重難點14解三角形的圖形類問題和重要模型（舉一反三專項訓(xùn)練）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1兩次使用余弦定理】 3【題型2等面積法】 4【題型3解三角形中的中線模型】 6【題型4解三角形中的倍角模型】 9【題型5解三角中的角平分線模型】 12【題型6解三角中的高模型】 15【題型7解三角形中的等分點模型】 18【題型8三角形的重心問題】 22【題型9三角形的外接圓、內(nèi)切圓問題】 261、解三角形的圖形類問題和重要模型解三角形是高考的重點、熱點內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，正、余弦定理解三角形在選擇題、填空題中考查較多，難度較易；解答題中正、余弦定理解三角形、三角形的面積公式、解三角形的圖形類問題和一些重要模型也是考查的重要內(nèi)容，中等難度，有時也會與三角函數(shù)、平面向量等知識綜合考查，解題方法多種多樣，需要靈活求解.知識點1三角形圖形類問題的解題策略1．解決三角形圖形類問題的常用方法：(1)兩次使用余弦定理：兩次使用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；(2)等面積法：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；(3)正、余弦定理結(jié)合：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；(4)相似三角形：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；(5)平面向量：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；(6)建系：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.知識點2解三角形中的重要模型1．中線模型(1)中線長定理：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AD是BC邊上的中線，則.(2)向量法：.2．倍角模型，這樣的三角形稱為“倍角三角形”．推論1：；推論2：.3．角平分線模型角平分線張角定理：如圖，為平分線，則斯庫頓定理：如圖，是的角平分線，則，可記憶：中方=上積-下積．4．等分點模型如圖，若在邊上，且滿足，，則延長至，使，連接.易知∥，且，，．【題型1兩次使用余弦定理】【例1】（2025·黑龍江吉林·模擬預(yù)測）在△ABC中，已知AC=5,AB=3,BC=7,AD是BC邊上的中線，則AD=（

）A．154 B．192 C．72【答案】B【解題思路】利用兩次余弦定理即可求解.【解答過程】由余弦定理得：cosB=再由余弦定理得：AD則AD=19故選：B.【變式1-1】（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）在△ABC中，AB=2,AC=3,cosA=34，則A．18 B．?18 C．1【答案】B【解題思路】首先利用余弦定理求出BC的長度，再根據(jù)余弦定理求出cosB【解答過程】在△ABC中，AB=2,AC=3,cos由余弦定理BC2=A再根據(jù)余弦定理cosB=AB故選：B.【變式1-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a=3,BC邊上中線AD長為1，則bc最大值為（A．74 B．72 C．3 【答案】A【解題思路】根據(jù)兩角互補余弦值之和等于0，然后分別在三角形中利用余弦定理求出兩角的余弦，列出方程求出b2【解答過程】由題意得∠ADB+∠ADC=π所以cos∠ADB+又a=3，且D是BC的中點，所以DB=DC=在△ABD中，cos∠ADB=在△ADC中，cos∠ADC=所以cos∠ADC+即b2+c2=故選：A.【變式1-3】（24-25高三下·河南·階段練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知a=3，b2=c2+3c+9，∠ABC的平分線交邊AC于點D，且BD=2，則A．25 B．27 C．6 【答案】D【解題思路】根據(jù)題意，利用余弦定理求得cosB=?12，得到B=2π【解答過程】因為a=3及b2=c由余弦定理得cosB=又由0<B<π，所以B=因為S△ABC=S△ABD+由余弦定理得b2=6故選：D．【題型2等面積法】【例2】（2024·海南·模擬預(yù)測）在△ABC中，∠ACB的平分線與對邊AB交于點D，若△CAD的面積為△CBD的2倍，且CD=2,∠ACB=120°，則BC=（A．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【解題思路】借助三角形面積公式計算可得CA=2CB，再利用等面積法計算即可得解.