X射線同軸全息中的相位恢復(fù)算法研究摘要：相位恢復(fù)是一種通過(guò)測(cè)量光場(chǎng)的強(qiáng)度分布來(lái)數(shù)值計(jì)算光場(chǎng)相位分布的技術(shù)，因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、抗干擾能力強(qiáng)、成本低等優(yōu)點(diǎn)受到極大關(guān)注，在自由曲面面型檢測(cè)、二元光學(xué)元件設(shè)計(jì)、光束整形、顯微成像的像差矯正等方面獲得了廣泛應(yīng)用。算法是相位恢復(fù)技術(shù)的核心，也是該技術(shù)發(fā)展和應(yīng)用的關(guān)鍵。簡(jiǎn)介了相位恢復(fù)算法的發(fā)展歷程，綜述了最近幾年發(fā)展及應(yīng)用較為活躍的三種典型算法，包括基于角譜理論的GS加權(quán)算法、混合輸入輸出算法的改進(jìn)算法以及GS角譜－TIE混合算法，并綜述了X射線同軸全息中的相位恢復(fù)算法的應(yīng)用，最后展望了相位恢復(fù)算法的發(fā)展趨勢(shì)。關(guān)鍵詞：相位恢復(fù)；算法；X射線相位恢復(fù)技術(shù)是一種通過(guò)測(cè)量光場(chǎng)強(qiáng)度來(lái)獲得其相位信息的技術(shù)，在很多領(lǐng)域都獲得了非常廣泛的應(yīng)用。通常情況下，CCD等光電探測(cè)器可以直接測(cè)量光場(chǎng)的強(qiáng)度分布，而無(wú)法直接測(cè)量其相位分布，但同時(shí)相位分布會(huì)影響光場(chǎng)在空間的傳播并最終影響光場(chǎng)的空間強(qiáng)度分布，為此提出了相位恢復(fù)的方法，即基于光束的傳播理論，通過(guò)測(cè)量光場(chǎng)在不同位置的強(qiáng)度分布就可以解算出其相位分布。本文將簡(jiǎn)介相位恢復(fù)算法的發(fā)展歷程，探求其發(fā)展規(guī)律，并重點(diǎn)介紹近幾年最新提出并應(yīng)用的算法，包括基于角譜理論的GS加權(quán)算法、混合輸入輸出算法(HybridInput－OutputAlgorithm)的改進(jìn)算法以及GS角－TIE混合算法，為相位恢復(fù)技術(shù)的發(fā)展應(yīng)用提供新的思路，并推動(dòng)該技術(shù)在多個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)程。1算法綜述20世紀(jì)70年代初，R．W．Gerchberg和W．O．Saxton為解決電子顯微鏡成像問(wèn)題首次提出了相位恢復(fù)的思想［1－2］，利用出射光瞳面和像平面的光場(chǎng)強(qiáng)度信息，通過(guò)迭代算法恢復(fù)出出射光瞳面的光場(chǎng)相位分布，即GS算法。自此，相位恢復(fù)方法得到極大關(guān)注，該方法是一種典型的非干涉型面形檢測(cè)方法，不需要額外引入?yún)⒖脊?，因而光路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，環(huán)境適應(yīng)能力強(qiáng)。相位恢復(fù)算法在表面面型［3］、全息技術(shù)［4－5］、二元光學(xué)元件設(shè)計(jì)［6］、圖像加密［7］、顯微成像的像差矯正［8］等方面獲得了廣泛應(yīng)用。上世紀(jì)90年代初，相位恢復(fù)技術(shù)在哈勃望遠(yuǎn)鏡的在軌檢測(cè)及其修復(fù)工程中發(fā)揮了極其重要的作用，此后，相位恢復(fù)技術(shù)成為美國(guó)國(guó)家航空航天局(NASA)的核心技術(shù)，2014年發(fā)射升空的詹姆斯－韋伯天文望遠(yuǎn)鏡(JWST)沿用該技術(shù)進(jìn)行了在軌裝調(diào)。NASA和美國(guó)噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室聯(lián)合開發(fā)了相位恢復(fù)相機(jī)的樣機(jī)，并與瞬時(shí)干涉儀獲取的檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，二者相差僅0.1(ＲMS)［9］。美國(guó)Ｒochester大學(xué)對(duì)基于相位恢復(fù)法的面形檢測(cè)光路進(jìn)行了簡(jiǎn)化，檢測(cè)精度與商用干涉儀相當(dāng)［10］。