試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)河南省天立教育2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為（

）A． B．1 C．-1 D．-22．已知向量滿足，，，則（）A． B． C． D．3．已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則4．平面向量，滿足，且，則與夾角的余弦值的最大值是（

）A． B． C． D．5．已知中，，，則此三角形為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形6．在直三棱柱中，，，M為的中點(diǎn)，，則該直三棱柱的體積為（

）A． B．4 C． D．7．依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記骰子向上的點(diǎn)數(shù)．用表示第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示第二次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)的結(jié)果．記“”為事件，“”為事件，“”為事件，則（

）A．與相互獨(dú)立 B．與對(duì)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立8．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P，Q是，的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作平面，使得平面平面，則平面截正方體所得截面的面積是（

）A． B．2 C． D．二、多選題9．已知向量，，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．在某次數(shù)學(xué)練習(xí)中，高三班的男生數(shù)學(xué)平均分為120，方差為2，女生數(shù)學(xué)平均分為112，方差為1，已知該班級(jí)男女生人數(shù)分別為25、15，則下列說法正確的有（

）A．該班級(jí)此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績(jī)的均分為118B．該班級(jí)此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為16.625C．利用分層抽樣的方法從該班級(jí)抽取8人，則應(yīng)抽取5名男生D．從該班級(jí)隨機(jī)選擇2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則至少有1名女生的概率為11．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且，，則以下四個(gè)命題中正確的是（

）A．滿足條件的不可能是直角三角形B．面積的最大值為C．當(dāng)時(shí)，的內(nèi)切圓的半徑為D．若為銳角三角形，則三、填空題12．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù).13．甲乙兩人組成“星隊(duì)”參加投籃比賽，每輪比賽由兩人各投一球，已知甲每輪投中的概率是，乙隊(duì)每輪投中的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲和乙投中與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中投中1個(gè)球的概率為.14．球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科．如圖，球的半徑為R，A，B，為球面上三點(diǎn)，劣弧BC的弧長(zhǎng)記為，設(shè)表示以為圓心，且過B，C的圓，同理，圓的劣弧的弧長(zhǎng)分別記為，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，，則稱其為曲面等邊三角形，線段OA，OB，OC與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面．設(shè)．①若平面是面積為的等邊三角形，則；②若，則；③若平面為直角三角形，且，則；④若，則球面的體積；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．四、解答題15．如圖，在等腰梯形中，是邊上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），與交于點(diǎn)，若，且設(shè).

