2025年大學(xué)《物理學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——材料物理與結(jié)構(gòu)再分析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、試述胡克定律的物理意義及其在描述理想彈性體行為中的應(yīng)用。請(qǐng)說明泊松比的定義及其物理意義。二、一個(gè)由均勻細(xì)線構(gòu)成的、不可伸長(zhǎng)的柔軟繩索，兩端分別固定在相距$L$的兩個(gè)點(diǎn)。在平衡狀態(tài)下，繩索形成一個(gè)半徑為$R$的圓形。忽略重力，求繩索中的張力。三、一塊金屬薄板垂直放置于溫度為$T_0$的環(huán)境中。當(dāng)金屬板一面受到強(qiáng)度為$I$的輻照熱流照射時(shí)，其達(dá)到的穩(wěn)態(tài)溫度高于環(huán)境溫度。請(qǐng)推導(dǎo)出金屬板達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)從輻照面散失到環(huán)境中的熱量表達(dá)式（假設(shè)散熱主要通過對(duì)流和輻射進(jìn)行，對(duì)流換熱系數(shù)為$h_c$，環(huán)境溫度為$T_0$，輻照面溫度為$T$，輻射可用斯蒂芬-玻爾茲曼定律描述，輻射常數(shù)記為$\sigma$）。四、一個(gè)邊長(zhǎng)為$a$的正方形回路，電阻為$R$。初始時(shí)刻，正方形中心放置一個(gè)均勻磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于回路平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為$B_0$。隨后，磁場(chǎng)以勻速率$\frac{dB}{dt}=-k$（$k$為正值常數(shù)）減小。請(qǐng)計(jì)算回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流的大小和方向。五、簡(jiǎn)述金屬的能帶理論如何解釋金屬的導(dǎo)電性。請(qǐng)說明費(fèi)米能級(jí)的物理意義，并解釋為什么導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體的費(fèi)米能級(jí)位置有何不同。六、一束單色光從空氣斜射入折射率為$n$的介質(zhì)中。請(qǐng)用斯涅爾定律描述折射現(xiàn)象。若光束以布儒斯特角$\theta_B$入射，請(qǐng)證明此時(shí)反射光是完全偏振的，并說明反射光的偏振方向。七、一個(gè)質(zhì)量為$m$、電量為$q$的帶電粒子，以速度$v$垂直進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為$B$的均勻磁場(chǎng)中。請(qǐng)描述粒子在此磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，并計(jì)算其做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期。若粒子初速度與磁場(chǎng)方向成$\theta$角，請(qǐng)描述其運(yùn)動(dòng)軌跡，并計(jì)算其螺距。八、根據(jù)熱力學(xué)第二定律，解釋為何熱量不能自動(dòng)地從低溫物體傳向高溫物體。請(qǐng)結(jié)合熵的概念，定性說明理想氣體自由膨脹過程是不可逆的。九、一維無限深勢(shì)阱中，粒子的波函數(shù)為$\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pix}{a}\right)$，其中$a$為勢(shì)阱寬度。請(qǐng)計(jì)算該粒子處于第一激發(fā)態(tài)（$n=2$）時(shí)，其概率密度最大的位置。請(qǐng)說明粒子在該位置處動(dòng)量的概率分布特點(diǎn)。十、一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其速度$v$隨時(shí)間$t$的變化關(guān)系為$v=A+Bt^2$，其中$A$和$B$為常量。請(qǐng)計(jì)算質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間$t_1$到$t_2$時(shí)間內(nèi)的位移。若已知$t=0$時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置為$x_0$，請(qǐng)求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程$x(t)$。試卷答案一、胡克定律描述了理想彈性體在彈性形變范圍內(nèi)，其形變與引起形變的外力（或應(yīng)力）成正比的關(guān)系。