2025年大學《數學與應用數學》專業(yè)題庫——變分法在物理學中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題4分，共20分。請將正確選項的字母填在括號內）1.下列哪個量是泛函？（）(A)一條曲線的長度(B)一個函數的值(C)一個常數的平方(D)一個向量的模長2.在變分法中，表示泛函J[y(x)]取得極值的曲線y(x)的變分δJ通常定義為（）。(A)J[y(x)]的導數(B)J[y(x)]的二階導數(C)J[y(x)]的增量(D)J[y(x)]的微分3.對于泛函J[y]=∫[a,b]L(x,y,y')dx，如果y=y(x)使J[y]取得極值，根據歐拉-拉格朗日方程，下列哪個式子成立？（）(A)?L/?y-(d/dx)(?L/?y')=0(B)?L/?x-(d/dx)(?L/?y)=0(C)?L/?y'-(d/dx)(?L/?x)=0(D)?L/?y'+(d/dx)(?L/?y)=04.最小作用量原理∫[t1,t2]L(q,q',t)dt=0中，L通常被稱為（）。(A)勢能(B)動能(C)動量(D)拉格朗日量5.在使用拉格朗日乘子法處理約束變分問題時，引入的拉格朗日乘子λ的作用是（）。(A)直接求解約束條件(B)將約束條件轉化為非約束問題(C)增加泛函的維度(D)改變拉格朗日函數的形式二、填空題（每空4分，共20分。請將答案填在橫線上）6.泛函J[y]=∫[a,b](y'^2+y^2)dx的歐拉-拉格朗日方程是________。7.如果泛函的變分δJ=0恒成立于任意變分δy，則稱泛函J[y]在y=y(x)處取得________。8.對于一個僅依賴于位置q和速度q'的保守系統(tǒng)，其拉格朗日量L通常可以表示為________。9.在最小作用量原理中，作用量S是________的函數。10.如果一個物理系統(tǒng)的運動方程可以用拉格朗日方程?L/?q-(d/dt)(?L/?q')=0來描述，那么該系統(tǒng)一定是________守恒的。三、計算題（每題10分，共30分）11.證明：在平面上連接兩點(x1,y1)和(x2,y2)的所有曲線中，直線段使得該曲線的長度最短。12.質量為m的粒子在重力場中做豎直上拋運動，不計空氣阻力。試用拉格朗日方程推導粒子的運動微分方程（設向上為正方向，t=0時，x=x0，v=0）。13.考慮一個在保守力場U(x)中運動的粒子，試用哈密頓原理（最小作用量原理）推導粒子的運動方程。假設作用量S=∫[t1,t2]L(x,x',t)dt，其中L=?mv'^2-U(x)。四、綜合應用題（每題15分，共30分）14.一個質量為m的小球沿著光滑的拋物線y=hx^2（h為常數）從點(0,0)滑到點(A,hA^2)，試用變分法證明：小球總是沿著從頂點到底部的弦所花費的時間最短。15.對于一維諧振子，勢能函數為U(x)=?kx^2，其中k為勁度系數。試用變分法中的近似方法（例如，猜測一個基函數，如x(t)=Asin(ωt)，其中ω為待定角頻率，然后變分參數A，求作用量S的駐值）定性說明如何得到薛定諤方程，并解釋物理意義。試卷答案一、選擇題1.(A)2.(C)3.(A)4.(D)5.(B)二、填空題6.y''-y=07.極值8.動能T-勢能V9.時間t10.能量E三、計算題11.解析思路：1.定義連接點(x1,y1)和(x2,y2)的曲線長度泛函：J[y]=∫[x1,x2]√(1+(y')^2)dx。2.寫出對應的歐拉-拉格朗日方程：√(1+(y')^2)-(d/dx)(y'/√(1+(y')^2))=0。3.設y'=p，將方程轉化為關于p的常微分方程：dp/dx=0，即p=const=k（某個常數）。4.將p=y'代入，得到y(tǒng)'=k，積分得到y(tǒng)=kx+C（其中C是積分常數）。5.利用邊界條件y(x1)=y1和y(x2)=y2，確定常數k和C，得到y(tǒng)=(y2-y1)/(x2-x1)*x+(x2*y1-x1*y2)/(x2-x1)。6.識別所得曲線方程為直線方程，證明該直線段長度是最短的（幾何直觀或利用變分法結果也可）。12.解析思路：1.確定系統(tǒng)的拉格朗日函數：L=T-V=?mv'^2-mgx。