國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)基于相位恢復(fù)方法研究了大型鏡面的在位檢測(cè)［11－12］，并將該技術(shù)用于對(duì)某些同軸二次曲面及離軸橢球面的面形檢測(cè)，推進(jìn)了相位恢復(fù)方法在面形檢測(cè)領(lǐng)域中的工程化應(yīng)用步伐。ZhengG等提出了一種基于相位恢復(fù)的寬視場(chǎng)顯微成像的像差校正方法［8］。清華大學(xué)的譚峭峰等則很早就開展了基于相位恢復(fù)算法的二元光學(xué)元件設(shè)計(jì)及復(fù)雜光場(chǎng)的波前重構(gòu)技術(shù)［6］研究。除此之外，相位恢復(fù)思想也被應(yīng)用于自適應(yīng)光學(xué)、X－射線衍射成像、電子顯微鏡等領(lǐng)域，并發(fā)揮了非常關(guān)鍵的作用。算法是相位恢復(fù)的核心問(wèn)題，也是相位恢復(fù)技術(shù)研究的主要內(nèi)容。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者和研究團(tuán)隊(duì)圍繞相位恢復(fù)算法進(jìn)行了大量研究，提出了很多的改進(jìn)算法，主要沿著兩個(gè)方向發(fā)展，一方面是繼續(xù)沿用GS算法的基本框架，采用迭代優(yōu)化的方式，改變?nèi)肷洳ㄩL(zhǎng)或者通過(guò)有效地增加新的約束信息來(lái)增強(qiáng)算法的收斂性［13－14］;另一方面是將相位恢復(fù)問(wèn)題視為一個(gè)最優(yōu)化求解問(wèn)題，各種優(yōu)化方法陸續(xù)被納入到相位恢復(fù)算法的框架當(dāng)中［15－17］。另外，適用于寬波段光源、CCD相機(jī)欠采樣情形的相位恢復(fù)算法也在不斷發(fā)展［14－18，28，32］。相位恢復(fù)算法的研究始于GS算法。GS算法的提出具有開創(chuàng)性的意義，在目前解決相位恢復(fù)問(wèn)題的算法當(dāng)中，GS算法依然是最具代表性的算法。圖1給出了GS算法的流程圖，其中，k表示迭代次數(shù)，Uk表示物平面光場(chǎng)，A0是已知物平面振幅，φk是物平面相位。第一次迭代時(shí)，可設(shè)φk為任意值，作為初相位，Uik則是第k次迭代后經(jīng)過(guò)FFT{Uk}運(yùn)算后得到的像面光場(chǎng)復(fù)振幅。圖中的判斷條件是指評(píng)價(jià)函數(shù)是否滿足要求或者迭代次數(shù)是否達(dá)到限定次數(shù)。圖1GS算法的原理圖但是GS算法也存在一些不足，例如收斂速度慢，迭代次數(shù)多等，為此基于GS算法提出了很多新的算法，其發(fā)展歷程可簡(jiǎn)略為圖2所示。1981年，我國(guó)的兩位學(xué)者楊國(guó)楨、顧本源提出任意線性變換系統(tǒng)中振幅—相位恢復(fù)的理論和算法［19］，相對(duì)于GS算法具有更好的適用性，解決了GS算法容易出現(xiàn)收斂停滯的問(wèn)題。圖2相位恢復(fù)算法的大體發(fā)展過(guò)程1982年，F(xiàn)ienup等人在GS算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)［20］，擴(kuò)展了GS算法的形式，提出了混合輸入輸出算法(HybridInput－outputalgorithm，即HIO)。HIO算法給物面也就是輸入面光場(chǎng)函數(shù)加入了負(fù)反饋，不但在收斂速度上比GS算法提高很多，而且能取得顯著的收斂效果，在相干衍射成像中被廣泛應(yīng)用。HIO算法被提出之后，研究者們又提出了很多HIO算法為基礎(chǔ)的改進(jìn)算法，例如Millane和Stroud提出了廣義混合輸入輸出算法(GeneralizedHIOAlgorithm，即GHIO)［21］。GHIO對(duì)光場(chǎng)幅值的約束條件沒有HIO那么苛刻，為解決實(shí)際應(yīng)用中的欠采樣、輸入面光瞳函數(shù)未知和大像差等問(wèn)題提供了有效途徑，該算法在晶體結(jié)構(gòu)的X射線成像研究方面有重要價(jià)值。除了迭代算法，RoddierF和RoddierC提出了非迭代的定量相位恢復(fù)方法強(qiáng)度傳輸方程法(TransportofIntensityEquation，簡(jiǎn)稱TIE)［22－23］，TIE是一種確定性相位求解方法，通過(guò)解二維Poisson方程來(lái)求解相位。表1進(jìn)一步給出了這三種典型算法的優(yōu)缺點(diǎn)。