其數(shù)學(xué)表達(dá)式通常為$F=-kx$或$\sigma=E\epsilon$，其中$F$是彈力，$k$是勁度系數(shù)，$x$是形變量；$\sigma$是應(yīng)力，$E$是彈性模量，$\epsilon$是應(yīng)變。該定律表明材料的彈性形變是可逆的，去除外力后材料能恢復(fù)原狀。泊松比$\nu$是描述材料橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之間關(guān)系的材料常數(shù)，定義為在單軸拉伸條件下，材料橫向應(yīng)變$\epsilon_{\perp}$與縱向應(yīng)變$\epsilon_{\parallel}$的絕對(duì)值之比，即$\nu=-\frac{\epsilon_{\perp}}{\epsilon_{\parallel}}$。它反映了材料在受力時(shí)橫向收縮或膨脹的程度，是材料的彈性常數(shù)之一，其值通常在$0$到$0.5$之間。二、設(shè)繩索上任意一點(diǎn)處的張力為$T$。由于繩索柔軟且不可伸長(zhǎng)，張力沿繩索的切線方向。在平衡狀態(tài)下，考慮繩索上微元$\Deltas$，其兩端受到的張力在切線方向的分力相互平衡。取自然坐標(biāo)系，設(shè)繩索曲率半徑為$R$，微元$\Deltas$所對(duì)圓心角為$\Delta\theta$，則有$\Deltas=R\Delta\theta$。張力$T$在$\Deltas$兩端的切線方向分量分別為$T$和$T\cos(\Delta\theta/2)$（忽略更高階小量）。由水平方向力的平衡，$2T\sin(\Delta\theta/2)\approxT\Delta\theta=T/R$。因此，繩索中的張力$T=T/R$，即張力大小處處相等，等于曲率半徑乘以張力與半徑之比。對(duì)于圓形繩索，$R$為常數(shù)，故張力$T$為常量。更精確地，由整個(gè)繩索在水平方向受外力平衡，設(shè)兩端固定點(diǎn)對(duì)繩索的作用力為$F$，則$F=T\piR$。因此，繩索中的張力$T=F/\piR$。但通常問張力時(shí)指其大小，且在無其他外力時(shí)$T$為常量。三、單位時(shí)間內(nèi)從輻照面散失到環(huán)境中的熱量$Q_{\text{loss}}$由對(duì)流散失和輻射散失兩部分組成。對(duì)流散失的熱量：$Q_{\text{conv}}=h_cA(T-T_0)$，其中$A$是輻照面的面積，$h_c$是對(duì)流換熱系數(shù)。輻射散失的熱量：根據(jù)斯蒂芬-玻爾茲曼定律，輻射散失功率與溫度的四次方成正比，$Q_{\text{rad}}=\sigmaAT^4$。因此，單位時(shí)間內(nèi)總散失的熱量為$Q_{\text{loss}}=Q_{\text{conv}}+Q_{\text{rad}}=h_cA(T-T_0)+\sigmaAT^4$。四、回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$\mathcal{E}$由法拉第電磁感應(yīng)定律給出：$\mathcal{E}=-\frac{d\Phi_B}{dt}$，其中$\Phi_B$是穿過回路的磁通量。磁通量$\Phi_B=B\cdotS=BA\cos\theta$，其中$B$是磁感應(yīng)強(qiáng)度，$A=a^2$是正方形回路面積，$\theta$是磁場(chǎng)方向與回路法線方向的夾角。初始時(shí)磁場(chǎng)垂直于回路平面，$\theta=0$，$\Phi_B=B_0A$。磁場(chǎng)減小，假設(shè)方向不變，則$\theta$仍為$0$。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$\mathcal{E}=-\frac1xr1fbj{dt}(BA\cos0)=-A\frac{dB}{dt}=Ak$。由于$\frac{dB}{dt}=-k$，所以$\mathcal{E}=-A(-k)=Ak$?；芈冯娮铻?R$，產(chǎn)生的感應(yīng)電流大小$I=\frac{|\mathcal{E}|}{R}=\frac{Ak}{R}$。根據(jù)楞次定律，感應(yīng)電流的方向總是阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量變化。由于磁場(chǎng)$B$在減小，感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)應(yīng)試圖維持原磁場(chǎng)方向和大小，因此感應(yīng)電流的方向應(yīng)使得其產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向與原磁場(chǎng)方向相同。若原磁場(chǎng)方向設(shè)定為垂直紙面向里，則感應(yīng)電流的磁場(chǎng)也需垂直紙面向里。根據(jù)右手螺旋定則，回路中感應(yīng)電流的方向?yàn)轫槙r(shí)針。