專題6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等比數(shù)列的基本量計(jì)算】 4【題型2等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】 6【題型3等比數(shù)列的判定與證明】 7【題型4等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】 9【題型5等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】 11【題型6等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】 14【題型7等比數(shù)列的簡單應(yīng)用】 15【題型8等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】 18【題型9等比數(shù)列中的不等式恒成立問題】 21【題型10與等比數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】 251、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)通過生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義(2)掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系(3)能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題(4)體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系2023年新高考Ⅱ卷：第8題，5分2023年全國乙卷（理數(shù)）：第15題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第5題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第19題，17分2024年北京卷：第15題，5分2025年全國一卷：第13題，5分2025年全國二卷：第9題，6分2025年北京卷：第5題，4分2025年天津卷：第19題，15分等比數(shù)列是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的常考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，等比數(shù)列的基本量計(jì)算和基本性質(zhì)、等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)、判定是高考考查的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等比數(shù)列的證明、求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，一般出現(xiàn)在解答題中，難度中等.近年高考壓軸題中也會出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，難度較大，需要靈活求解.知識點(diǎn)1等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．等比數(shù)列的概念文字

語言一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符號

語言在數(shù)列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，則稱數(shù)列{an}為等比數(shù)列，常數(shù)q稱為等比數(shù)列的公比遞推

關(guān)系或2．等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).

若G是a與b的等比中項(xiàng)，則，所以G2=ab，即G=.3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則這個等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是(a1,q≠0).4．等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則

(1)當(dāng)或時，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；

(2)當(dāng)或時，等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；

(3)當(dāng)q=1時，等比數(shù)列{an}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項(xiàng)均不等于0)；

(4)當(dāng)q<0時，等比數(shù)列{an}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項(xiàng)同號，所有的偶數(shù)項(xiàng)也同號，但是奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)異號).5．等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè){an}為等比數(shù)列，公比為q，則

(1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，則.

(2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列.

(3)數(shù)列{λan}(λ為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

若數(shù)列{bn}是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列{}是公比為q·q'的等比數(shù)列.

(4)在數(shù)列{an}中，每隔k(k∈N*)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為.

(5)在數(shù)列{an}中，連續(xù)相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或)的等比數(shù)列.

(6)若數(shù)列{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.6．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和公式為

=.7．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，則有如下性質(zhì)：

(1).

(2)若(k∈N*)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為qk.

