2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在智能輔助決策中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空4分，共20分）1.在線性規(guī)劃模型中，若某個(gè)約束條件的右端項(xiàng)表示資源的上限，則該約束條件應(yīng)為______約束。2.若一個(gè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則其期望E(X)=______，方差Var(X)=______。3.在決策分析中，若決策者對(duì)后果的偏好程度不同，通常會(huì)引入______概念來(lái)量化這種偏好，并構(gòu)建效用函數(shù)。4.若某優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性函數(shù)，則該問(wèn)題稱為______問(wèn)題。5.在圖論中，求解從頂點(diǎn)u到頂點(diǎn)v的最短路徑問(wèn)題，常用的算法有迪杰斯特拉算法和______算法。二、選擇題（每題3分，共15分）1.下列哪個(gè)數(shù)學(xué)工具最適合用于解決資源分配問(wèn)題，使得在滿足一系列資源限制條件下，某個(gè)目標(biāo)函數(shù)（如利潤(rùn)、效率）達(dá)到最優(yōu)？A.回歸分析B.聚類分析C.線性規(guī)劃D.主成分分析2.在處理具有不確定性的決策問(wèn)題時(shí)，______方法能夠綜合考慮不同狀態(tài)下的收益或損失以及相應(yīng)的概率。A.決策樹B.馬爾可夫鏈C.貝葉斯決策D.灰色預(yù)測(cè)3.設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處存在偏導(dǎo)數(shù)f?(x?,y?)和f<0xE1><0xB5><0xA3>(x?,y?)，且Hessian矩陣在該點(diǎn)正定，則函數(shù)f在點(diǎn)(x?,y?)處可能達(dá)到：A.最大值B.最小值C.拐點(diǎn)D.無(wú)法確定4.以下哪項(xiàng)技術(shù)通常不直接依賴于概率統(tǒng)計(jì)理論？A.線性回歸B.決策樹C.K-均值聚類D.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)5.在數(shù)據(jù)預(yù)處理階段，對(duì)于缺失數(shù)據(jù)的處理方法可能包括刪除、插補(bǔ)等，其中插補(bǔ)方法可能涉及使用______來(lái)估計(jì)缺失值。A.線性回歸系數(shù)B.均值、中位數(shù)或眾數(shù)C.Hessian矩陣D.最小生成樹算法三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述馬爾可夫決策過(guò)程（MDP）的基本要素。2.解釋什么是效用函數(shù)，并說(shuō)明其在智能決策中的作用。3.描述圖論中的最短路徑問(wèn)題，并簡(jiǎn)述其至少兩種實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景。4.簡(jiǎn)述機(jī)器學(xué)習(xí)中邏輯回歸模型的基本思想及其與決策邊界的關(guān)系。四、計(jì)算題（每題8分，共24分）1.某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每單位產(chǎn)品A的利潤(rùn)為3元，每單位產(chǎn)品B的利潤(rùn)為2元。生產(chǎn)每單位產(chǎn)品A需消耗原料1公斤，生產(chǎn)每單位產(chǎn)品B需消耗原料1.5公斤。現(xiàn)有原料共4公斤。若市場(chǎng)需求限制，產(chǎn)品B的產(chǎn)量不超過(guò)產(chǎn)品A產(chǎn)量的兩倍。請(qǐng)建立該問(wèn)題的線性規(guī)劃模型。2.設(shè)離散隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3，對(duì)應(yīng)的概率分布為P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.5,P(X=3)=0.3。計(jì)算隨機(jī)變量X的期望E(X)和方差Var(X)。3.考慮如下簡(jiǎn)單的決策問(wèn)題：有三種行動(dòng)a?,a?，兩種可能的狀態(tài)s?,s?。收益矩陣如下（單位：萬(wàn)元）：||狀態(tài)s?|狀態(tài)s?||:------|:-----|:-----||行動(dòng)a?|3|1||行動(dòng)a?|0|4|假設(shè)狀態(tài)s?和s?發(fā)生的概率分別為0.6和0.4，決策者是風(fēng)險(xiǎn)中性的。請(qǐng)計(jì)算該問(wèn)題的期望收益矩陣，并選擇最優(yōu)行動(dòng)。五、模型建立與應(yīng)用題（12分）假設(shè)某城市公共交通管理部門需要決定如何在兩條主要線路（線路1和線路2）上分配有限的公交車資源（車輛數(shù)量）以最大化乘客滿意度。乘客滿意度與車輛密度（單位線路上的車輛數(shù)量）和等待時(shí)間相關(guān)，通常車輛密度越高，等待時(shí)間越短，滿意度越高，但超過(guò)某個(gè)閾值后，增加車輛效果不明顯甚至下降。