五、金屬導(dǎo)電性源于其內(nèi)部存在大量的自由移動(dòng)的電子（稱為“電子氣”或“費(fèi)米氣體”）。根據(jù)能帶理論，原子外層電子的能級(jí)在固體中分裂成一系列密集的能級(jí)，形成能帶。在金屬中，價(jià)帶（最高被電子占據(jù)的能帶）未被填滿，或者價(jià)帶與導(dǎo)帶（價(jià)帶之上未被電子占據(jù)的能帶）重疊，使得電子可以在整個(gè)能帶范圍內(nèi)自由移動(dòng)。當(dāng)施加電場(chǎng)時(shí)，這些自由電子會(huì)受到電場(chǎng)力作用，獲得加速度，從而定向移動(dòng)，形成電流。費(fèi)米能級(jí)$E_F$是在絕對(duì)零度下，電子占據(jù)的最高能量級(jí)。它代表了電子氣體的化學(xué)勢(shì)，是描述電子氣狀態(tài)的一個(gè)重要參數(shù)。在非相對(duì)論情況下，費(fèi)米能級(jí)大致反映了金屬中電子的動(dòng)能分布范圍。導(dǎo)體的費(fèi)米能級(jí)通常位于較高的能量處，并且其能帶結(jié)構(gòu)允許電子在電場(chǎng)作用下容易獲得動(dòng)能，導(dǎo)電性好。半導(dǎo)體的費(fèi)米能級(jí)位于禁帶中部或稍靠近導(dǎo)帶底，其導(dǎo)電性對(duì)溫度、光照和雜質(zhì)非常敏感。絕緣體的費(fèi)米能級(jí)位于其價(jià)帶頂和導(dǎo)帶底之間，禁帶寬度很大，電子很難獲得足夠的能量跨越禁帶進(jìn)入導(dǎo)帶，因此導(dǎo)電性極差。六、光線從一種介質(zhì)（空氣，折射率$n_1$）斜射入另一種介質(zhì)（折射率$n_2$）時(shí)，入射光線、折射光線和法線位于同一平面內(nèi)，入射光線和折射光線分別位于法線的兩側(cè)。入射角$\theta_1$和折射角$\theta_2$的正弦值之比等于兩種介質(zhì)的折射率之比，即$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{n_2}{n_1}$或$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{n_2}{n_1}$。這稱為斯涅爾定律。當(dāng)光束以布儒斯特角$\theta_B$入射時(shí)，入射角$\theta_1=\theta_B$，折射角$\theta_2=90^\circ-\theta_B$。此時(shí)，根據(jù)斯涅爾定律，$\frac{\sin\theta_B}{\sin(90^\circ-\theta_B)}=\frac{\sin\theta_B}{\cos\theta_B}=\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}$。即$\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}$。此時(shí)，反射光線和折射光線恰好互相垂直，即$\theta_1+\theta_2=90^\circ$。反射光為完全偏振光，其偏振方向垂直于入射面。這是因?yàn)樵?\theta_B$入射時(shí)，電場(chǎng)的平行于入射面的分量（$s$波）在界面處的反射系數(shù)為零，只有垂直于入射面的分量（$p$波）被反射。七、帶電粒子質(zhì)量為$m$，電量為$q$，以速度$v$垂直進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為$B$的均勻磁場(chǎng)中。由于洛倫茲力$\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$始終垂直于速度$\vec{v}$和磁場(chǎng)$\vec{B}$，這個(gè)力只改變粒子速度的方向，不改變其大小。因此，粒子將在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。洛倫茲力提供向心力：$F=qvB=m\frac{v^2}{R}$，其中$R$是圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。解得半徑$R=\frac{mv}{qB}$。粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T$是完成一周所需的時(shí)間：$T=\frac{2\piR}{v}=\frac{2\pimv}{qvB}=\frac{2\pim}{qB}$。周期與速率無關(guān)。若粒子初速度$v$與磁場(chǎng)$\vec{B}$方向成$\theta$角，設(shè)$\vec{v}=v\cos\theta\hat{i}+v\sin\theta\hat{j}$，其中$\hat{i}$是磁場(chǎng)方向的單位向量（設(shè)為$z$軸正方向），$\hat{j}$是垂直于磁場(chǎng)且在初始速度平面內(nèi)的單位向量。