(3)若{an}共有2n(n∈N*)項(xiàng)，則=q；

若{an}共有(2n+1)(n∈N*)項(xiàng)，則=q.知識點(diǎn)2等比數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略1．等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的求解思路：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解.知識點(diǎn)3等比數(shù)列的判定方法1．證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：(1)定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；(2)中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：（k，q為常數(shù)）為等比數(shù)列；證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.2．在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時，要注意對n=1的情形進(jìn)行驗(yàn)證.知識點(diǎn)4等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用1．等比數(shù)列的性質(zhì)：等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形；二是等比中項(xiàng)的變形；三是前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.2．等比數(shù)列的單調(diào)性與最值問題涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項(xiàng)的符號對其的影響.知識點(diǎn)5等比數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征1．Sn與q的關(guān)系(1)當(dāng)公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，它可以變形為,設(shè)，則上式可以寫成的形式，由此可見，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)；(2)當(dāng)公比q=1時，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，則數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn).2．Sn與an的關(guān)系當(dāng)公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，它可以變形為,設(shè)，則上式可以寫成的形式，則Sn是an的一次函數(shù).【方法技巧與總結(jié)】1．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以寫成，這里c≠0，q≠0.2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可以寫成(A≠0，q≠1,0).3．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.(1).(2)若，則成等比數(shù)列.(3)若數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n，則；若項(xiàng)數(shù)為2n+1，則.【題型1等比數(shù)列的基本量計(jì)算】【例1】（2025·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）若等比數(shù)列an的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)分別為48和12，則an的首項(xiàng)a1=（A．－192 B．192 C．±192 D．－193【答案】B【解題思路】由題意求得公比的平方即可得解.【解答過程】由a3=48，a5=12，得所以a1故選：B．【變式1-1】（2025·浙江杭州·二模）若等比數(shù)列an滿足a1+a2=2，A．?12或13 B．12或?12【答案】C【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【解答過程】a1a1所以q=?1故選：C.【變式1-2】（2025·湖南邵陽·模擬預(yù)測）記等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=1，S6A．3 B．2 C．?23 【答案】D【解題思路】先判斷公比q≠1，利用等比數(shù)列求和公式代入題設(shè)求得q=?23，即可求出【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，若q=1，則S6=2由S6=19化簡得q3=?8則a1故選：D.【變式1-3】（2025·河南·二模）已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn?aA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解題思路】由等比數(shù)列性質(zhì)分q=1、q≠1兩種情況討論求解即可.【解答過程】設(shè)an的公比為q，當(dāng)q=1時，an=可得Sn所以Sn當(dāng)q≠1時，an=a可得Sn因?yàn)镾n?an+1故選：B.【題型2等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】【例2】（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）已知an為等比數(shù)列，a2a7=?3，aA．?3 B．3 C．?9 D．9【答案】A【解題思路】根據(jù)已指兩個等式，利用等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)得到a1【解答過程】由題設(shè)a3a6則a1a6=a2a故選：A.【變式2-1】（2025·云南保山·一模）若a、3、b、1成等比數(shù)列，則ab=（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【解題思路】根據(jù)等比中項(xiàng)的概念可得結(jié)果．【解答過程】因?yàn)閍、3、b、1成等比數(shù)列，根據(jù)等比中項(xiàng)的概念可得，a?b=3故選：C.【變式2-2】（2025·江蘇南通·三模）在等比數(shù)列an中，a5?a6?aA．36 B．±6 C．?6 D．6【答案】D【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【解答過程】等比數(shù)列an中a∴a6=2∴a4=±a2a6故選：D．