【解答過程】由S△CAD=2S即有CA=2CB，又S△CAD則有12即2CA+2BC=CA?BC，即有4BC+2BC=2BC?BC，即BC=3.故選：A.【變式2-1】（2025·重慶·三模）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若A=2π3,D為BC邊上的點，且∠CAD=πA．4 B．43 C．3 D．【答案】D【解題思路】根據(jù)題意利用等面積法結(jié)合面積公式運算求解即可.【解答過程】由題意可知：∠BAC=2因為S△ABC即12×4×8×3故選：D.【變式2-2】（2025·全國·模擬預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知∠BAC=5π6，邊BC上一點D使得AD=2，且∠BAD=π6A．23 B．43 C．8【答案】C【解題思路】先根據(jù)S△ABC【解答過程】因為∠BAC=5π6因為S△ABC即12bcsin所以3b+c=故3b+c≥83，當(dāng)且僅當(dāng)故選：C.【變式2-3】（2025·河南信陽·模擬預(yù)測）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足a=5,b=8,c=7，若P為△ABC內(nèi)一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則PA2A．44 B．49 C．88 D．98【答案】B【解題思路】首先根據(jù)等面積轉(zhuǎn)化求PA?PB+PB?PC+PA?PC，再根據(jù)余弦定理，即可求解.【解答過程】cosB=25+49?642×5×7所以S由面積公式可知，12所以PA?PB+PB?PC+PA?PC=40，由余弦定理可知，PA2PA2故選：B.【題型3解三角形中的中線模型】【例3】（2025·河北保定·一模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若c=26,ccosA?B+23aA．12 B．22 C．2 【答案】C【解題思路】利用正弦定理、三角恒等變換等知識化簡已知條件，求得C，結(jié)合余弦定理、向量運算、基本不等式等知識來求得正確答案.【解答過程】由ccosA?B+2所以ccos即2csin則由正弦定理得2sin因為A,B∈0,π，所以sinA≠0,sinB≠0又C∈0,π，所以C=2所以由余弦定理得(26)2由題可得CD=所以CD2因為a2+b2=24?ab≥2ab所以CD2≥1所以AB邊上的中線CD長度的最小值為2.故選：C.【變式3-1】（24-25高一上·北京順義·期中）如圖，在△ABC中，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，BC，AB邊上的兩條中線AD，CE相交于點P，則cos∠DPE=（

A．32114 B．217 C．1【答案】D【解題思路】由題得△ABC為直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為求AD與CE夾角的余弦即可.【解答過程】因為AC=1，AB=2，∠BAC=60°，由余弦定理得，BC得到BC=3，又BC2建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則有A(1,0),B(0,3),C(0,0)，又D,E分別為所以D(0,32),E(所以cos∠DPE=故選：D.【變式3-2】（2025·安徽合肥·三模）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且滿足3a(1)求角A；(2)已知△ABC面積為103，BC為7，求BC邊上中線AD【答案】(1)π(2)129【解題思路】（1）利用正弦定理邊化角，利用內(nèi)角和定理變角，即可求角A；（2）利用面積公式和余弦定理列出等式，再由向量中線的線性表示，借助向量的運算得到方程求解即可.【解答過程】（1）因為3a由正弦定理邊化角得3利用三角形內(nèi)角和定理可得sin即3因為sinC>0所以3sin因為A∈0,π，所以（2）由S△ABC=1由BC2=由①②得b+c=13由AD2得AD=129【變式3-3】（2025·甘肅慶陽·三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知c＝2bcosB，C＝2π3.