則洛倫茲力$\vec{F}=q(v\cos\theta\hat{i}+v\sin\theta\hat{j})\times(B\hat{i})=qvB(-\sin\theta\hat{k})$。力始終指向圓心，位于垂直于速度和磁場(chǎng)的軸線上（$z$軸）。粒子將做螺旋運(yùn)動(dòng)。其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑$R=\frac{mv_{\perp}}{qB}=\frac{mv\sin\theta}{qB}$。螺旋線的螺距$h$是粒子在一個(gè)周期內(nèi)沿磁場(chǎng)方向（$z$軸）移動(dòng)的距離：$h=v_{\parallel}T=(v\cos\theta)\frac{2\pim}{qB}=\frac{2\pimv\cos\theta}{qB}$。八、根據(jù)熱力學(xué)第二定律的克勞修斯表述，熱量不能自動(dòng)地從低溫物體傳向高溫物體，而不引起其他變化。例如，熱量可以自發(fā)地從高溫物體傳到低溫物體，使兩個(gè)物體的溫度趨于一致，但這個(gè)過程是不可逆的。熵是描述系統(tǒng)無序程度的物理量。根據(jù)熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)意義，一個(gè)孤立系統(tǒng)的熵永不減少，自發(fā)過程總是朝著熵增加的方向進(jìn)行。理想氣體自由膨脹是一個(gè)典型的孤立系統(tǒng)（與外界無能量和物質(zhì)交換）的自發(fā)過程。初始時(shí)，氣體被隔板限制在容器的左半部分，占據(jù)體積$V_1$，壓強(qiáng)$P_1$，溫度$T$。隔板抽掉后，氣體自由膨脹到體積$V_2=2V_1$。由于過程是絕熱且快速的，可以認(rèn)為是準(zhǔn)靜態(tài)的，氣體對(duì)外不做功，也不從外界吸熱，內(nèi)能不變（$U_2=U_1$）。對(duì)于理想氣體，內(nèi)能僅由溫度決定，故末態(tài)溫度$T_2=T$。雖然初末態(tài)溫度相同，但氣體體積增大，分子分布的空間范圍變大了，系統(tǒng)的無序程度顯著增加。根據(jù)玻爾茲曼熵公式$S=k\lnW$（$W$是微觀狀態(tài)數(shù)），氣體自由膨脹后，可供氣體分子占據(jù)的微觀狀態(tài)數(shù)$W$增大了（近似為原來的$2^n$倍，$n$是分子數(shù)），因此系統(tǒng)的熵增加了。這與熱力學(xué)第二定律的熵增加原理一致，說明氣體自由膨脹是一個(gè)熵增加的自發(fā)過程，是不可逆的。九、粒子在無限深勢(shì)阱中，波函數(shù)為$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pix}{a}\right)$。第一激發(fā)態(tài)對(duì)應(yīng)$n=2$。概率密度為$|\psi_n(x)|^2=\frac{2}{a}\sin^2\left(\frac{n\pix}{a}\right)$。當(dāng)$n=2$時(shí)，$|\psi_2(x)|^2=\frac{2}{a}\sin^2\left(\frac{2\pix}{a}\right)$。要找概率密度最大的位置，需對(duì)$\sin^2\left(\frac{2\pix}{a}\right)$求極值。令$\fracbrp1vfb{dx}\sin^2\left(\frac{2\pix}{a}\right)=0$。利用鏈?zhǔn)椒▌t，$2\sin\left(\frac{2\pix}{a}\right)\cos\left(\frac{2\pix}{a}\right)\cdot\frac{2\pi}{a}=0$。即$\sin\left(\frac{4\pix}{a}\right)=0$。解得$\frac{4\pix}{a}=m\pi$，其中$m$為整數(shù)。$x=\frac{ma}{4}$。在勢(shì)阱內(nèi)，$0\lex\lea$。因此，$m$可取$0,1,2,3$。當(dāng)$m=0$時(shí)，$x=0$。此時(shí)$\sin\left(\frac{2\pix}{a}\right)=\sin(0)=0$，概率密度為$0$。當(dāng)$m=1$時(shí)，$x=\frac{a}{4}$。此時(shí)$\sin\left(\frac{4\pix}{a}\right)=\sin(\pi)=0$，概率密度為$0$。當(dāng)$m=2$時(shí)，$x=\frac{2a}{4}=\frac{a}{2}$。此時(shí)$\sin\left(\frac{4\pix}{a}\right)=\sin(2\pi)=0$，概率密度為$0$。當(dāng)$m=3$時(shí)，$x=\frac{3a}{4}$。此時(shí)$\sin\left(\frac{4\pix}{a}\right)=\sin(3\pi)=0$，概率密度為$0$。看起來似乎沒有最大值。但這里求導(dǎo)得到的零點(diǎn)是波函數(shù)過零點(diǎn)。實(shí)際上，概率密度在$x=0,\frac{a}{2},a$處為零，在$x