【變式2-3】（2025·河南·一模）若a,3,b,1成等比數(shù)列，則a?b=（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【解題思路】根據(jù)等比中項(xiàng)的概念可得結(jié)果.【解答過程】根據(jù)等比中項(xiàng)的概念可得，a?b=3故選：C.【題型3等比數(shù)列的判定與證明】【例3】（2025·上海黃浦·三模）已知數(shù)列an各項(xiàng)為正，P:an滿足am+n=aman，m、nA．充分必要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件．【答案】B【解題思路】設(shè)a1=t>0，令m=1得【解答過程】設(shè)a1=t>0，am+n=a即an+1an但必要性不成立，理由如下：不妨設(shè)an的首項(xiàng)為1，公比為2，取m=n=2得a但a4=8,a綜上，P是Q的充分非必要條件.故選：B.【變式3-1】（2024·寧夏銀川·二模）已知數(shù)列{an}滿足a1=1A．{an+3} B．{an?3}【答案】D【解題思路】由數(shù)列的遞推式，計(jì)算前四項(xiàng)，由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷ABC；由數(shù)列的遞推式推得an+2?a【解答過程】由a1=1，a2可得3a3+a1又3a4+a2由a1+3=4，a2+3=7，a3由a1?3=?2，a2?3=1，a3由a2+a1=5，a3+由3an+2+即為an+2?an+1=13(an+1?故選：D.【變式3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求證：數(shù)列an(2)設(shè)bn=an2n,【答案】(1)證明見解析(2)B【解題思路】（1）根據(jù)an與Sn之間的關(guān)系將Sn消去可得a（2）由（1）可得an=2【解答過程】（1）當(dāng)n=1時，由Sn=2an?由Sn=2a兩式相減得Sn+1化簡得an+1從而an+1又a1+2×1+3=4，所以數(shù)列（2）由（1）知an+2n+3=4×2所以bn所以Bn令Tn所以12兩式相減，得152則Tn所以Bn【變式3-3】（2025·吉林延邊·一模）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1(1)求a2，a(2)證明：數(shù)列an(3)求數(shù)列an【答案】(1)a2=4，(2)證明見解析；(3)a【解題思路】（1）直接代入計(jì)算即可；（2）變形得an+1（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得an【解答過程】（1）a2=3a（2）由an+1=3a且a1+1=2≠0，所以數(shù)列（3）由（2）知數(shù)列an所以an即an【題型4等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】【例4】（2025·全國·一模）等比數(shù)列an中，a1=1，a5=?8a2A．(?2)n?1 B．?(?2)n?1 C．(?2)【答案】B【解題思路】根據(jù)題意等比數(shù)列的性質(zhì)可得公比q=?2，且由a5<a【解答過程】由題意知數(shù)列an為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，由a5=?8a2因?yàn)閍5<a2，即a1q4<a所以an故選：B.【變式4-1】（2024·海南·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的公比不為1，若a1=2，且3a1A．2×3n?1 B．3n C．2×【答案】C【解題思路】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等比數(shù)列基本量的計(jì)算求通項(xiàng)公式即可.【解答過程】設(shè)an的公比為q則依題意有2a解方程得q=?3或q=1（舍去），所以an=故選：C.【變式4-2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知遞增等比數(shù)列an中，a1+(1)求an(2)求bn的前n項(xiàng)和S【答案】(1)a(2)S【解題思路】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)先求出公比q，再求出a1，即可求出等比數(shù)列a（2）先求出bn，并將其裂項(xiàng)，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可求出bn的前n項(xiàng)和【解答過程】（1）設(shè)遞增等比數(shù)列an的公比為q，則q>0因?yàn)閍1所以q2=a所以a1+2a所以an（2）因?yàn)閍n所以bnS==1?1【變式4-3】（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足：a1=1,an+1=a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)cn=an+log2【答案】(1)an(2)T【解題思路】（1）根據(jù)條件得an是公差為2的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求通項(xiàng)公式可得結(jié)果，設(shè)數(shù)列bn的公比為q，列出方程，求出（2）化簡得到cn=3n?2，故【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an公差為d因?yàn)閍n+1=所以an所以an因?yàn)閎1,b設(shè)bn的公比為q，其中b所以4=2q+2q?1，解得q=2當(dāng)q=2時，b1=1，此時bn當(dāng)q=12時，b1=4，此時綜上，an（2）由（1）得，cn所以cn+1所以cn所以Tn【題型5等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】【例5】（24-25高三上·云南昆明·期中）設(shè)等比數(shù)列an公比為q，則“q>1”是“an為遞增數(shù)列”的（A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件【答案】D【解題思路】要判斷“q>1”與“等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”之間的條件關(guān)系.需要分別從充分性和必要性兩方面進(jìn)行分析，即看“q>1”能否推出“等比數(shù)列{an【解答過程】假設(shè)q>1.對于等比數(shù)列{an}當(dāng)q=2，a1=?2時，根據(jù)通項(xiàng)公式可得此時a2<a這說明僅僅q>1不能保證等比數(shù)列{a所以“q>1”不是“等比數(shù)列{a假設(shè)等比數(shù)列{an}由通項(xiàng)公式可得an=a1q當(dāng)a1<0時，不等式兩邊同時除以a1qn?1得到qn<qn?1.