2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在保險(xiǎn)精算中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.某一年期死亡率為p的壽險(xiǎn)，若死亡發(fā)生在年初，則保險(xiǎn)公司在年末給付保費(fèi)1元；若生存至年底，則保險(xiǎn)公司按比例返還已交保費(fèi)。為使保險(xiǎn)公司的期望利潤(rùn)為零，其初始保費(fèi)應(yīng)為（）。A.pB.1-pC.p/(1-p)D.1/(1-p)2.設(shè)X是服從參數(shù)為λ的泊松分布的隨機(jī)變量，已知E[(X-1)(X-2)]=1，則λ的值為（）。A.1B.2C.3D.43.報(bào)銷醫(yī)療費(fèi)用的保險(xiǎn)合同中，假設(shè)每次事故發(fā)生的概率為0.1，且每次事故的醫(yī)療費(fèi)用服從均值為1000元的指數(shù)分布，且各次事故費(fèi)用相互獨(dú)立。某人在一年內(nèi)發(fā)生兩次事故，則其總的期望醫(yī)療費(fèi)用為（）元。A.2000B.2000+1000*0.1C.1000*(1-e^(-0.2))D.1000*(1-e^(-0.1)+1-e^(-0.2))4.對(duì)某類風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行觀察，得到損失金額X的樣本數(shù)據(jù)如下：5,10,15,20,25。若用樣本均值作為總體期望的估計(jì)，則純保費(fèi)（假設(shè)保險(xiǎn)金額為1元）的估計(jì)值為（）。A.10B.15C.20D.255.一份保險(xiǎn)合同規(guī)定，當(dāng)損失金額X不超過(guò)a時(shí)，保險(xiǎn)公司不賠付；當(dāng)損失金額X超過(guò)a時(shí)，保險(xiǎn)公司賠付X-a。若損失金額X的分布函數(shù)為F(x)，則該保險(xiǎn)合同賠付金額的期望E[Y]為（）。A.∫_a^∞(x-a)f(x)dxB.∫_0^a(x-a)f(x)dxC.∫_a^∞(x-a)F(x)dxD.∫_0^a(x-a)[1-F(x)]dx二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上）6.設(shè)某隨機(jī)變量X的分布律為：P(X=k)=C*(1/2)^k，k=0,1,2,...。則常數(shù)C=_______。7.若某隨機(jī)變量X的期望E[X]=2，方差Var(X)=0.25，則根據(jù)切比雪夫不等式，P(|X-2|≥1.5)≤_______。8.一批產(chǎn)品的次品率為0.05，進(jìn)行不放回抽樣，直到抽到正品為止。則第三次抽樣才抽到正品的概率為_______。9.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X~N(0,1)，Y~χ2(10)。則E[XY]=_______。10.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A每次發(fā)生的概率為p。為使事件A至少發(fā)生一次的概率不小于0.95，n至少應(yīng)為_______（用p表示）。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）11.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，X~B(10,0.2)，Y~E(0.1)。求E[2X-3Y]和Var(X+2Y)。12.一份一年期定期壽險(xiǎn)，保額為1萬(wàn)元，死亡率為q。若死亡發(fā)生在年內(nèi)任意時(shí)刻，保險(xiǎn)公司在死亡時(shí)刻賠付1萬(wàn)元；若生存至年末，則退還保費(fèi)p。假設(shè)年利率為i，為使保險(xiǎn)公司的期望利潤(rùn)為零，保費(fèi)p應(yīng)如何確定？（提示：考慮貼現(xiàn)值）13.某險(xiǎn)種的經(jīng)驗(yàn)損失數(shù)據(jù)如下：100,200,300,400,500。假設(shè)損失金額服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，求該險(xiǎn)種未來(lái)一年期望損失額的無(wú)偏估計(jì)量（即參數(shù)θ的極大似然估計(jì)的期望值，其中參數(shù)形式可能涉及θ）。四、應(yīng)用題（每小題15分，共30分）14.某保險(xiǎn)公司銷售一種意外傷害保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1萬(wàn)元。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，發(fā)生意外傷害的概率為0.001，發(fā)生意外時(shí)造成的平均醫(yī)療費(fèi)用為5000元，且醫(yī)療費(fèi)用服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。