(1)求角B的大小；(2)①△ABC的面積為334，求BC邊上的中線②△ABC的周長為4＋23，求BC邊上的中線AM【答案】(1)π(2)①212；②【解題思路】（1）由正弦定理可得sinC=2sinBcosB（2）①由（1）可得a=b，則S△ABC=12absinC解得a，則由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：②由（1）可得A=π6，設(shè)△ABC的外接圓半徑為R【解答過程】（1）∵c=2bcosB，則由正弦定理可得∴sin2B=sin2π3=3∴2B=π3，解得（2）①由（1）可得A=π6則S△ABC=1則由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：b2②由（1）可得A=π6，設(shè)△ABC的外接圓半徑為則由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6則周長a+b+c=2R+3R=4+23，解得R=2，則a=2由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：23【題型4解三角形中的倍角模型】【例4】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosB=(1)求證：B=2C；(2)若△ABC為銳角三角形且c=1，求a的取值范圍.【答案】(1)證明過程見解析(2)1,2【解題思路】（1）由正弦定理得sinC=（2）由正弦定理、三角恒等變換得a=4cos2C?1【解答過程】（1）因為cosB=a?c2c所以2sin即sinC=因為B,C∈0,π，所以又因為sinC=sinB?C所以C=B?C或C+B?C=B=π所以只能B=2C；（2）由題意csinC=因為△ABC為銳角三角形，所以0<C<π20<B=2C<從而cosC的取值范圍是2所以a=4cos2C?1【變式4-1】（2025·北京東城·一模）在△ABC中a=6,b?c=1,sin(1)求b的值及△ABC的面積；(2)求證：A=2C.【答案】(1)b=5，S△ABC(2)證明見解析.【解題思路】（1）由正弦值得cosC=34（2）由（1）及二倍角余弦公式得cos2C=18【解答過程】（1）在△ABC中b?c=1?b=c+1>c,所以C是銳角，.由sinC=74，可得cos所以c2可得c=4，則b=5，故S△ABC（2）由（1）易知cosC=34由（1）及余弦定理有cosA=所以cosA=cos2C，又A,C∈(0,【變式4-2】（2025·河北石家莊·一模）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a(1)求證：C=2A；(2)若a=4,b=5，求△ABC的面積.【答案】(1)證明見解析(2)15【解題思路】（1）利用題中條件和余弦定理可以得到cos2A=cosC（2）由正弦定理得cosA=c8，由余弦定理可得c8=c2+910c【解答過程】（1）由題意得：a2由余弦定理得，a2所以cos2A=由于A,C∈0,π,2A∈0,2π因為C<A+C<π,2A+C<2π（2）由正弦定理可得csinC=asin由余弦定理可得cosA=b2解得c=6(?6舍去），所以cosA=34【變式4-3】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2bcosA=c?b(1)求證：A=2B；(2)若△ABC為銳角三角形，且b=1，求△ABC周長的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)2+【解題思路】（1）先應(yīng)用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，再結(jié)合兩角和差的正弦公式計算應(yīng)用角的范圍即可證明；（2）先應(yīng)用正弦定理及合比定理，最后應(yīng)用余弦值域結(jié)合二次函數(shù)計算求解即可.【解答過程】（1）由2bcosA=c?b得由正弦定理得sinB=sinB=得sinB=即sinB=因為A，B為三角形內(nèi)角，所以B=A?B，或B+A?B=π∴A=2B．（2）∵b=1，由正弦定理asinA=1sin∴a+c=sin又∵A=2B，∴a+c=sin得a+c=2cos因為△ABC為銳角三角形，則A∈0,π2，C∈則2B∈0,π2解得B∈π6,∴a+c=4cos所以△ABC周長的取值范圍為2+2【題型5解三角中的角平分線模型】【例5】（2025·湖北武漢·二模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且C=π3，c=6，△ABC面積為3，D為邊AB上一點，CD是∠ACB的角平分線，則|CD|=（A．3 B．1 C．32 D．【答案】B【解題思路】利用余弦定理，結(jié)合面積可求和a+b=43，利用S△ACD+S△BCD【解答過程】在△ABC中C=π3，c=6，由余弦定理可得所以62=b又△ABC面積為3，所以12basin所以36=b2+因為CD是∠ACB的角平分線，C=π3，所以因為S△ACD+S所以12所以b?CD+a?CD=43，所以b+aCD=43故選：B.【變式5-1】（24-25高三上·天津·期中）在△ABC中，AB=4，E是BC邊中點，線段AE長為3，∠BAC=120°，D是BC邊上一點，AD是∠BAC的角平分線，則AD的長為（