例如當(dāng)n=2時，這說明等比數(shù)列{an}所以“q>1”不是“等比數(shù)列{a則“q>1”是“an故選：D.【變式5-1】（2025·北京順義·一模）設(shè)an為等比數(shù)列，則“存在i>j>k，使得ai<ajA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解題思路】根據(jù)題意，舉出反例即可得到充分性不滿足，再由數(shù)列單調(diào)性的定義，即可驗(yàn)證必要性滿足，從而得到結(jié)果.【解答過程】假設(shè)等比數(shù)列的公比q=?2，首項(xiàng)a1=1，則數(shù)列的項(xiàng)依次為當(dāng)i=4,j=2,k=1時，滿足a4<a故充分性不滿足；若an為遞減數(shù)列，則對于任意的i>j>k，必然有a故必要性滿足；所以“存在i>j>k，使得ai<a故選：B.【變式5-2】（2025·上海閔行·二模）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，首項(xiàng)a1>0，公比q∈A．?dāng)?shù)列an的最大項(xiàng)為a1 B．?dāng)?shù)列aC．?dāng)?shù)列anan+1為嚴(yán)格遞增數(shù)列 【答案】D【解題思路】分別在n為偶數(shù)和n為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)和an+2?an的正負(fù)得到最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，知AB正誤；利用【解答過程】對于A，由題意知：當(dāng)n為偶數(shù)時，an當(dāng)n為奇數(shù)時，an>0，an+2綜上所述：數(shù)列an的最大項(xiàng)為a對于B，當(dāng)n為偶數(shù)時，an<0，an+2當(dāng)n為奇數(shù)時，an綜上所述：數(shù)列an的最小項(xiàng)為a對于C，∵ana∴a∵?1<q<0，∴q2?1<0∴數(shù)列an對于D，∵a2n?1+∴a∵?1<q<0，∴1+q>0，q2?1<0，又∴a2n+1+a2n+2故選：D.【變式5-3】（24-25高三上·貴州黔西·階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，且滿足條件a1>1，aA．0<q<1 B．SC．T2020是數(shù)列Tn中的最大項(xiàng) 【答案】D【解題思路】根據(jù)題意，分析可得a2020>1，a2021<1，從而有a1【解答過程】等比數(shù)列{an}的公比為q，若a由a1>1，可得q>0，則數(shù)列若(a2020?1)(a2021?1)<0，當(dāng)q≥1時，由a1>1則an因?yàn)?<a2021<1，所以S根據(jù)a1>a2>…>a2020由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a所以T4041=a故選：D．【題型6等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【例6】（2025·江西贛州·二模）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S20=21，S30A．?7 B．7 C．63 D．7或63【答案】B【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列片段和的性質(zhì)有(S20?【解答過程】由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)知，S10、S20?所以(S20?所以S102?70S10等比數(shù)列an的公比為q若S10=63時，則S20若S10=7時，則所以S10故選：B.【變式6-1】（2025·江西·二模）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a4+aA．81 B．71 C．61 D．51【答案】C【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)，即可求解.【解答過程】由題可知S3,S6?所以S6?S32則此等比數(shù)列的首項(xiàng)是1，公比是?3，那么S12S15所以S15故選：C.【變式6-2】（24-25高二上·重慶·期中）已知等比數(shù)列an有2n+1項(xiàng)，a1=1，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則n=A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到奇數(shù)項(xiàng)為1+q2+q4+…+q2n=1+q【解答過程】因?yàn)榈缺葦?shù)列有2n+1項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有n+1項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有n項(xiàng)，設(shè)公比為q，得到奇數(shù)項(xiàng)為1+q偶數(shù)項(xiàng)為q+q3+所以前2n+1項(xiàng)的和為1?22n+11?2故選：B.【變式6-3】（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）記Sn為公比小于1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S3=2，S12A．6 B．3 C．1 D．1【答案】B【解題思路】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列片段和性質(zhì)列式計(jì)算即得.【解答過程】依題意，S3,S則S6由S12S6S9由等比數(shù)列an的公比q小于1，得p=q3所以S6故選：B.【題型7等比數(shù)列的簡單應(yīng)用】【例7】（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．10×8585+C．10×8585?【答案】A【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式計(jì)算．【解答過程】由題意記10人每人所得玉米時依次為a1,a2,?,a10，則n≥2由已知a1[1?(S5故選：A．【變式7-1】（2025·四川內(nèi)江·一模）2024年3月12日是第46個植樹節(jié)，為加快建設(shè)美麗內(nèi)江、筑牢長江上游生態(tài)屏障貢獻(xiàn)力量，我市積極組織全民義務(wù)植樹活動．現(xiàn)有一學(xué)校申領(lǐng)到若干包樹苗（每包樹苗數(shù)相同），該校8個志愿小組依次領(lǐng)取這批樹苗開展植樹活動．已知第1組領(lǐng)取所有樹苗的一半又加半包，第2組領(lǐng)取所剩樹苗的一半又加半包，第3組也領(lǐng)取所剩樹苗的一半又加半包．以此類推，第8組也領(lǐng)取所剩樹苗的一半又加半包，此時剛好領(lǐng)完所有樹苗．請問該校共申領(lǐng)了樹苗多少包？（