(1)若，求的值；(2)求的取值范圍.16．已知銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角；(2)若為的垂心，，求面積的最大值.17．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，），(1)若復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若，（說明：復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)），求實(shí)數(shù)m和a的值.18．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了了解全市居民生活用水量分布情況，通過抽樣，獲得100戶居民月均用水量（單位：），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，該市政府在本市實(shí)行居民生活用水“階梯水價(jià)”：第一階梯為每戶每月用水量不超過的部分按3元收費(fèi)，第二階梯為超過但不超過的部分按5元收費(fèi)，第三階梯為超過的部分按8元收費(fèi)．(1)求直方圖中的值；(2)已知該市有20萬戶居民，估計(jì)全市居民中月均用水費(fèi)用不超過60元的用戶數(shù)；(3)該市政府希望使至少有的用戶每月用水量不超過第二階梯收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)判斷，現(xiàn)行收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是否符合要求？若不符合，則應(yīng)該將第二階梯用水量的上限至少上調(diào)到多少？19．如圖，四面體中，是的中點(diǎn)，，(1)求異面直線AB與CD所成角余弦值的大??；(2)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《河南省天立教育2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案ADCABACCABDBCD題號(hào)11答案BC1．A【分析】設(shè)，由題意和共軛復(fù)數(shù)的概念可得，建立方程組，解之即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，則，整理得，有，解得，所以，即復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和為.故選：A2．D【分析】利用平面向量數(shù)量積公式及求夾角公式可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，所以故選：D3．C【分析】根據(jù)線面平行的位置關(guān)系判斷AB；根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)判斷CD.【詳解】對(duì)于A，由，，則或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，則或，則在平面內(nèi)存在直線，而，則，所以，故C正確；對(duì)于D，由，，，只有當(dāng)或時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．A【分析】由兩邊平方得，根據(jù)兩個(gè)向量夾角的余弦公式結(jié)合均值不等式求得結(jié)果.【詳解】由，兩邊平方得，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以與夾角的余弦值的最大值為.故選：A.5．B【分析】依題意根據(jù)平面向量線性運(yùn)算得到，即可得到，又表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，設(shè)，，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義求出，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，即，所以為等腰三角形，因?yàn)楸硎九c同向的單位向量，表示與同向的單位向量，設(shè)，，則，由，即，所以，即，即，所以，又，所以，即與的夾角為，所以，所以為等邊三角形.故選：B6．A【分析】連接，由題設(shè)條件結(jié)合線面垂直的判定性質(zhì)證明，再求出即可求解作答.【詳解】在直三棱柱中，連接，如圖，由，得，而平面，平面，則，又平面，于是平面，平面，則，而，平面，因此平面，又平面，則，有，，則有，解得，所以該三棱柱的體積．故選：A7．C【分析】用列舉法列出所有可能結(jié)果，再結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件及古典概型的概率公式計(jì)算可得．【詳解】依題意依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)為個(gè)；其中事件“”包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，共個(gè)；事件“”，包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，，，，共個(gè)，事件“”，包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)，所以與不能同時(shí)發(fā)生，但是能同時(shí)不發(fā)生，故不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不能同時(shí)發(fā)生，所以與是互斥事件，則，又，，所以，所以與不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；又事件包含的樣本點(diǎn)有：，，共個(gè)，所以，，則，所以與相互獨(dú)立，故C正確；事件包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，共個(gè)，因?yàn)椋耘c不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．故選：C8．C【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，利用面面平行的判定定理確定平面，利用余弦定理及三角形面積公式求解即可.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，即三角形為所得截面，在中，，，由余弦定理得，所以，所?故選：C.9．ABD【分析】根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A；根據(jù)兩向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B；根據(jù)向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示判斷C；根據(jù)兩向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷D.【詳解】因?yàn)?，，A選項(xiàng)，若，則有，A正確；B選項(xiàng)，若，則有，解得，B正確；C選項(xiàng)，若，則，即，解得，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，若，則，即，解得，D正確.故選：ABD10．BCD【分析】利用均值、方差、分層隨機(jī)抽樣、古典概型等知識(shí)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)于A，該班級(jí)此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績(jī)的均分，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，該班級(jí)此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差，故B正確；對(duì)于C，利用分層抽樣的方法從該班級(jí)抽取8人，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為，C正確；對(duì)于D，從該班級(jí)隨機(jī)選擇2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則至少有1名女生的概率，故D正確．故選BCD．11．BC【分析】確定，舉反例得到A錯(cuò)誤，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理結(jié)合面積公式計(jì)算，B正確，確定，根據(jù)等面積法計(jì)算得到C正確，計(jì)算得到，D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】，則，對(duì)選項(xiàng)A：取，則，，故，是直角三角形，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：設(shè)，則，，，，當(dāng)時(shí)，最大為，正確；對(duì)選項(xiàng)C：時(shí)，，，，，故，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，正確；對(duì)選項(xiàng)D：為銳角三角形，則，即，解得，且，即，解得，故，錯(cuò)誤；故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握余弦定理，從而得解.12．3【分析】根據(jù)純虛數(shù)的特征列出不等式組，求解即得.【詳解】因是純虛數(shù)，可得，解得.故答案為：3.13．【分析】每輪中甲投中為事件，每輪中乙投中為事件，根據(jù)概率乘法公式求解即可.【詳解】每輪中甲投中為事件，每輪中乙投中為事件，則，，因?yàn)榧缀鸵彝吨信c否互不影響，則每輪比賽中，共投中一球的概率；均未投中一球的概率；所以“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中投中1個(gè)球的概率為：.故答案為：14．①②④【分析】對(duì)于①，由條件知三邊為，推得，判斷①；對(duì)于②，利用代入易得；對(duì)于③，由余弦定理和題設(shè)可得，取特殊值即可判斷③；對(duì)于④，先求得三棱錐的體積，由球面的體積即可判斷④．【詳解】對(duì)于①，因等邊三角形的面積為，則，又，故，則，故①正確；對(duì)于②，由可得，故，即②正確；對(duì)于③，由余弦定理可知，由可得，，即，化簡(jiǎn)得，．取，則，則，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由可得，故，由正弦定理，的外接圓半徑為，點(diǎn)到平面ABC的距離，則三棱錐的體積,而球面的體積，故④正確；故答案為：①②④．15．(1)(2)【分析】（1）由三點(diǎn)共線、得，用表示出，根據(jù)向量共線可得，進(jìn)而求得即可求解；（2）用表示出，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】（1）由三點(diǎn)共線，且，可知，在等腰梯形中，由，，可得，又，所以，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以向量共線，可得，結(jié)合，解得，所以.（2）由（1）知，又，則，分別過作的垂線，垂足分別為，

因?yàn)榈妊菪沃?，，所以，可得，又，得，所以，，可得，又是邊上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），，則，所以.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩角和的正弦公式以及正弦定理邊角化得，由余弦定理即可求解，（2）根據(jù)垂直關(guān)系可得，進(jìn)而在中利用余弦定理，結(jié)合不等式即可求解最大值.【詳解】（1）由題可得，結(jié)合正弦定理可得，即，∴，又，∴.（2）設(shè)邊，上的高分別為，則為與的交點(diǎn)，則在四邊形中，，∵，∴，故，在中，，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴，故面積的最大值為.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義，列出不等式組求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等，列出方程組求解.【詳解】（1）由題意知：，又表示的點(diǎn)在第一象限，所以，解得.（2）由題意知：，所以，解得.18．(1)(2)萬戶居民(3)不符合要求，上調(diào)到【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的矩形面積之和為1，即可列式求解；（2）由題意可知用戶月均用水費(fèi)用不超過60元，即用戶月均用水不超過，算出頻率，得出全市不超過60元的用戶數(shù)；（3）首先計(jì)算抽取的100戶居民月均用水量不超過的頻率和不超過的頻率，從而判斷是否符合要求，以及根據(jù)比例確定上調(diào)到的數(shù)量.【詳解】（1）由直方圖可知，,解得：；（2）居民用水量為時(shí)，收費(fèi)為元，所以用水費(fèi)用不超過60元，則用水量小于等于，由頻率分布直方圖可知，用水量小于等于的頻率為；萬戶，所以全市居民中月均用水費(fèi)用不超過60元的用戶數(shù)為萬戶.（3）抽取的100戶居民月均用水量不超過的頻率為：，，所以現(xiàn)行收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不符合要求，抽取的100戶居民月均用水量不超