專題7.3空間直線、平面的平行（舉一反三講義）【全國(guó)通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1有關(guān)平行命題的判斷】 4【題型2證明線線平行】 5【題型3線面平行的判定】 6【題型4線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】 7【題型5面面平行的判定】 9【題型6面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】 11【題型7平行關(guān)系的綜合應(yīng)用】 12【題型8平行關(guān)系的探索性問題】 141、空間直線、平面的平行考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明(2)掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用2023年新高考I卷：第18題，12分2024年新高考I卷：第17題，15分2024年北京卷：第17題，14分2025年全國(guó)一卷：第9題，6分2025年全國(guó)二卷：第17題，15分2025年北京卷：第17題，14分2025年上海卷：第18題，14分空間直線、平面的平行是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的?？純?nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，主要分兩方面進(jìn)行考查，一是空間中線面平行關(guān)系的命題的真假判斷，常以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；二是空間線線、線面、面面平行的證明，一般以解答題的其中一小問的形式考查，難度中等；解題時(shí)要靈活運(yùn)用直線、平面的平行的判定與性質(zhì)，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.知識(shí)點(diǎn)1線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理(1)判定定理①自然語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.②圖形語言③符號(hào)語言.該定理可簡(jiǎn)記為“若線線平行，則線面平行”.(2)性質(zhì)定理①自然語言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.②圖形語言③符號(hào)語言.該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則線線平行”.(3)性質(zhì)定理的作用①作為證明線線平行的依據(jù).當(dāng)證明線線平行時(shí)，可以證明其中一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線是過第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據(jù).如果一條直線平行于一個(gè)平面，要在平面內(nèi)畫一條直線與已知直線平行，可以過已知直線作一個(gè)平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.2．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理(1)判定定理①自然語言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.②圖形語言③符號(hào)語售.該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則面面平行”.(2)判定定理的推論①自然語言如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行.②圖形語言③符號(hào)語言.(3)性質(zhì)定理①自然語言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.②圖形語言③符號(hào)語言.該定理可簡(jiǎn)記為“若面面平行，則線線平行”.(4)兩個(gè)平面平行的其他性質(zhì)①兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面.

②平行直線被兩個(gè)平行平面所截的線段長(zhǎng)度相等.

③經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

④兩條直線同時(shí)被三個(gè)平行平面所截，截得的線段對(duì)應(yīng)成比例.

⑤如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.知識(shí)點(diǎn)2空間中的平行關(guān)系的判定方法1．線線平行的證明方法(1)定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)；(2)利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；(3)利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行；(4)利用線面平行與面面平行的性質(zhì)定理來判定線線平行.2．線面平行的判定方法(1)利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點(diǎn)；(2)利用線面平行的判定定理：如果平面外有一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行—線面平行”)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)所有直線都平行于另一個(gè)平面.(簡(jiǎn)記為“面面平行—線面平行”).3．面面平行的判定方法(1)面面平行的定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，常與反證法結(jié)合(不常用)；(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(主要方法)；(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(選擇、填空題可用)；(4)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行(選擇、填空題可用).【方法技巧與總結(jié)】1．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α//β.2．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α//β，β//γ，則α//γ.3．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a//b.4．若α//β，aα，則a//β.【題型1有關(guān)平行命題的判斷】【例1】（2025·河北唐山·二模）已知m為平面α外的一條直線，則下列命題中正確的是（

）A．存在直線n，使得n⊥m，n⊥α B．存在直線n，使得n⊥m，n//αC．存在直線n，使得n//m，n//α D．存在直線n，使得n//m，n⊥α【變式1-1】（2025·廣東深圳·一模）已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi)，則“直線a和直線b平行”是“平面α和平面β平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（24-25高一下·福建龍巖·期中）已知直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若a//α，b//α，則a//bB．若a//b，a//α，則b//αC．若a?α，b?α，且a//β，b//β，則α//βD．α，β，γ三個(gè)平面最多可將空間分割成8個(gè)部分【變式1-3】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，m，n是三條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題一定正確的是（