）A．127 B．255 C．316 D．511【答案】B【解題思路】設(shè)原有樹苗有xx>0包，求出第1組到第8組所領(lǐng)取樹苗的包數(shù)，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于x【解答過程】設(shè)原有樹苗有xx>0包，第1組領(lǐng)取1第2組領(lǐng)取12第3組領(lǐng)取12?，以此類推可知，第8組領(lǐng)取12由題意可得12即xx+1=1故選：B.【變式7-2】（2025·四川宜賓·一模）《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻.大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，第n天后大老鼠打洞的總進(jìn)度是小老鼠的4倍，則n的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解題思路】設(shè)大老鼠每天打洞的長度構(gòu)成等比數(shù)列an，則a1=1,q=12，小老鼠每天打洞的長度構(gòu)成等比數(shù)列b【解答過程】設(shè)大老鼠每天打洞的長度構(gòu)成等比數(shù)列an則a1=1,q=2，所以設(shè)小老鼠每天打洞的長度構(gòu)成等比數(shù)列bn則b1=1,q=1所以Sn=4Tn解得：n=3或n=1(舍)故選：C.【變式7-3】（2024·云南昆明·一模）第七屆國際數(shù)學(xué)大會（ICNE7）的會徽圖案是由若干三角形組成的.如圖所示，作Rt△?AOB，OA=1，∠AOB=30°，再依次作相似三角形△?BOC，△?COD，△