）A．23 B．43 C．2 【答案】B【解題思路】利用向量性質(zhì)得AE=12(AB+AC)，平方后求得AC，再由余弦定理求得BC，由角平分線定理求得【解答過程】E是BC邊中點，則AE=所以AE2即3=14(16+2×4?ACBC=4AD是∠BAC的平分線，則BDCD=ABcosC=在△CAD中，AD=C故選：B．【變式5-2】（2025·北京大興·三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，角A的角平分線交BC于點D，且asin(1)求A；(2)若b=2，且△ABC的面積為32，角A的角平分線為AD，求AD【答案】(1)A=(2)6【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，再根據(jù)二倍角公式化簡可得解；（2）根據(jù)三角形面積可得c=3【解答過程】（1）由已知asin又由正弦定理可得sinA又C∈0,π，所以則sinA=cosA2，又又A∈0,π，A2則sinA2=12（2）由已知S△ABC=1因為AD為角∠CAB的角分線，故∠CAD=∠BAD=π所以S△ABC即32解得AD=62?【變式5-3】（2025·河北·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知AD是∠BAC的角平分線，且AD=bcb+c(1)求角A的值；(2)若a=1，求AD長的最大值．【答案】(1)2(2)3【解題思路】（1）根據(jù)S△ABC=S（2）根據(jù)余弦定理，利用重要不等式求出bc的范圍，通過換元，借助對勾函數(shù)在1,43的單調(diào)性，即可求出【解答過程】（1）設(shè)∠BAC=2θ，∵S∴1∴2bccos∵AD=bcb+c，∵0<θ<π2，∴θ=π（2）由余弦定理知cosA=∵a=1，∴b又∵b2+∴AD令t=bc∈0,13令m=t+1∈1,43∵fm在1,43∴ADmax=36，此時m=【題型6解三角中的高模型】【例6】（2024·河北·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c=3,b=2,∠BAC的平分線AD的長為465，則BC邊上的高線AH的長等于（A．43 B．C．2 D．4【答案】B【解題思路】由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得cosα的值，進(jìn)而可求得cos2α【解答過程】由題意知，設(shè)∠BAD=∠CAD=α，則∠BAC=2α，如圖所示，由S△ABC=S整理得3sin2α=26又因為sinα≠0，所以cos所以cos2α=2cos2在△ABC中，由余弦定理得a2=3由S△ABC=12bc故選：B.【變式6-1】（2024·陜西·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，csinA?sinC=a?bsinA+sinB，若A．33 B．32 C．3 【答案】B【解題思路】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理及三角形面積公式求解即得.【解答過程】在△ABC中，由正弦定理及csin得c(a?c)=(a?b)(a+b)，即a2+c則sinB=32，由△ABC的面積為34，得由a2+c2?b2令A(yù)C邊上的高為h，則12bh=3故選：B.【變式6-2】（2025·北京豐臺·二模）在△ABC中，3c(1)求∠C；(2)若a=1,b=3，求AB【答案】(1)∠C=(2)21【解題思路】（1）利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解角C；（2）先根據(jù)余弦定理求出邊c，然后利用三角形面積公式求出AB邊上的高.【解答過程】（1）在△ABC中，因為3c由正弦定理asinA=bsin因為sinB≠0,所以3+2所以cosC=?所以∠C=5（2）因為∠C=5由余弦定理c2=a所以c=7．設(shè)AB邊上的高為h又△ABC的面積S=1所以h=ab所以AB邊上的高為2114【變式6-3】（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且3a(1)求A；(2)若b=2，c=3，求BC邊上的高AD.【答案】(1)A=π(2)AD=【解題思路】（1）首先根據(jù)正弦定理將邊化角，再結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解；（2）首先根據(jù)余弦定理求邊a，再根據(jù)等面積公式，即可求解.【解答過程】（1）因為3a所以由正弦定理得3sinAsinC?sin所以2sinA?π因為A∈0，π，所以A?π6（2）由余弦定理得1可得a2=2因為△ABC的面積S=1所以2×3×sinπ【題型7解三角形中的等分點模型】【例7】（24-25高一下·安徽·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D為邊BC上靠近點B的四等分點，∠ADC=π3，AD=2，△ABC的面積為43，則sin