總體來(lái)說(shuō)，盡管提出了多種算法，但尚且沒有一種算法能解決所有問(wèn)題，因此隨著相位恢復(fù)技術(shù)應(yīng)用的不斷拓展，出現(xiàn)了很多新的問(wèn)題，也因此帶動(dòng)了新算法的研究。表1三種典型算法的比較2典型算法簡(jiǎn)介2.1基于角譜理論的GS加權(quán)算法將角譜理論與GS算法相結(jié)合來(lái)進(jìn)行相位恢復(fù)取得了很大的成功，而角譜理論的GS加權(quán)算法［24］是在GS角譜算法的基礎(chǔ)上通過(guò)調(diào)控加權(quán)因子來(lái)進(jìn)一步提高相位恢復(fù)算法能力的技術(shù)。角譜GS加權(quán)比角譜GS收斂速度快。這種方法在對(duì)評(píng)價(jià)函數(shù)的收斂速度和精度方面都有一定提高，對(duì)搜索的過(guò)程陷入局部極值點(diǎn)的問(wèn)題有明顯改善，加權(quán)系數(shù)可根據(jù)具體表達(dá)式確定如在文獻(xiàn)［24］中加權(quán)系數(shù)的范圍在0到2之間。為了提高GS算法的運(yùn)算精度，迭代加權(quán)的思想很早就應(yīng)用于GS算法中，顧翔等人［25］利用中間某兩次迭代計(jì)算到的相位值的加權(quán)作為下次迭代的初始相位，黃利新［26］等則利用三個(gè)面的強(qiáng)度信息，采用類似于GS算法的迭代算法，通過(guò)計(jì)算本次迭代的相位值與上一次迭代的相位值來(lái)計(jì)算相位梯度，并在下一次迭代中引入沿該梯度方向的一個(gè)附加值來(lái)提高收斂速度。2013年國(guó)防科技大學(xué)的彭金錳［24］等提出了振幅加權(quán)的想法。具體來(lái)說(shuō)，在傳統(tǒng)的GS角譜算法中，以預(yù)先給定的輸入面光場(chǎng)振幅來(lái)替代逆角譜變換回來(lái)的輸入面光場(chǎng)振幅，而在該加權(quán)算法里是以預(yù)先給定的輸入面光場(chǎng)振幅和迭代回來(lái)的輸入面光場(chǎng)振幅的線性組合來(lái)作為下次迭代的光場(chǎng)振幅。這種改進(jìn)有利于算法跳出局部極值，速度和精度提高了2倍左右。圖3給出了評(píng)價(jià)函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化曲線，很顯然，改進(jìn)的算法比傳統(tǒng)算法有更快的收斂速度。圖3評(píng)價(jià)函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化曲線2.2HIO的改進(jìn)算法HIO算法是在迭代過(guò)程中僅在目標(biāo)域內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，在GS的基礎(chǔ)上加入了投影的過(guò)程。在相干成像的迭代相位恢復(fù)中，HIO是一種典型的應(yīng)用算法，研究者們做了很多工作，有多種不同的改進(jìn)形式出現(xiàn)［27－28］。對(duì)于HIO來(lái)說(shuō)，在逐次迭代的過(guò)程當(dāng)中，隨著迭代次數(shù)的增加，在給定的像素值情況下，有輕微的振蕩。這個(gè)振蕩的原因是輸入圖像不是前一次輸出圖像的連續(xù)函數(shù)。Fienup提出的連續(xù)HIO算法(ContinuousHIO，簡(jiǎn)寫為CHIO)［28］克服了HIO的缺點(diǎn)，解決了HIO的這個(gè)問(wèn)題。圖4是對(duì)某一物體圖像進(jìn)行160次迭代后，分別采用HIO和CHIO后的結(jié)果比較，很清楚地看到，利用CHIO算法的計(jì)算結(jié)果更為清晰，CHIO收斂的比HIO速度快，恢復(fù)圖像的精度更高。在一定迭代次數(shù)條件下，CHIO要優(yōu)于HIO。HIO算法及其改進(jìn)算法在無(wú)透鏡成像、X線斷層攝影術(shù)、光學(xué)波前檢測(cè)、光通信等領(lǐng)域起到了關(guān)鍵作用。圖4分別利用(a)HIO與(b)CHIO算法迭代160次后物平面信息的恢復(fù)結(jié)果2.3GS角譜－TIE混合算法迭代算法原理是比較簡(jiǎn)單的，但是循環(huán)的不斷迭代需要較長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間，而且誤差的收斂速度受到初始值的影響。TIE方程是一種確定性求解相位的方法，是方程求解。