A．32233C．3223【答案】D【解題思路】設(shè)第nn∈N*,1≤n≤12三角形的斜邊長為an，面積為bn，根據(jù)題意分析可知數(shù)列【解答過程】因?yàn)?60°30°設(shè)第nn∈N*,1≤n≤12三角形的斜邊長為由題意可知：a1=1cos30°則b1=3可知數(shù)列bn是以首項(xiàng)b1=所以所作的所有三角形的面積和為36故選：D.【題型8等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】【例8】（2025·河南·二模）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，a1=1，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且b1=a3A．2 B．52 C．118【答案】C【解題思路】由題意得b22=b1b3，即a【解答過程】由題意得b22=b1解得d=0（舍去）或d=12，所以b1=a則bn=因?yàn)镾8所以S8故選：C.【變式8-1】（2025·陜西寶雞·三模）已知數(shù)列an滿足a①數(shù)列a2n?1②數(shù)列a2n③當(dāng)a1=1時，其中真命題的個數(shù)為（

）個A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義計(jì)算判斷①②，再根據(jù)解析式計(jì)算判斷③.【解答過程】數(shù)列an滿足a當(dāng)n=2k,k∈Z為偶數(shù)時，an+1=2a所以log2an+1=log2a當(dāng)n=2k?1,k∈Z為奇數(shù)時，an+1=所以an+1=log22an?1因?yàn)閍1=1時，數(shù)列a2n為等差數(shù)列，所以a故選：D.【變式8-2】（2025·湖北·三模）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S6=63，a2?a8=?126，數(shù)列b(1)求數(shù)列an和b(2)求數(shù)列cn的最小值及取得最小值時n【答案】(1)an=(2)c1=c2=0【解題思路】（1）解方程組求出等比數(shù)列公比，即可求得an=2（2）結(jié)合（1）可得數(shù)列cn【解答過程】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，S6=63可知q≠1,故a11?q61?q又?jǐn)?shù)列bn是公差為1的等差數(shù)列，且a故b4=4b1，即故bn（2）由于cn=a則cn+1當(dāng)n=1時，c2?c1=21?1故數(shù)列cn的最小值為c1=c2【變式8-3】（2025·湖南長沙·三模）已知等差數(shù)列an的第2項(xiàng)為3，其前5項(xiàng)和為25．?dāng)?shù)列bn是公比大于0的等比數(shù)列，b1(1)求an和b(2)記cn=b（ⅰ）證明cn（ⅱ）證明i=1nai【答案】(1)an=2n?1，n∈N*(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【解題思路】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算；（2）（?。└鶕?jù)cn=b2n+1b（ⅱ）由anan+1cn2?【解答過程】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列an所以a1+a計(jì)算得a3=5，公差為所以an設(shè)等比數(shù)列bn的公比為qq>0，因?yàn)閎1解得q=4或q=?5（舍），故bn（2）（ⅰ）由題意，cn所以cn所以cn2?c2n（ⅱ）由題意知，an所以anan+1設(shè)Tn=i=1兩式相減得12所以Tn所以i=1n【題型9等比數(shù)列中的不等式恒成立問題】【例9】（2025·甘肅定西·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1+a3=5,A．?8,2 B．?2,8 C．?10,6 D．?6,10【答案】A【解題思路】根據(jù)已知及等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求基本量，再應(yīng)用基本不等式求an【解答過程】設(shè)數(shù)列an的公比為q，由題意知q≠1由a1+a所以an因?yàn)閍n2+64an所以m2+6m<16，解得故選：A.【變式9-1】（2024·江蘇蘇州·二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，2an+1=3Sn，若tA．(?4,2) B．?3,2 C．?6,2 【答案】B【解題思路】根據(jù)給定的遞推公式求出Sn，再按n為奇數(shù)、偶數(shù)分類求解即可得t【解答過程】由2an+1=3當(dāng)n≥2時，an=S整理得Sn=?2S而3S1=2于是S1?13=23因此Sn?1由tSn<當(dāng)n為奇數(shù)時，1+2n3?t<2當(dāng)n=1時，(3?31+2當(dāng)n為偶數(shù)時，1?2n3?t<2n，即所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為?3,2.故選：B.【變式9-2】（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知數(shù)列an滿足a1=5，an+1?2(1)求證：bn(2)設(shè)cn=2n+1bn，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn【答案】(1)證明見解析(2)?【解題思路】（1）證明bn+1bn為常數(shù)即可證明b（2）先求出cn，根據(jù)cn通項(xiàng)公式的特征，采用錯位相減法求其前n項(xiàng)和Sn，題設(shè)化簡為?1nλ<5【解答過程】（1）由已知，∵a∴an+1=3n又∵a1=5∴數(shù)列bn中任意一項(xiàng)不為0，b∴數(shù)列bn（2）由第（1）問知，bn則cn=2n+112所以①-②可得：12所以Sn由?1nλ<S化簡得?1n當(dāng)n為奇數(shù)時，有?λ<51?12而5×12n當(dāng)n為偶數(shù)時，有λ<51?而5?5×12n綜上，λ的取值范圍為?5【變式9-3】（2025·天津·二模）已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足：a1=b1(1)求數(shù)列an和b(2)求數(shù)列n2anan+1(3)已知cn=an3bn，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和【答案】(1)a(2)n(3)λ∈【解題思路】（1）求等差數(shù)列an的公差d和等比數(shù)列bn的公比（2）令dn（3）利用錯位相減法先求Tn，由1?Tn<λ2n【解答過程】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，則有所以an所以b1=1b2b所以bn所以an（2）令dn=n所以Sn=d（3）由已知有cn所以Tn13所以①?