）A．若m//α，n//β，α//β，則m//nB．若m?α，n?α，?m//β，n//β，則C．若l//α，l?β，α∩β=m，則l//mD．若m?α，n?α，l?β，且m//β，n//l，則α//β【題型2證明線線平行】【例2】（24-25高一下·全國(guó)·課堂例題）如圖所示，在三棱錐S?MNP中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點(diǎn)，則EF與HG的位置關(guān)系是（

）

A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面【變式2-1】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1D1D，側(cè)面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直【變式2-2】（24-25高一下·全國(guó)·課堂例題）已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，【變式2-3】（24-25高二上·云南大理·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C(1)證明：AD(2)求三棱錐A?B【題型3線面平行的判定】【例3】（2025·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M是線段B1

(1)求證：EF//平面BD(2)若四棱柱ABCD?A1B1C1D【變式3-1】（2025·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體A1B1C1(1)求證：A1C1(2)若BD1=6，求點(diǎn)B【變式3-2】（2024·四川·三模）正方體ABCD?A1B1C(1)求證：CG//面D1(2)求點(diǎn)G到平面D1【變式3-3】（2025·陜西渭南·三模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，4PA=4AB=3AD=12，BA?AD=0，且M，N分別為PD(1)求證：MN//平面PBC(2)求三棱錐M?ACD的體積．【題型4線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例4】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是平行四邊形，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在PA上，且AP=λAF，PC//平面BEF，則λ的值為（

A．1 B．32 C．2 【變式4-1】（24-25高一下·山東濟(jì)南·期中）如圖，在四棱錐P?ABCE中，四邊形ABCE是梯形，AB//CE,且AB=3CE,點(diǎn)F在棱PA上，且EF∥平面PBC，則PFFA=（

A．13 B．12 C．23【變式4-2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱柱ABC?A1B1C1各棱長(zhǎng)均相等，M為棱AC上一點(diǎn)，Q為棱(1)求AMMC(2)若平面A1MB1將三棱柱ABC?A1B【變式4-3】（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=λCD，點(diǎn)E在棱PC上，PA//平面EBD.(1)試確定點(diǎn)E的位置，并說明理由；(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使三棱錐E?BPD體積為43【題型5面面平行的判定】【例5】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正四棱錐P?ABCD的底面為平行四邊形．M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)．求證：平面MNQ//平面PAD．【變式5-1】（24-25高一下·福建龍巖·期中）如圖，梯形ABCD是圓臺(tái)O1O2的軸截面，E，F(xiàn)分別在底面圓O1，O2的圓周上，EF為圓臺(tái)的母線，∠DO1E=60°，已知CD=4，AB=8，(1)證明：平面CGH//平面O1(2)若三棱錐C?GBH的體積為533，求圓臺(tái)【變式5-2】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓錐PO中，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，四邊形ABCD是底面的內(nèi)接正方形，E,F分別為PD,PA的中點(diǎn)，過點(diǎn)E,F,O的平面為α.(1)證明：平面α∥平面PBC；(2)若圓錐的底面圓半徑為2，高為3，設(shè)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，求三棱錐P?MBC的體積.【變式5-3】（24-25高一下·廣東中山·階段練習(xí)）如圖，正四棱錐P?ABCD的底面為平行四邊形．M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)，設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．(1)求證：平面MNQ//平面PAD；(2)求證：BC//l；(3)若PA=5，AB=42【題型6面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例6】（24-25高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四邊形ABCD為平行四邊形，E,F分別在線段DB,DD1上，且DEEB=DF

A．12 B．13 C．23【變式6-1】（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，DD1上，DEEB=1

A．12 B．13 C．23【變式6-2】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，E，F(xiàn)，G，H分別是PB，PC，AE，BF的中點(diǎn)．證明：直線GH//平面ABC．