為使保險(xiǎn)公司的期望賠付成本不超過(guò)保險(xiǎn)費(fèi)的120%，且置信水平為95%，求純保費(fèi)應(yīng)定為多少？（提示：考慮置信區(qū)間和期望值的關(guān)系）15.假設(shè)某地區(qū)每年發(fā)生洪災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)為0.3的泊松分布。每次洪災(zāi)造成的損失金額Y是隨機(jī)變量，且Y|X=x~Gamma(2,2)，即條件期望E[Y|X=x]=x，條件方差Var(Y|X=x)=2x。求該地區(qū)一年內(nèi)總損失金額的期望和方差。---試卷答案一、選擇題1.C2.B3.D4.B5.A二、填空題6.27.0.48.0.0025*0.95^29.010.-ln(0.05)三、計(jì)算題11.E[2X-3Y]=2E[X]-3E[Y]=2*2-3*10*0.1=4-3=1；Var(X+2Y)=Var(X)+4Var(Y)=np(1-p)+4*λ2=10*0.2*(1-0.2)+4*0.12=1.6+0.04=1.64。12.保險(xiǎn)公司期望利潤(rùn)=死亡賠付期望值-死亡概率*q*1萬(wàn)元-(1-q)*p=0。即q*1萬(wàn)元-q*p-(1-q)*p=0。化簡(jiǎn)得p=q*萬(wàn)元/(1-q)=q/(1-q)。保費(fèi)p的現(xiàn)值應(yīng)為p/(1+i)=q/[(1-q)/(1+i)]=q*(1+i)/(1-q*i)。13.E[X]=exp(θ+θ2/2)。無(wú)偏估計(jì)量E[θ?]=E[1/(θ2/2+1)]=∑(x_i)/[1/2+x_i2/2]=∑(2x_i)/(1+x_i2)。將數(shù)據(jù)代入即為所求。四、應(yīng)用題14.E[Y]=E[E[Y|X]]=E[X]=0.001。期望賠付成本=E[Y]*死亡概率=0.001*5000=5元。純保費(fèi)p=期望賠付成本/(1-賠付率)=5/(1-0.001)≈5元。但需滿足期望賠付成本≤1.2p。即5≤1.2p，得p≥5/1.2=4.1667。同時(shí)考慮置信區(qū)間，設(shè)μ=E[Y|X=x]，σ2=Var(Y|X=x)=2x。E[Y]=E[X]*E[μ|X]=E[X]*E[μ]=E[X]*(E[Y|X=x)=E[X]2=Var(X)+(E[X])2=0.3*0.3+(0.3)2=0.32=0.09。期望賠付成本=0.001*0.09*5000=4.5元。純保費(fèi)p=4.5/(1-0.001)≈4.5元。為滿足置信水平和期望成本雙重條件，需取p≥max(4.1667,4.5/1.2)。4.5/1.2=3.75。最終純保費(fèi)p應(yīng)≥max(4.1667,3.75)=4.1667。選擇p=4.1667元滿足條件。15.E[X]=0.3。E[Y]=E[E[Y|X]]=E[X]=0.3。Var[Y]=E[Var(Y|X)]+Var[E[Y|X]]=E[2X]+Var[X]=2*E[X]+Var[X]=2*0.3+(0.3)2=0.6+0.09=0.69?？倱p失金額Z=X*Y。E[Z]=E[X*Y]=E[X]E[Y|X]=E[X2]=Var[X]+(E[X])2=(0.3)2+(0.3)2=0.09+0.09=0.18。Var[Z]=E[Var(XY|X)]+Var[E(XY|X)]=E[X*Var(Y|X)]+Var[X*E[Y|X]]=E[X*2X]+Var[X*X]=E[X2]+E[X2]+Var[X2]=2E[X2]+Var[X2]=2(Var[X]+(E[X])2)+Var[X2]。Var[X]=(0.3)2=0.09。E[X2]=0.09。Var[X2]=E[X?]-(E[X2])2。X~Po(0.3)，E[X?]=E[(X-E[X])^4+4E[X](X-E[X])^3+6(E[X])^2(X-E[X])^2+4(E[X])^3(X-E[X])+(E[X])^4]=E[X^4]+6(E[X])^2Var[X]=E[X^4]+6(0.3^2)(0.3^2)=E[X^4]+6(0.09)^2=E[X^4]+0.486。因?yàn)閄是泊松分布，E[X^n]=n!/(n-1)!(E[X])^(n-1)=n!(n-1)!(E[X])^(n-1)/n!(n-1)!=(E[X])^(n-1)。E[X^4]=(0.3)^3=0.027。Var[X2]=0.027-(0.09)^2=0.027-0.0081=0.0189。Var[Z]=2(0.09+0.09)+2(0.09)+0.0189=0.36+0.18+0.0189=0.5389。簡(jiǎn)化過(guò)程可能略有偏差，最終結(jié)果應(yīng)為Var[Z]=2Var[X]+2(E[X])2+Var[X2]=2(0.09)+2(0.09)+Var[X2]。Var[X2]=E[X?]-(E[X2])2=4(0.3^3)-(0.3^2)^2=4(0.027)-(0.09)^2=0.108-0.0081=0.0999。Var[Z]=2(0.09)+2(0.09)+0.0999=0.18+0.18+0.0999=0.4599。取近似值Var[Z]≈0.46。更正：Var[Z]=E[X2]+E[X2]+Var[X2]=2E[X2]+Var[X2]。E[X2]=