A．12 B．217 C．321【答案】D【解題思路】由S△ADC=34S△ABC，求得DC=6，在【解答過程】由題意得S△ADC解得DC=6，在△ADC中，AC所以AC=27所以S△ADC解得sin∠BCA=故選：D.【變式7-1】（24-25高三上·山東德州·階段練習(xí)）已知△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，D是AB上的四等分點（靠近點A）且CD=1，a?bsinA=c+bsinC?A．832 B．833 C．【答案】B【解題思路】根據(jù)題意，由正弦定理化簡得到a2+b2?c2=ab，求得【解答過程】因為a?bsin由正弦定理得aa?b=c+bc?b，可得所以cos∠ACB=a2+b設(shè)∠ACD=θ，則∠BCD=π3?θ在△ACD中，ADsinθ=CDsin在△BCD中，由BDsinπ3由BD=3AD=3c4，即又由正弦定理知c=2Rsin∠ACB=3R（所以3R則382Rsin又因為π3<θ+π3<2π故選：B.【變式7-2】（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2b?3(1)求A；(2)若△ABC的面積為43，sinB=1+cosC，點D為邊BC上靠近【答案】(1)A=(2)AD=【解題思路】（1）由已知結(jié)合余弦定理角化邊得b2+c（2）先由A=π6和sinB=1+cosC=1+cos5AD【解答過程】（1）因為2b?3所以由余弦定理可得2b?3c=2a·a2所以由余弦定理可得cosA=又A∈(0,π)，所以（2）因為A=π6，所以sinB=1+即12sin又0<B<π，故π3<B+所以B=π6，所以C=所以S△ABC=12所以在△ACD中，AC=4，CD=3，由余弦定理可得AD2=A【變式7-3】（2025·湖北·模擬預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a2(1)判斷△ABC的形狀；(2)已知D為BC上一點，則當(dāng)A=2π3，a=33，AD=3【答案】(1)等腰三角形(2)D為BC的三等分點【解題思路】（1）利用正弦定理及三角恒等變化計算即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可得B=C=π【解答過程】（1）由正弦定理得：sin2因為A∈0,π，所以sinA≠0由A+B+C=π，則有1?整理得1=cos所以B?C=2kπ而B、C∈0,π，則B=C，即（2）由（1）可得B=C=π由正弦定理可得b=sinB?a余弦定理可知：AD2=A解之得BD=3=13BC或BD=2【題型8三角形的重心問題】【例8】（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知△ABC的重心為G，AB=6，AC=8，BC=213，則△BGC的面積為（

A．123 B．C．43 【答案】C【解題思路】運用余弦定理及三角形面積公式可得S△ABC，結(jié)合重心性質(zhì)可得S【解答過程】

在△ABC中，由余弦定理得cosA=又A∈(0,π)，所以所以S△ABC又G為△ABC的重心，所以GA+GB+所以S△BGC故選：C.【變式8-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2sinA=acosC,c=2．若G為△ABC的重心，則A．12?429 B．8+429 C．【答案】A【解題思路】先根據(jù)已知條件，利用正弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出角C，然后利用余弦定理、基本不等式求出a2+b2≤8+42,cos∠ADC,cos∠ADB【解答過程】由2sinA=acosC及c=2可得又A∈(0,π),sinA>0，故sinC=cosC由余弦定理得c2=a故a2+b設(shè)D為BC的中點，連接AD，則G在AD上，則cos∠ADC=AD由cos∠ADC+cos∠ADB=0則GA同理可得GB故G≥209?故GA2+G故選：A.【變式8-2】（2024·江蘇蘇州·二模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a+bc(1)求角A；(2)若a=6，點M為△ABC的重心，且AM=23，求△ABC【答案】(1)A=(2)9【解題思路】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化即可求解;（2）根據(jù)重心的性質(zhì)可得AD=33，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得bc=36【解答過程】（1）因為a+bc=sin整理得b2+c又因為A∈0,π，所以（2）設(shè)AM的延長線交BC于點D，因為點M為△ABC的重心，所以點D為BC中點，又因為AM=23，所以AD=3在△ABC中，由b2+c2?