【變式6-3】（24-25高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，四棱錐P?ABCD的底面為平行四邊形.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn).(1)求證：MQ//平面PAD；(2)求證：BC//l.【題型7平行關(guān)系的綜合應(yīng)用】【例7】（24-25高一下·陜西漢中·期末）由正方體ABCD?A1B1C1D1截去三棱錐(1)求證：A1O//平面(2)求證：平面A1BD//平面【變式7-1】（24-25高一下·江西上饒·期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn).已知M，N分別是PC，AB的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于HG.(1)求證：MN//平面PAD(2)求證：AP//HG.【變式7-2】（24-25高一下·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：BD1//(2)若N為CC1的中點(diǎn)，求證：平面AMC//(3)求三棱錐M?ABC與正方體ABCD?A【變式7-3】（24-25高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?AB1C1D(1)求證：BD1//(2)取CC1中點(diǎn)F，求證：平面AEC//平面(3)求異面直線AE與D1【題型8平行關(guān)系的探索性問題】【例8】（24-25高一下·青海海南·期末）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C(1)證明：C1G//平面(2)在棱AA1上是否存在點(diǎn)H，使得平面C1GH//平面【變式8-1】（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，E是側(cè)棱PC上一點(diǎn)，且PE=2EC．

(1)試確定側(cè)棱PC上一點(diǎn)Q的位置，使AQ//平面BDE．(2)在側(cè)棱PB上是否存在一點(diǎn)R，使AR//平面BDE？若存在，求出PRRB【變式8-2】（24-25高一下·甘肅白銀·期末）如圖，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，(1)求證：PQ//平面BCC(2)若R是AB上的點(diǎn)，當(dāng)ARAB的值為多少時(shí)（用λ表示），能使平面PQR∥平面【變式8-3】（24-25高一下·四川綿陽·階段練習(xí)）如圖所示正四棱錐S?ABCD，SA=SB=SC=SD=4，AB=22，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，且SP=3PD

(1)正四棱錐S?ABCD的外接球表面積；(2)若M為SA的中點(diǎn)，求證：SC//平面BMD；(3)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE//平面PAC．若存在，求SEEC一、單選題1．（2025·福建寧德·三模）設(shè)α,β是兩個(gè)不同平面，m,n是平面β內(nèi)的兩條不同直線.甲：m//α,n//α，乙：α//β，則（

）A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件2．（24-25高二下·北京·期中）已知直線a,b，平面α，給出下列四個(gè)命題：①若a//b,b?α，則a//α；②若a//α,b//α，則a//b；③若a//b,b//α，則a//α；④若a//α,b?α，則a//b.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)m,n是兩條相交直線，α,β是兩個(gè)互相平行的平面，且n//β，則“m//α”是“m//β”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)D在棱BB1上，且BD=23BB1,M,E分別是棱

A．57 B．75 C．235．（2024·山東·一模）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，M,?N分別為PC,?AC上的點(diǎn)，且MN//平面A．MN//PD B．MN//PA C．MN//AD D．以上均有可能6．（2025·河南·二模）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱AD，B1C1的中點(diǎn)，若PA．825 B．2305 C．7．（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A?B?C?M?N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線A．

B．

C．

D．

8．（24-25高一下·海南·期末）如圖所示是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中以下四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)是（

）①BM//平面ADE；②CN//平面ABF；③平面BDM//平面AFN；④平面BDE//平面NCF.A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④二、多選題9．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）在正三棱柱ABC?A1B1C1中，A．AD⊥A1C B．C．AD//A1B1 10．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A,B,C,M,N是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中滿足MN//平面ABC的是（

）A．

B．

C．

D．

11．（2025·浙江溫州·二模）在四棱錐P?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AP，BC上的點(diǎn)，AEEP=BFFC，則下列條件可以確定EF//平面A．AD//BC B．AB//CDC．BC//平面PAD D．CD//平面PAB三、填空題12．（2024·上海徐匯·一模）已知m,n為空間中兩條不同的直線，α,β為兩個(gè)不同的平面，若m?α,α∩β=n