只需要解一個(gè)二維Possion方程。但是TIE解出的相位精度較低。經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)TIE方法適合恢復(fù)近場(chǎng)區(qū)域的相位，GS角譜迭代適合恢復(fù)遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域的相位。因此，將兩者結(jié)合而提出的GS角譜－TIE混合算法是實(shí)現(xiàn)快速高精度相位恢復(fù)的有效途徑［29－31］。用TIE方程計(jì)算出來(lái)的相位值作為GS角譜迭代的初始相位進(jìn)行循環(huán)，把低頻跟高頻相位都恢復(fù)出來(lái)。這樣既提高了TIE的計(jì)算精度，又減少了單純使用GS角譜迭代算法時(shí)的迭代次數(shù)。圖5均方根誤差RMS與迭代次數(shù)的關(guān)系郭俊虎詳細(xì)介紹了GS－TIE算法［29］，用算子形式給出了TIE方程的求解過(guò)程，并且根據(jù)近似程度將TIE與GS結(jié)合形成了GS－STIE和GS－PTIE。梁麗等人提出了基于TIE和加速角譜迭代算法的二維相位恢復(fù)算法［32］，這種算法把解TIE方程得出來(lái)的相位設(shè)為物面的初始相位，帶入加速角譜迭代算法［26］中進(jìn)行相位恢復(fù)。圖5給出了評(píng)估相位恢復(fù)精度的相對(duì)均方根誤差RMS與迭代次數(shù)的關(guān)系，其中，AAS－TIE就是TIE和加速角譜迭代算法的混合算法。由結(jié)果可知，TIE和加速角譜迭代算法的混合算法在收斂速度和恢復(fù)精度上都比其它算法有很大提高。在沒有引入TIE方程的GS角譜或者是加速角譜算法中，初始相位的設(shè)置具有隨機(jī)性，將會(huì)導(dǎo)致較大的計(jì)算量。GS角譜－TIE混合算法以及其相關(guān)發(fā)展在相干傳遞函數(shù)分析、衍射光學(xué)相位元件設(shè)計(jì)、天文觀測(cè)、激光工作物質(zhì)相位補(bǔ)償?shù)阮I(lǐng)域具有重要的利用價(jià)值。3X射線同軸全息中的相位恢復(fù)算法同軸相襯成像的方法是根據(jù)菲涅爾衍射的原理，基于Gabor全息成像理論，所以也被稱為同軸全息相襯成像。當(dāng)X射線穿過(guò)樣品物體后，在自由空間傳播一段距離，在合適的位置就可以將相位信息的二階微分轉(zhuǎn)化為強(qiáng)度的調(diào)制。這種成像方法比較簡(jiǎn)單，不需要其他的光學(xué)元件，得到的強(qiáng)度信息與相位信息的二階微分成正比[31]。圖6同軸法示意圖開始同軸相襯法的成像實(shí)驗(yàn)都是在同步輻射源上開展的，而真正將此方法應(yīng)用于實(shí)際應(yīng)用是1996年，Wilkins等人在Nature上發(fā)表了一篇基于多色光微焦斑X射線源的相襯成像技術(shù)的文章，文章中利用微焦斑X射線源對(duì)氣泡、小金魚進(jìn)行了成像（如圖7所示），并取得了較好的襯度效果。這種方法是對(duì)于物體相位的二階微分成像，而且對(duì)光源的單色性沒有太過(guò)嚴(yán)格的要求，只是需要光源具備比較高的空間相干性。與同步輻射源比較起來(lái)，微焦斑X射線源不管是在價(jià)格、體積還是使用要求上都有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)。利用微焦斑源，使得同軸相襯成像技術(shù)在普通的實(shí)驗(yàn)室里就可以完成，這就將同軸相襯的技術(shù)推廣到了實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域。圖7S.Wilkins用多色微焦斑源同軸相襯成像法對(duì)小金魚成像：（a）吸收成像（b）相襯成相1997年，澳大利亞的CSIRO小組成員A.Pogany等詳細(xì)的研究了同軸相襯法的原理，探究了光源的相干性對(duì)于分辨率的影響，得出了分辨率極大的受光源尺寸的影響的結(jié)果，還得出了物體的強(qiáng)度與相位之間的關(guān)系，但是給出的成像的公式是要在物體是弱吸收物體的前提下才成立的。2004年，XizengWu等人基于Wigner分布的積分公式，得出了光源的尺寸在成像公式中的作用，并且提出了一種對(duì)于非弱吸收物體的成像公式，這樣使得該方法得以實(shí)用。國(guó)內(nèi)比較早開展微焦斑X射線源同軸相襯實(shí)驗(yàn)的是中科院物理研究所的高大超、上海物理研究所的陳敏等人，還有上海光機(jī)所的韓申申等在部分相干光成像方面也做了很多建設(shè)性的工作[5]。