②有：23Tn由1?Tn<λ2n有所以en所以當(dāng)n>2時，en?en?1<0，即en<en?1所以λ∈4【題型10與等比數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】【例10】（24-25高三下·重慶·階段練習(xí)）定義：滿足an+2an+1:an+1an=qq為常數(shù)，n∈N*）的數(shù)列anA．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解題思路】根據(jù)數(shù)列新定義可得anan?1【解答過程】由題意知二階等比數(shù)列∣an的二階公比為2,故an將以上各式累乘得：an故an令2n?1n4故n?1n4>10又n?1n的值隨n的增大而增大，且(當(dāng)n=7時，2n?1當(dāng)n=8時，2n?1故n的最小值為8，故選：B.【變式10-1】（24-25高二上·北京·期末）如果數(shù)列an滿足an+2an+1?an+1an①若數(shù)列an滿足a②數(shù)列n?2③所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；④存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】B【解題思路】根據(jù)比等差數(shù)列的定義an+2an+1【解答過程】①數(shù)列{an}滿足a滿足等比差數(shù)列的定義，故①正確；②數(shù)列{n?2a=n?(n+2)?2?不滿足等比差數(shù)列的定義，故②錯誤；③設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則an+2滿足等比差數(shù)列，故③正確；④設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則an+2故當(dāng)d=0時，滿足an+2故選：B.【變式10-2】（2025高三下·全國·專題練習(xí)）若數(shù)列{an}(1)已知數(shù)列{an}為4，3，1，2，數(shù)列{bn(2)已知數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為c【答案】(1){an}(2){c【解題思路】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)，結(jié)合列舉法即可求解，（2）假設(shè)是“等比源數(shù)列”得cn【解答過程】（1）{an}{an}{b且這四者的其他次序也不構(gòu)成等比數(shù)列，所以{b（2）{c假設(shè){cn}即{cn}中存在的cm，也就是cn2=22n?2+2n=等式左邊22n?m?1等式右邊2k?1所以數(shù)列{c綜上可得{c【變式10-3】（2025·山西晉城·二模）設(shè)an是項(xiàng)數(shù)為mm≥3,m∈N*且各項(xiàng)均不相等的正項(xiàng)數(shù)列，滿足下列條件的數(shù)列bn稱為an的“m?等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”：①數(shù)列bn的項(xiàng)數(shù)為m(1)已知數(shù)列bn是an的“3?等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且a1=1，a2(2)已知數(shù)列bn是an的“4?等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且an的前3項(xiàng)成等比數(shù)列的概率為P(3)證明：an不存在“5?等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”b【答案】(1)b(2)1(3)證明見詳解【解題思路】（1）根據(jù)定義計(jì)算出bn的前三項(xiàng)，即可寫出等比數(shù)列b（2）先計(jì)算出an及bn的項(xiàng)數(shù)，再由bn的公比為q>1，寫出確定的b1,b2（3）先計(jì)算出bn的項(xiàng)數(shù)，再由bn的公比為q>1，寫出確定的b1,b2,b9,b10，進(jìn)而求出【解答過程】（1）因?yàn)閍1=1，a2由定義可知，b1故數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為b（2）因?yàn)閍n中4項(xiàng)均不相同，所以an有A44=24假設(shè)a1<a2<a3<a設(shè)bn的公比為qq>1，則又?jǐn)?shù)列bn的第三項(xiàng)b3=或第三項(xiàng)b3=a所以b3且b4=b3q=或b3且b4=b3q=這兩種情況，不能同時成立，使得an故P=4（3）當(dāng)n=5時，假設(shè)an的各項(xiàng)從小到大排列，此時數(shù)列bn有則b1=a1a2，因?yàn)閎n是等比數(shù)列，所以b1b10=設(shè)bn的公比為qq>1，則q=a所以b3=b剩余四項(xiàng)為a1a5，a2a又公比q=a3a2=a4a3當(dāng)b4=a1a5時，當(dāng)b7=a1a5時，因此當(dāng)n=5時，an不存在“5?等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”b一、單選題1．（2025·北京·高考真題）已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a1=?2，若a3,A．?20 B．?18 C．16 D．18【答案】C【解題思路】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因?yàn)閍3,a所以a42=a3a6所以a10故選：C.2．（2025·四川成都·一模）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S9+7SA．2 B．12 C．?12【答案】D【解題思路】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，S9?S6,【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，S9?S又S9+7S6=8解得q=?2.故選：D.3．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=2SA．