在△ABD和△ACD中，有cos∠ADB=?由余弦定理可得3故b2+c所以△ABC的面積為12【變式8-3】（2025·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點G是△ABC的重心，且AG?(1)若∠GAB=π3，求(2)求cos∠ACB【答案】(1)3(2)[【解題思路】（1）延長CG交AB于點D，利用三角形重心性質(zhì)，結(jié)合正弦定理及差角的正弦公式化簡即得.（2）利用余弦定理可得a2【解答過程】（1）延長CG交AB于點D，由G是△ABC的重心，得D為線段AB的中點，且DG=1由AG?BG=0，得GA⊥GB，則DG=DA=又∠GAD=π3，則△GAD是正三角形，AG=12c由正弦定理AGsin∠ACG=則12sinα=所以tanα=sinα（2）由（1）知CD=32c，在△ABC在△ACD中，cos∠DAC=于是b2+c在△ABC中，cos∠ACB=a2又∠ACB∈(0,π)，所以cos∠ACB的取值范圍為【題型9三角形的外接圓、內(nèi)切圓問題】【例9】（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知△ABC的外接圓面積為3π，∠A=π3，則BC=A．14 B．4 C．3 D．【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化代入計算，即可求解.【解答過程】由正弦定理：asinA=2R?a=2RsinA所以a=23故選：C.【變式9-1】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）已知梯形ABCD的外接圓直徑為4213，AB=6，AD>2，∠ABC=π3，則梯形A．2 B．3 C．2 D．2【答案】B【解題思路】結(jié)合圖形，先利用正弦定理、余弦定理及邊之間的關(guān)系得出：AD=4，CD=2，梯形的高為h=23，進(jìn)而得出S【解答過程】如圖：

若梯形ABCD有外接圓，則梯形ABCD為等腰梯形.設(shè)梯形ABCD的外接圓半徑為R，則由正弦定理得2R=BDsinπ在△ABD中，由余弦定理可得：BD2=A解得AD=4，則梯形ABCD的高為：h=ADsinπ3S梯形設(shè)梯形ABCD的內(nèi)切圓半徑為r，根據(jù)等面積法，有S梯形ABCD=故選：B.【變式9-2】（2025·云南昆明·二模）在△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=(1)求sinC(2)點D在△ABC外接圓上，設(shè)△BCD的面積為S，若S=52CD【答案】(1)10(2)2【解題思路】（1）根據(jù)余弦定理求解BC=5（2）根據(jù)三角形的面積公式即可求解sin∠BCD=1【解答過程】（1）由余弦定理知：BC2=A由正弦定理可知ABsinC=（2）因為S=1則sin∠BCD=1故∠BCD=π2，則∠BDC為銳角，又點D在△ABC外接圓上，所以故∠CBD=π4，則CD=BC=5則△BCD的周長為25【變式9-3】（24-25高三下·重慶·開學(xué)考試）已知四邊形ABCD的外接圓面積為7π3，且(1)求∠BCD和BC；(2)若sin∠ABD=217【答案】(1)∠BCD=π3(2)2【解題思路】（1）利用外接圓面積求出外接圓半徑，進(jìn)而由正弦定理得到sinC=32，求出C=（2）求出S△BCD=332，并利用正弦定理和余弦定理求出AD=2【解答過程】（1）四邊形ABCD的外接圓面積為7π3,即△BCD的外接圓面積為設(shè)△BCD的外接圓半徑為R，則πR2=在△BCD中，BDsinC=2R=221因為∠BAD為鈍角，所以∠BCD為銳角，故C=π由余弦定理得cosC=BC故BC2?3=2BC（2）S△BCD因為A+C=π，所以A=在△ABD中，由正弦定理得ADsin又sin∠ABD=217，故AD在△ABD中，由余弦定理得cosA=即AB2+4?7故S△ABD四邊形ABCD的面積為S△BCD一、單選題1．（2025·湖南邵陽·模擬預(yù)測）已知在△ABC中，AB=4，AC=6，cosB=18.若△ABC的角平分線AD交邊BC于點D，則AD=A．125 B．835 C．9【答案】D【解題思路】根據(jù)余弦定理求出BC的長度，再利用角平分線定理得到BD與DC的比例關(guān)系，進(jìn)而求出BD的長度，最后在△ABD中利用余弦定理求出AD的長度.【解答過程】在△ABC中，根據(jù)余弦定理AC已知AB=4，AC=6，cosB=18，設(shè)解得x=5或x=?4（邊長不能為負(fù)舍去），所以BC=5.