x射線的波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于可見光，具有非常高的分辨率，因此可以對(duì)微小的晶體結(jié)構(gòu)等進(jìn)行納米級(jí)成像。盡管微觀物體本身無(wú)法被直接測(cè)量，但是借助衍射的“放大”效應(yīng)可以將其頻譜拓展到易測(cè)量的宏觀尺度。待測(cè)物體與其夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)之間存在傅里葉變換關(guān)系，衍射場(chǎng)強(qiáng)度即對(duì)應(yīng)物體的頻譜。衍射場(chǎng)強(qiáng)度同樣缺失相位信息，若要從宏觀頻譜中將物體原本的微觀結(jié)構(gòu)重構(gòu)出來(lái)，求解丟失的相位信息是不可或缺的，因此x射線衍射成像也可以歸結(jié)為典型的相位恢復(fù)問(wèn)題。此外，相干衍射成像(CDI)的媒介涵蓋電磁波的多個(gè)波段，衍射電子顯微鏡以及可見光范圍內(nèi)的疊層成像、傅里葉疊層顯微成像、無(wú)透鏡成像等新型成像技術(shù)均采用了相似的原理。4研究述評(píng)相位恢復(fù)提供了一種從捕獲的強(qiáng)度信息中將相位信息“計(jì)算”出來(lái)的有效手段，并已成功應(yīng)用于天文觀測(cè)、生物醫(yī)學(xué)成像和數(shù)字信號(hào)復(fù)原等多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域。從未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)看，多算法融合即發(fā)展混合算法是解決現(xiàn)有難題的主要途徑之一，如最優(yōu)化方法與迭代法結(jié)合、基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換的相位恢復(fù)算法以及TIE方法與HIO算法的結(jié)合等。同時(shí)，在檢測(cè)大非球面度的光學(xué)元件面型時(shí)，將相位恢復(fù)方法與計(jì)算全息相位補(bǔ)償方法相結(jié)合也是一個(gè)重要的發(fā)展趨勢(shì)，可進(jìn)一步拓展自由曲面的檢測(cè)范圍，降低自由曲面檢測(cè)受測(cè)量環(huán)境的影響，提升檢測(cè)方法的通用性和靈活性。另外，隨著相位恢復(fù)技術(shù)在更多領(lǐng)域的應(yīng)用，如X射線成像、干涉顯微成像、計(jì)算全息成像等，又出現(xiàn)了一些新的挑戰(zhàn)，如何解決這些難題也將進(jìn)一步推動(dòng)相位恢復(fù)算法的研究。參考文獻(xiàn)［1］GerchbergＲW，SaxtonWO．Phasedeterminationforimageanddiffractionplanepicturesintheelectronmicroscope［J］．Optik．1971，34(3):275-284．［2］GerchbergＲW．Apracticalalgorithmforthedeterminationofphasefromimageanddiffractionplanepictures［J］．Optik，1971，35:237-250．［3］FengL，ZengZ，WuY．Phaseretrievalhybridalgorithmforopticalsurfacetestingofthehighdynamicrangeerror［J］．ProceedingsofSPI－TheInternationalSocietyforOpticalEngineering，2014，9282:7-10．［4］WangY，WangD，YangY，etal．ApplicationandAnalysisintheBiomedicineFieldUsingDigitalHolographicTechnology［J］．ChineseJournalofLasers，2014，41(2):92-95．［5］李艷，肖文，潘鋒，等．基于多波長(zhǎng)同軸數(shù)字全息的相位恢復(fù)算法［J］．北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，(3):465-471．［6］TanQ，PedriniG，OstenW．Phaseretrievalofcomplexopticalfieldsbybinaryamplitudemodulation［J］．