兩條線路的乘客流量不同，歷史數(shù)據(jù)顯示：*線路1：高峰時(shí)段平均每小時(shí)到達(dá)乘客150人。*線路2：高峰時(shí)段平均每小時(shí)到達(dá)乘客100人。*線路1的乘客對(duì)等待時(shí)間的敏感度高于線路2。*管理部門目前有10輛公交車可供分配。請(qǐng)：1.建立一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型（可以是優(yōu)化模型，也可以是決策分析框架）來(lái)描述該問(wèn)題，明確目標(biāo)函數(shù)和關(guān)鍵約束條件（無(wú)需求解）。2.解釋你在模型中引入的關(guān)鍵假設(shè)。3.說(shuō)明如何利用該模型輔助公共交通管理部門做出決策。試卷答案一、填空題1.不等式2.λ,λ3.效用4.線性規(guī)劃5.貝爾曼二、選擇題1.C2.C3.B4.D5.B三、簡(jiǎn)答題1.基本要素包括：狀態(tài)集（S）、動(dòng)作集（A）、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率函數(shù)（P）、獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)（R）和折扣因子（γ）。2.效用函數(shù)是將不同后果（如收益、損失、風(fēng)險(xiǎn)等）轉(zhuǎn)化為決策者主觀偏好度量的數(shù)值函數(shù)。在智能決策中，它有助于統(tǒng)一量綱，比較不同方案的綜合價(jià)值，實(shí)現(xiàn)個(gè)性化或風(fēng)險(xiǎn)偏好下的最優(yōu)選擇。3.最短路徑問(wèn)題是指在加權(quán)圖中尋找連接兩個(gè)特定頂點(diǎn)之間具有最小權(quán)重和的路徑。實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景包括：網(wǎng)絡(luò)路由選擇（如互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)包傳輸路徑）、城市交通規(guī)劃（如尋找最短行駛路線）、物流配送路徑優(yōu)化等。4.邏輯回歸模型是一種用于預(yù)測(cè)二元分類結(jié)果的統(tǒng)計(jì)方法，其核心思想是通過(guò)一個(gè)邏輯函數(shù)（如Sigmoid函數(shù)）將線性組合的輸入特征映射到[0,1]區(qū)間，該值可解釋為屬于正類別的概率。其決策邊界通常是線性邊界，即通過(guò)概率閾值為0.5將特征空間劃分為兩個(gè)區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)類別。四、計(jì)算題1.設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量為x?，生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量為x?。目標(biāo)函數(shù)（最大化總利潤(rùn)）：MaxZ=3x?+2x?約束條件：x?+1.5x?≤4(原料約束)x?≤2x?(市場(chǎng)約束，即x?-2x?≤0)x?≥0,x?≥0(非負(fù)約束)2.E(X)=Σx?p(x?)=1*0.2+2*0.5+3*0.3=0.2+1.0+0.9=2.1E(X2)=Σx?2p(x?)=12*0.2+22*0.5+32*0.3=0.2+4*0.5+9*0.3=0.2+2.0+2.7=4.9Var(X)=E(X2)-[E(X)]2=4.9-(2.1)2=4.9-4.41=0.493.期望收益矩陣計(jì)算：行動(dòng)a?：0.6*3+0.4*1=1.8+0.4=2.2(萬(wàn)元)行動(dòng)a?：0.6*0+0.4*4=0+1.6=1.6(萬(wàn)元)最優(yōu)行動(dòng)是選擇期望收益最大的行動(dòng)。比較可知，行動(dòng)a?的期望收益（2.2萬(wàn)元）大于行動(dòng)a?（1.6萬(wàn)元），因此最優(yōu)行動(dòng)為a?。五、模型建立與應(yīng)用題1.模型建立（示例）：可采用優(yōu)化模型。設(shè)線路1分配x?輛車，線路2分配x?輛車（x?,x?≥0且x?+x?=10）。定義滿意度函數(shù)U(x?,x?)作為目標(biāo)函數(shù)，該函數(shù)應(yīng)反映車輛密度（x?/150,x?/100）與等待時(shí)間（可能隨密度變化）的關(guān)系，通常假設(shè)滿意度隨密度增加而增加，但增長(zhǎng)放緩。約束條件為x?+x?=10。目標(biāo)是MaxU(x?,x?)?；虿捎脹Q策分析框架。列出所有可能的車輛分配方案（如x?=0,x?=10;x?=1,x?=9;...;x?=10,x?=0），計(jì)算各方案在兩種線路流量下的預(yù)期滿意度（可通過(guò)仿真或經(jīng)驗(yàn)公式估算），然后根據(jù)滿意度選擇最優(yōu)分配方案。2.關(guān)鍵假設(shè)：*滿意度主要受車輛密度和等待時(shí)間影響，其他因素（如舒適度、換乘）忽略。*線路乘客流量在高峰時(shí)段相對(duì)穩(wěn)定。*等待時(shí)間與車輛密度成反比關(guān)系（或某個(gè)特定函數(shù)關(guān)系）。*乘客對(duì)兩條線路的滿意度可以比較和加權(quán)。*車輛分配方案是離散的、可數(shù)的。3.決策輔助：