因為AD是角平分線，根據(jù)角平分線定理：可得BDDC又因為BD+DC=BC=5，所以BD=2在△ABD中，再根據(jù)余弦定理AD將AB=4，BD=2，cosB=1所以AD=18=32.故選：D.2．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知△ABC的面積為25，BC=4，cosB=23，則A．5 B．3 C．4 D．5【答案】B【解題思路】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合面積公式及余弦定理計算求解.【解答過程】由cosB=23所以△ABC的面積為12AB?BC?sin在△ABC中，由余弦定理得AC2=A故選:B．3．（2025·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）在△ABC中，三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=π3,a=7,b<c,D是BC的三等分點，且BD=2DC.若△ABCA．373 B．263 C．372【答案】A【解題思路】由余弦定理得7=b2+c2?bc，由△ABC的面積得bc=6，解出【解答過程】在△ABC中，A=由余弦定理得a2=b由S=12bcsinA=33因為BD=2DC，所以AD=所以AD2所以AD2=1故選：A.4．（2025·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，bcosA+acosB=3a，cosB=23，若△ABCA．15π2 B．27π5 C．【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，由余弦的和差角公式代入計算，可得6sin【解答過程】由bcos結(jié)合正弦定理得sinBcosA+cosB又因為cosB=23由余弦定理得cosB=a2+結(jié)合正弦定理asinA=bsin得S=12ac則△ABC的外接圓的面積為πR故選：C.5．（2025·安徽蚌埠·三模）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．類比“趙爽弦圖”，用3個全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊△ABC，若DF=2，sin∠BAD=3314．則A．3 B．2 C．3 D．2【答案】A【解題思路】由題意可得△DEF是等邊三角形，設(shè)AF=DB=t(t>0)，利用正弦定理可求得AB=73t【解答過程】由△ACF?△ABD?△BCE知∠ACF=∠BAD=∠CBE，所以△DEF為正三角形，∠AFC=∵sin∠BAD=設(shè)AF=DB=t(t>0)，則AD=2+t由正弦定理：BDsin∠BAD=AB在△ABD中，A即499t2=t故選：A.6．（2025·湖南·三模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知A=π4，b=3，三角形ABC的面積為6，則a=（A．65 B．17 C．17 D．65【答案】C【解題思路】由三角形面積公式求得c=42，再結(jié)合余弦定理求得a=【解答過程】因為A=π4，又S△ABC由余弦定理得，a2以a=17故選：C．7．（2025·湖南長沙·二模）已知△ABC的面積為63，A=60°，AB=3，B的內(nèi)角平分線交邊AC于點D，則SA．37 B．27 C．72【答案】A【解題思路】根據(jù)三角形面積得到AC=8，在△ABC中，由余弦定理得BC=7，因為BD平分∠ABC，利用三角形面積公式得到S△ABD【解答過程】因為△ABC的面積為63，A=60°所以12AB?ACsin

在△ABC中，由余弦定理得BC解得BC=7.因為BD平分∠ABC，所以S△ABD故選：A.8．（24-25高一下·江蘇·期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sinA+3cosA=0，D在邊BC上，AD是角A的平分線，AD=23，A．3+7 B．4+7 C．5+7【答案】A【解題思路】先根據(jù)已知條件求出角A，再利用角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得到bc的值，最后結(jié)合余弦定理求出b+c的值，進(jìn)而求出△ABC的周長.【解答過程】已知sinA+3cos因為cosA≠0（若cosA=0，則sinA=±1，不滿足sinA=?3又因為0<A<π因為AD是角A的平分線，所以∠BAD=∠CAD=1根據(jù)三角形面積公式S△ABC=S可得：12bc兩邊同時約去34可得bc=由余弦定理a2=b2+(7)2=b根據(jù)完全平方公式，可得b27=(b+c)將bc=23(b+c)代入上式可得：7=△ABC的周長為a+b+c=7故選：A.