AppliedOptics，2008，47(22):4077-4084．［7］WangY，QuanC，TayCJ．Asymmetricopticalimageencryptionbasedonanimprovedamplitude－phaseretrievalalgorithm［J］．OpticsandLasersinEngineering，2016，78(3):8-16．［8］ZhengG，OuX，HorstmeyerＲ，etal．Characterizationofspatiallyvaryingaberrationsforwidefield－of－viewmicroscopy［J］．OpticsExpress，2013，21(13):15131-15143．［9］OharaC，F(xiàn)austJ，LowmanA，etal．PhaseretrievalcameraopticaltestingoftheAdvancedMirrorSystemDemonstrator(AMSD)［C］.ProceedingofSPIE5487，Optical，Infrared，andMillimeterSpaceTelescopes，2004，5487:954-960.［10］BradyGＲ.Applicationofphaseretrievaltothemeasurementofopticalsurfacesandwavefronts［J］．Dissertations＆Theses－Gradworks，2009，18(32):156-159．［11］吳宇列，胡曉軍，戴一帆，等．基于相位恢復(fù)技術(shù)的大型光學(xué)鏡面面形在位檢測(cè)技術(shù)［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45(2):157-163．［12］胡曉軍．大型光學(xué)鏡面相位恢復(fù)在位檢測(cè)技術(shù)研究［D］．國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2008．［13］IvanovVY，VorontsovMA，SivokonVP．Phaseretrievalfromasetofintensitymeasurements:theoryandexperiment［J］．JournaloftheOpticalSocietyofAmericaA，1992，9(9):1515-1524．［14］丁凌艷．非球面相位恢復(fù)檢測(cè)技術(shù)研究［D］．國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2011．［15］ZhouG，ChenY，WangZ，etal．Geneticlocalsearchalgorithmforoptimizationdesignofdiffractiveopticalelements［J］．AppliedOptics1999，38(20):4281-4290．［16］KimMS，GuestCC．Simulatedannealingalgorithmforbinaryphaseonlyfiltersinpatternclassification［J］．AppliedOptics，1990，29(8):1203-1208．［17］黃利新，姚新，蔡冬梅，等．一種快速高精度的相位恢復(fù)迭代法［J］．中國(guó)激光，2010，5:1218-1221．［18］FienupJＲ．Phaseretrievalforundersampledbroadbandimages［J］．JournaloftheOpticalSocietyofAmericaA，1999，16(7):1831-1837．［19］顧本源，楊國(guó)楨，董碧珍．光學(xué)系統(tǒng)和電子顯微系統(tǒng)中振幅和相位恢復(fù)問(wèn)題的算法［J］．物理學(xué)進(jìn)展，1988，8(3):365-382．［20］FienupJＲ．Phaseretrievalalgorithms:acomparison［J］．AppliedOptics，1982，21(15):2758-2769．［21］MillaneＲP，StroudWJ．ＲeconstructingsymmetricimagesfromtheirundersampledFourierintensities［J］．JournaloftheOpticalSocietyofAmericaA，1997，14(3):568-579．［22］ＲoddierF，ＲoddierC．Wavefrontre