2×3n?1 B．3×2n?1 C．【答案】A【解題思路】化簡表達(dá)式，求出首項(xiàng)和公比，即可求出an【解答過程】由題意，n∈N在等比數(shù)列an中，a設(shè)公比為q，an+1=2S∴q=3，當(dāng)n=1時，a2=2S∴an∴an故選：A.4．（2025·云南麗江·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1?a6A．2014 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列性質(zhì)及對數(shù)運(yùn)算計(jì)算得解.【解答過程】等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且alog3故選：C.5．（2025·全國·二模）設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其n前項(xiàng)和為Sn，則“S19+SA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解題思路】把S19+S21>2S20【解答過程】由S19+S21>2又an>0，所以反之，等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且數(shù)列an是遞增數(shù)列，所以q>1，即有所以S21?S所以S19+S故選：C．6．（2025·海南·模擬預(yù)測）數(shù)列an滿足a1=52,?A．?∞,?34 B．?∞【答案】A【解題思路】構(gòu)造等比數(shù)列得an=12+【解答過程】由題意令an+1?λ=2an?λ，所以a所以數(shù)列an?1所以an所以an對于任意的n∈N?,即對于任意的n∈N顯然當(dāng)n增大時，12n+1減小，此時所以λ<1?1故選：A.7．（2025·北京東城·模擬預(yù)測）月相是指天文學(xué)中對于地球上看到的月球被太陽照亮部分的稱呼．1854年，愛爾蘭學(xué)者在大英博物館所藏的一塊巴比倫泥板上發(fā)現(xiàn)了一個記錄連續(xù)15天月相變化的數(shù)列，記為an，其將滿月等分成240份，ai（1≤i≤15且i∈N*）表示第i天月球被太陽照亮部分所占滿月的份數(shù)．例如，第1天月球被太陽照亮部分占滿月的5240，即a1=5；第15天為滿月，即a15=240．已知an的第1項(xiàng)到第5項(xiàng)是公比為q的等比數(shù)列，第5項(xiàng)到第15項(xiàng)是公差為A．80 B．96 C．100 D．112【答案】B【解題思路】由已知條件和等比數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)，得5q4+10d=240，又q，d均為正整數(shù)，求出q，d【解答過程】依題意，有a5=aq=1時，d不是正整數(shù)；q=2時，d=16；q≥3時，5q4≥405所以q=2，d=16，a6故選：B.8．（2025·海南·模擬預(yù)測）在等比數(shù)列an中，已知a1+a2A．a(chǎn)2n>0 C．a(chǎn)2n?1<a【答案】C【解題思路】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程，解方程可得首項(xiàng)與公比，進(jìn)而利用指數(shù)運(yùn)算逐個選項(xiàng)判斷即可.【解答過程】由已知等比數(shù)列an的公比為q，且a則a1+a1q=?1所以a2na2n?1=a2n+1a2n?1=?2a2n+2a2n=?2故選：C.二、多選題9．（2025·全國二卷·高考真題）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，q為an的公比，q>0，若A．q=12 C．S5=8 【答案】AD【解題思路】對A，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式得到方程組，解出a1,q，再利用其通項(xiàng)公式和前【解答過程】對A，由題意得a1q2=1a1+對B，則a5對C，S5對D，an=4×1則an故選：AD.10．（2025·陜西寶雞·三模）已知數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,A．q=2B．a(chǎn)C．SD．a(chǎn)【答案】ABD【解題思路】根據(jù)題意，a1+a2+a3=1,a1+a2【解答過程】根據(jù)題意，a1兩式相除得q=2，A正確；又a1+a1q+Sn根據(jù)選項(xiàng)A，可知a1+a2+所以a==1+2+2D正確.故選：ABD.11．（2025·遼寧錦州·模擬預(yù)測）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn+1A．SB．?dāng)?shù)列SnC．?dāng)?shù)列anD．?dāng)?shù)列Sn+1【答案】ABD【解題思路】A令n=1即可；C降標(biāo)作差即可求出an+1+1=2an+1,n≥2；B利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出【解答過程】選項(xiàng)A，S2選項(xiàng)C，因?yàn)镾n+1=2Sn+n?1兩式作差得，an+1=2a又a2=S2?故當(dāng)n≥2時，an+1為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為故an+1=2×2n?2=2n?1故an的通項(xiàng)公式為aB選項(xiàng)，n≥2時，Sn=a又S1=1符合上式，故由于n≥2時，Sn+nSD選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，an+1=2故n≥2時，Sn+1所以Sn+1故選：ABD.三、填空題12．（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，若an>0，S3=3，S【答案】219【解題思路】由S12=65S【解答過程】設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為因?yàn)镾12=65S因?yàn)閍n>0，所以q>0，所以所以q6所以q3于是S9故答案為：219.13．（2025·全國一卷·高考真題）若一個等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前4項(xiàng)的和等于4，前8項(xiàng)的和等于68，則這個數(shù)列的公比為.【答案】2【解題思路】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的定義，得到關(guān)于q的方