九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中復(fù)習(xí)培優(yōu)專練《圓內(nèi)接四邊形》6大?？碱}型學(xué)校：班級(jí)：姓名：分?jǐn)?shù)：.題型1求角度問(wèn)題1、如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若連接OD，求∠DOE的度數(shù)．解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DOE＝2∠DAE＝60°，2、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝64°．解：如圖，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，又∵△AOC為等腰三角形，∴∠5＝∠OCA，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，∵∠1+∠2＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，∴∠D＝∠1+∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128，在等腰三角形AOC中，2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，題型2求線段長(zhǎng)度問(wèn)題如圖所示，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝22，求弦BD的長(zhǎng).解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于E．∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，∴∠BCD＝135°，∴∠DCE＝45°，∵∠E＝90°，CD＝22，∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，∴BD=BE2已知M是弧CAB的中點(diǎn)，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的長(zhǎng)度為x，線段AP的長(zhǎng)度是x+1，那么線段PB的長(zhǎng)度是2x+1．（用含有x的代數(shù)式表示）解：延長(zhǎng)MP交圓于點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，連接BD，∵M(jìn)是弧CAB的中點(diǎn)，∴∠BDM＝∠CDM，∵M(jìn)P垂直于弦AB于P，∴∠BPD＝∠EPD＝90°，在△DPE和△DPB中，∵∠BPD=∠EPDPD=PD∴△DPE≌△DPB（ASA），∴∠B＝∠E，PB＝EP，∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ECA＝∠B，∴∠E＝∠ECA，∴AE＝AC，∴PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，∵AC＝x，AP＝x+1，∴PB＝2x+1．題型3求面積問(wèn)題如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，求△BOC的面積.解：延長(zhǎng)BO交⊙O于E，連接CE，則∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴AD=∴AD＝CE＝2，∵BC＝6，∴△BEC的面積為12BC?CE=∵OB＝OE，∴△BOC的面積=12△BEC的面積如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，且DE＝BC，連接AE，若AE＝4，求四邊形ABCD的面積．解：如圖，連接AC，BD．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，∵AB＝AD，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ACE=1題型4斷結(jié)論正誤問(wèn)題如圖，已知四邊形ABEC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，CE平分∠BCD交⊙O于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中一定正確的是（C）A．AB＝AE B．AB＝BE C．AE＝BE D．AB＝AC解：連接EC．∵EC平分∠BCD，∴∠ECB＝∠ECD，∵∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，∴∠BAE＝∠ABE，∴EA＝EB．2、如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°，CP交AB于點(diǎn)E．（1）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；解：△ABC是等邊三角形，理由如下：由圓周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等邊三角形（2）①若P是AB的中點(diǎn)，求證：PC＝PA+PB；解：∵P是AB的中點(diǎn)，∴PB=∴PA＝PB，∵CA＝CB，∴PC垂直平分線段AB，∴PC是直徑，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵∠PCA＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PA＝2PB，∴PA+PB＝PC．②若點(diǎn)P在AB上移動(dòng)，判斷PC＝PA+PB是否成立，證明你的結(jié)論.解：PC＝PA+PB成立；證明：在PC上截取PH＝PA，∵∠APC＝60°，∴△APH為等邊三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，∠APE=∠ACH∠APB=∠AHC=120°∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝PA+PB．題型5利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=證明：如圖2，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)T，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分線，∵AD=∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分線，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．題型6探究角或線段的關(guān)系如圖1，已知△ABC，AB＝AC，以邊AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接DE．（1）求證：DE＝DC．證明：∵四邊形ABDE內(nèi)接于⊙O，∴∠B+∠AED＝180°∵∠DEC+∠AED＝180°∴∠DEC＝∠B∵AB＝AC∴∠C＝∠B∴∠DEC＝∠C∴DE＝DC．（2）如圖2，連接OE，將∠EDC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠EDC的兩邊分別交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．試探究線段DF、DG的數(shù)量關(guān)系．