應(yīng)用，并簡(jiǎn)要說明每個(gè)應(yīng)用的目的和原理。試卷答案一、1.奈奎斯特采樣定理指出，為了無失真地恢復(fù)一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，其采樣頻率必須大于信號(hào)帶寬的兩倍。在天文觀測(cè)中，信號(hào)可能包含來自不同天體或現(xiàn)象的頻率成分。如果采樣頻率低于信號(hào)帶寬的兩倍，會(huì)發(fā)生混疊現(xiàn)象，即高頻信號(hào)被錯(cuò)誤地表示為低頻信號(hào)，導(dǎo)致信息丟失，無法正確分析信號(hào)特性。重要性在于它是進(jìn)行有效數(shù)字信號(hào)處理的前提，確保能夠準(zhǔn)確地獲取和解析信號(hào)中的頻率信息。2.理想低通濾波器在頻率域上是完美的矩形函數(shù)，能夠完全分離通帶和阻帶，但在時(shí)域上是無限長(zhǎng)的沖擊響應(yīng)，物理上無法實(shí)現(xiàn)。實(shí)際可實(shí)現(xiàn)的FIR濾波器具有有限長(zhǎng)的沖擊響應(yīng)，可以通過選擇不同的窗函數(shù)來控制其頻率響應(yīng)的過渡帶寬度和旁瓣電平，但通常存在一定的相位延遲。IIR濾波器利用反饋，可以實(shí)現(xiàn)更陡峭的滾降，但可能存在相位失真，且穩(wěn)定性需要特別關(guān)注。在處理天文觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，F(xiàn)IR濾波器因其線性相位特性（特定窗函數(shù)）而可能更有優(yōu)勢(shì)，尤其是在需要精確保留信號(hào)波形特征或進(jìn)行頻譜分析時(shí)，避免相位失真對(duì)結(jié)果的影響。二、1.DFTX[k]=Σ_{n=0}^{N-1}x[n]*e^(-j*2π*k*n/N)，k=0,1,...,N-1。代入x[n]={1,2,3,4}，計(jì)算得到X[k]的復(fù)數(shù)值。幅度譜|X[k]|=sqrt(Re(X[k])2+Im(X[k])2)，相位譜φ(k)=arctan(Im(X[k])/Re(X[k]))，其中Re(X[k])和Im(X[k])分別是X[k]的實(shí)部和虛部。2.FFT算法的基本思想是將DFT的運(yùn)算分解為規(guī)模更小的DFT的遞歸計(jì)算，利用系數(shù)的對(duì)稱性和周期性，將N點(diǎn)的DFT復(fù)雜度從O(N2)降低到O(NlogN)。計(jì)算量上的顯著優(yōu)勢(shì)意味著對(duì)于大規(guī)模數(shù)據(jù)集，F(xiàn)FT能夠大幅減少計(jì)算時(shí)間和資源消耗，使得對(duì)海量天文數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)或近實(shí)時(shí)處理成為可能，例如分析全天空巡天數(shù)據(jù)或處理長(zhǎng)時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)。三、1.利用相關(guān)分析法檢測(cè)脈沖星信號(hào)的基本原理是將接收到的長(zhǎng)時(shí)序信號(hào)與已知的脈沖星模板信號(hào)進(jìn)行卷積（或互相關(guān)），計(jì)算相關(guān)函數(shù)的峰值。峰值的大小反映了模板信號(hào)與接收信號(hào)中脈沖星信號(hào)成分的相似度。如果信號(hào)是隨機(jī)的噪聲，其自相關(guān)函數(shù)通常在零延遲處有最大值，且隨延遲迅速衰減至零，形狀接近δ函數(shù)。為了提高檢測(cè)概率，可以采取增加觀測(cè)時(shí)間以獲得更強(qiáng)信號(hào)、提高信噪比、使用更長(zhǎng)的脈沖模板以適應(yīng)脈沖寬度的變化、或者采用多通道/多天線陣列進(jìn)行空間相關(guān)處理等方法。2.使用數(shù)字濾波器處理天文探測(cè)器信號(hào)的基本思路是設(shè)計(jì)合適的濾波器來選擇或抑制信號(hào)中的特定頻率成分。對(duì)于包含噪聲的信號(hào)，通常使用低通或帶通濾波器來保留感興趣的信號(hào)頻率（如星光頻段、目標(biāo)天體頻段），同時(shí)抑制高頻噪聲（如儀器噪聲、宇宙射線）或低頻漂移。設(shè)計(jì)濾波器時(shí)需要考慮的因素包括：所需通過的信號(hào)頻率范圍（通帶）、所需抑制的噪聲頻率范圍（阻帶）、通帶和阻帶的過渡帶寬、濾波器的幅度和相位響應(yīng)（特別是是否需要線性相位）、以及濾波器的階數(shù)和復(fù)雜度。這些因素共同影響濾波器的性能，目標(biāo)是達(dá)到最佳的信噪比提升或信號(hào)分離效果。四、1.利用傅里葉分析（FFT）估計(jì)光變周期，首先對(duì)光變曲線數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣，得到時(shí)間序列{t_i}和對(duì)應(yīng)的亮度{I_i}。