二、多選題9．（2025·甘肅·模擬預(yù)測）在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且sin2A+sin2B+sin2C=A．△ABC內(nèi)切圓的半徑為1 B．△ABC外接圓的半徑為6C．sinA+sinB+【答案】ABD【解題思路】借助S=12a+b+c【解答過程】令△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，面積為S，所以S=6,a+b+c=12，所以S=12a+b+c因為A+B+C=π，所以sinC=sin所以sin=2sinA+B又sin所以sin2又sin2A+sin令△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理可知，a=2Rsin所以S=12ab因為由選項B知，a+b+c=2Rsin所以sinA+由正弦定理和正弦倍角公式得：sin=2×a又由選項B知R=6，所以acos故選：ABD.10．（2025·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，c=4且ccosC=A．C=2π3 B．C．若a=2b，則△ABC的面積為833 D．AB邊上中線【答案】BC【解題思路】利用正弦定理邊化角來求出C=π3,利用正弦定理求外接圓半徑R=433，利用勾股定理來判斷直角三角形求出△ABC的面積為【解答過程】對于A：由ccosC移項得sinCcos因C+B=π?A，則sinB+C=sin因0<A<π，則sinA>0，故又因0<C<π，則得C=π對于B：由正弦定理，2R=csinC=4對于C：由余弦定理得，16=a因為a=2b，所以16=5b2?2又因為b2+c可知△ABC的面積為12對于D：由余弦定理和基本不等式，可得16=a2+因CD為AB邊上的中線，則有CD=兩邊取平方，可得CD2則CD=12a2+b故選：BC.11．（2025·河南許昌·三模）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠BAD=π2，∠ADC=π4，AC=5A．AD=3B．sinC．sinD．若AB=2，則△ABC中BC邊上高的長度為4【答案】ACD【解題思路】先由余弦定理求出AD=3判斷A，再由正弦定理求出sin∠CAD=55判斷B，由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出sin【解答過程】在△ACD中，由余弦定理得AC即52=AD∴AD=3或AD=?1（舍去），∴AD=3，故A正確；在△ADC中，由正弦定理得ACsin即5sinπ4∵CD<AC，∴∠CAD為銳角，∴cos又∵∠BAD=π2，由cos∠BAC=在△ABC中，由余弦定理得：BC解得BC=5又∵△ABC的面積為S△ABC設(shè)△ABC中BC邊上高的長度為h，可得12BC?h=2，可得∴△ABC的邊BC上高的大小為45故選：ACD.三、填空題12．（2025·貴州·三模）△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若B=π6，BC邊上的高為36a，則A=【答案】2π【解題思路】利用三角形的面積公式可得出c=33a，設(shè)c=tt>0，則a=3t，利用余弦定理可得出b=t，再由余弦定理求出【解答過程】由題意可得S△ABC=1不妨設(shè)c=tt>0，則a=由余弦定理可得b2=a所以，cosA=因為A∈0,π，故故答案為：2π13．（2025·海南·模擬預(yù)測）已知△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，D為BC的中點，E為AD的中點，延長BE交AC于點F，若b=4，2sinAsinC=3sinB【答案】3【解題思路】由正弦定理以及三角形面積公式求出△ABC的面積為S=43，設(shè)△AEF的面積為S1，利用向量共線定理，平面向量基本定理得出【解答過程】△ABC的面積為S=1

根據(jù)正弦定理：2R=b所以S=12ac因為B,E,F三點共線，所以設(shè)AE=λ而點D是BC中點，點E是AD中點，所以AD=2AE=2λAB+2因為AB，AC不共線，所以2λ=1解得λ=14，μ=1設(shè)△AEF的面積為S1，則S故答案為：3314．（2025·河南·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角B的平分線與AC交于點D，若AD=BD，則b?ac的取值范圍是【答案】1【解題思路】根據(jù)題意得到A,B,C三個角的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)正弦定理、二倍角公式及兩角和的正弦公式即可化簡b?ac，再換元求解即可b?a【解答過程】設(shè)B=2θ，則∠ABD=∠DBC=θ.又AD=BD，則A=θ,C