證明：∵四邊形ABDE內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠BDE＝180°∵∠EDC+∠BDE＝180°∴∠A＝∠EDC，∵OA＝OE∴∠A＝∠OEA，∵∠OEA＝∠CEF∴∠A＝∠CEF∴∠EDC＝∠CEF，∵∠EDC+∠DEC+∠DCE＝180°∴∠CEF+∠DEC+∠DCE＝180°即∠DEF+∠DCE＝180°，又∵∠DCG+∠DCE＝180°∴∠DEF＝∠DCG，∵∠EDC旋轉(zhuǎn)得到∠FDG∴∠EDC＝∠FDG∴∠EDC﹣∠FDC＝∠FDG﹣∠FDC即∠EDF＝∠CDG，∵DE＝DC∴△EDF≌△CDG（ASA），∴DF＝DG．九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中復(fù)習(xí)培優(yōu)專練《圓內(nèi)接四邊形》6大?？碱}型學(xué)校：班級(jí)：姓名：分?jǐn)?shù)：.題型1求角度問(wèn)題1、如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若連接OD，求∠DOE的度數(shù)．解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DOE＝2∠DAE＝60°，2、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝64°．解：如圖，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，又∵△AOC為等腰三角形，∴∠5＝∠OCA，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，∵∠1+∠2＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，∴∠D＝∠1+∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128，在等腰三角形AOC中，2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，題型2求線段長(zhǎng)度問(wèn)題如圖所示，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝22，求弦BD的長(zhǎng).解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于E．∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，∴∠BCD＝135°，∴∠DCE＝45°，∵∠E＝90°，CD＝22，∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，∴BD=BE2已知M是弧CAB的中點(diǎn)，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的長(zhǎng)度為x，線段AP的長(zhǎng)度是x+1，那么線段PB的長(zhǎng)度是2x+1．（用含有x的代數(shù)式表示）解：延長(zhǎng)MP交圓于點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，連接BD，∵M(jìn)是弧CAB的中點(diǎn)，∴∠BDM＝∠CDM，∵M(jìn)P垂直于弦AB于P，∴∠BPD＝∠EPD＝90°，在△DPE和△DPB中，∵∠BPD=∠EPDPD=PD∴△DPE≌△DPB（ASA），∴∠B＝∠E，PB＝EP，∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ECA＝∠B，∴∠E＝∠ECA，∴AE＝AC，∴PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，∵AC＝x，AP＝x+1，∴PB＝2x+1．題型3求面積問(wèn)題如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，求△BOC的面積.解：延長(zhǎng)BO交⊙O于E，連接CE，則∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴AD=∴AD＝CE＝2，∵BC＝6，∴△BEC的面積為12BC?CE=∵OB＝OE，∴△BOC的面積=12△BEC的面積如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，且DE＝BC，連接AE，若AE＝4，求四邊形ABCD的面積．解：如圖，連接AC，BD．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，∵AB＝AD，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ACE=1題型4斷結(jié)論正誤問(wèn)題如圖，已知四邊形ABEC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，CE平分∠BCD交⊙O于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中一定正確的是（C）A．AB＝AE B．AB＝BE C．AE＝BE D．AB＝AC解：連接EC．∵EC平分∠BCD，∴∠ECB＝∠ECD，∵∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，∴∠BAE＝∠ABE，∴EA＝EB．2、如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°，CP交AB于點(diǎn)E．（1）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；解：△ABC是等邊三角形，理由如下：由圓周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等邊三角形（2）①若P是AB的中點(diǎn)，求證：PC＝PA+PB；解：∵P是AB的中點(diǎn)，∴PB=∴PA＝PB，∵CA＝CB，∴PC垂直平分線段AB，∴PC是直徑，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵∠PCA＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PA＝2PB，∴PA+PB＝PC．②若點(diǎn)P在AB上移動(dòng)，判斷PC＝PA+PB是否成立，證明你的結(jié)論.解：PC＝PA+PB成立；證明：在PC上截取PH＝PA，∵∠APC＝60°，∴△APH為等邊三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，∠APE=∠ACH∠APB=∠AHC=120°∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝PA+PB．題型5利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=證明：如圖2，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)T，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分線，∵AD=∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分線，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．題型6探究角或線段的關(guān)系如圖1，已知△ABC，AB＝AC，以邊AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接DE．（1）求證：DE＝DC．證明：∵四邊形ABDE內(nèi)接于⊙O，∴∠B+∠AED＝180°∵∠DEC+∠AED＝180°∴∠DEC＝∠B∵AB＝AC∴∠C＝∠B∴∠DEC＝∠C∴DE＝DC．（2）如圖2，連接OE，將∠EDC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠EDC的兩邊分別交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)