然后對(duì)亮度序列I_i進(jìn)行FFT，得到其頻譜。在頻譜中尋找功率峰值對(duì)應(yīng)的頻率f_max。該天體的光變周期T估計(jì)值為T=1/f_max。分析過程中可能遇到的挑戰(zhàn)包括噪聲干擾導(dǎo)致功率譜出現(xiàn)虛假峰值、信號(hào)本身可能包含多個(gè)周期成分或非周期變化、需要足夠的觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度以獲得清晰的頻譜。判斷周期性信號(hào)真實(shí)性可以通過：比較不同頻率峰值的信噪比；進(jìn)行功率譜密度估計(jì)，看是否存在明顯的周期信號(hào)；或者采用時(shí)頻分析方法（如短時(shí)傅里葉變換、小波分析）來考察周期隨時(shí)間的變化。2.線性相位濾波器是指其單位沖激響應(yīng)h[n]滿足h[n]=h[N-1-n]（對(duì)于N點(diǎn)因果濾波器）的濾波器，其頻率響應(yīng)H(e^(jω))在負(fù)頻率處與正頻率處關(guān)于零點(diǎn)對(duì)稱。在天文信號(hào)處理中，通常傾向于使用線性相位濾波器，因?yàn)樗鼈冊(cè)跒V波信號(hào)時(shí)不會(huì)引入額外的相位失真。這對(duì)于需要精確分析信號(hào)頻率成分、相位關(guān)系或波形形狀的應(yīng)用至關(guān)重要，例如在分離頻率相近的多個(gè)天體信號(hào)、分析譜線輪廓或進(jìn)行圖像處理（如卷積運(yùn)算）時(shí)，保持線性相位可以確保結(jié)果的物理意義不被扭曲。五、1.功率譜密度函數(shù)（PSD）描述了信號(hào)在不同頻率上的功率分布情況，用于量化信號(hào)在各頻率成分上的能量含量。自功率譜是信號(hào)與其自身相關(guān)后的傅里葉變換的幅度平方，它反映了信號(hào)自身的頻率結(jié)構(gòu)，在天文學(xué)中可用于分析恒星自轉(zhuǎn)、星系旋臂結(jié)構(gòu)、射電源的強(qiáng)度分布等?；スβ首V是兩個(gè)不同信號(hào)（或同一信號(hào)在不同時(shí)間/空間位置的信號(hào)）相關(guān)后的傅里葉變換的幅度平方，它反映了兩個(gè)信號(hào)之間的頻率耦合或同步性。在天文學(xué)研究中可能的應(yīng)用場(chǎng)景包括：分析太陽(yáng)黑子活動(dòng)與耀斑之間的功率譜相關(guān)性；研究不同天體（如星系）之間射電信號(hào)的同步性；或者檢測(cè)引力波源與對(duì)應(yīng)電磁對(duì)應(yīng)體之間的時(shí)頻關(guān)聯(lián)。2.采樣頻率過高可能導(dǎo)致：浪費(fèi)存儲(chǔ)資源（數(shù)據(jù)量過大）；計(jì)算資源浪費(fèi)（需要處理冗余信息）；可能引入不必要的噪聲（高采樣率下探測(cè)器或電路噪聲也可能變得顯著）。采樣頻率過低會(huì)導(dǎo)致混疊，如前所述，高頻信號(hào)被錯(cuò)誤地表示為低頻信號(hào)，信息丟失。確定合適采樣頻率時(shí)需要考慮：信號(hào)的最高預(yù)期頻率成分（必須滿足奈奎斯特定理）；后續(xù)信號(hào)處理算法的要求（某些算法對(duì)采樣率有特定要求）；數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸?shù)膸捪拗?；以及系統(tǒng)的成本和功耗。需要權(quán)衡計(jì)算效率、數(shù)據(jù)質(zhì)量、系統(tǒng)資源和對(duì)信號(hào)完整性的要求來選擇最合適的采樣頻率。六、1.以窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器為例：步驟包括確定所需濾波器的理想頻率響應(yīng)H_d(e^(jω))；選擇一個(gè)合適的窗函數(shù)w[n]（如漢寧窗、漢明窗、布萊克曼窗等），窗函數(shù)的形狀決定了濾波器的過渡帶寬和旁瓣水平；計(jì)算理想濾波器的單位沖激響應(yīng)h_d[n]（通常通過IDFT）；將窗函數(shù)w[n]與h_d[n]相乘，得到實(shí)際的FIR濾波器系數(shù)h[n]=h_d[n]*w[n]；最后進(jìn)行濾波器特性驗(yàn)證（如計(jì)算實(shí)際頻率響應(yīng)H(e^(jω))）。原理是利用窗函數(shù)的時(shí)域特性來“截?cái)唷睙o限長(zhǎng)的理想沖激響應(yīng)h_d[n]，使其變?yōu)橛邢揲L(zhǎng)，從而在頻域引入一定的滾降特性，同時(shí)犧牲部分幅度和相位特性（引入線性相位是可以通過選擇特定窗函數(shù)和對(duì)稱性條件實(shí)現(xiàn)的）。2.DSP技術(shù)在處理大型天文巡天數(shù)據(jù)中的重要應(yīng)用包括：①數(shù)據(jù)壓縮與降噪：利用傅里葉變換、小波變換等方法提取信號(hào)特征，去除冗余信息和噪聲（如探測(cè)器噪聲、大氣閃