其中v'=dx/dt。2.寫出拉格朗日方程：?L/?x-(d/dt)(?L/?x')=0。這里?L/?x=-mg，(d/dt)(?L/?x')=(d/dt)(mv')=m(dv'/dt)=ma。3.代入拉格朗日方程：-mg-ma=0，即m(dv'/dt)+mg=0。4.整理得到運動微分方程：dv'/dt=-g，即a=-g（重力加速度，方向向下）。5.根據初始條件t=0,x=x0,v'=dx/dt=0，解此微分方程即可得到x(t)=x0-?gt^2。13.解析思路：1.寫出作用量泛函：S=∫[t1,t2](?mv'^2-U(x))dt。其中v'=dx/dt。2.將v'替換為x'，并將dt替換為dx/v'，得到S=∫[x(t1),x(t2)](?m(x')^2-U(x))/x'dx。3.寫出泛函J[x]=∫[x1,x2](?m(x')^2-U(x))/x'dx的歐拉-拉格朗日方程：?F/?x-(d/dx)(?F/?x')=0，其中F=(?m(x')^2-U(x))/x'。4.計算?F/?x=-?U/?x/x'。計算(d/dx)(?F/?x')=(d/dx)[m(x')/x']=m(x''x'-(x')^2)/(x')^2=m(x''/x'-x')/x'=m(x''/x'-1)。5.代入歐拉-拉格朗日方程：(-?U/?x/x')-(m(x''/x'-1))=0。6.整理得到：m(x''/x')=?U/?x，即m(x''x')=?U/?x*x'。7.識別m(x''x')=m(dv'/dt)*dx/dt=mvdv/dx=m(dv/dx)v=madx/dx=ma=dpx/dx，其中p=mv。因此上式為p(dpx/dx)=?U/?xdx。8.積分得到p^2/2=U(x)+C（C為積分常數），即mv^2/2=U(x)+C。9.識別此即為機械能守恒定律形式：?mv'^2=E-U(x)，其中E=C為總能量。將其寫成微分形式：?m(dv/dt)^2=d(?mv^2)/dt=d(E-U(x))/dt=-(dU/dx)dx/dt=-(?U/?x)v'。10.再次整理得到：m(dv'/dt)+?U/?x=0，即m(d^2x/dt^2)+?U/?x=0。11.最終得到粒子運動方程：m(d^2x/dt^2)+?U/?x=0，或寫成F=ma形式：m(d^2x/dt^2)=-?U。四、綜合應用題14.解析思路：1.設曲線長度泛函J[y]=∫[0,A]√(1+(y')^2)dx。2.寫出對應的歐拉-拉格朗日方程：√(1+(y')^2)-(d/dx)(y'/√(1+(y')^2))=0。3.設y'=p，方程變?yōu)椤?1+p^2)-(dp/dx)*p/√(1+p^2)=0。4.整理得到(d/dx)(p/√(1+p^2))=0，即p/√(1+p^2)=C1（常數）。5.令p=dy/dx，分離變量并積分：∫[1/√(1+y'^2)]dy'=∫C1dx，得到arcsinh(y')=C1x+C2。6.求解y'：y'=sinh(C1x+C2)。7.積分得到y(tǒng)=(1/C1)*(cosh(C1x+C2)-cosh(C2))。8.利用邊界條件y(0)=0，代入得到0=(1/C1)*(cosh(C2)-cosh(C2))，即cosh(C2)=1，得C2=0。9.所以y=(1/C1)*cosh(C1x)=(1/C1)*[(e^(C1x)+e^(-C1x))/2]=(1/(2C1))*(e^(C1x)+1/(e^(C1x)))。10.利用另一個邊界條件y(A)=hA^2，代入得到hA^2=(1/(2C1))*(e^(C1A)+e^(-C1A))=(1/(2C1))*2cosh(C1A)，即hA^2=cosh(C1A)。11.利用cosh^2(u)-sinh^2(u)=1，令u=C1A，得到hA^2-sinh^2(C1A)=1，即sinh(C1A)=√(hA^2-1)。12.比較弦線方程y=(1/C1)*cosh(C1x)=(1/√(hA^2-1))*cosh(√(hA^2-1)*x)。13.證明：弦線方程可以寫成y=(1/√(hA^2-1))*[(e^√(hA^2-1)*x+e^(-√(hA^2-1)*x))/2]=(1/√(hA^2-1))*(e^(√(hA^2-1)*x)+e^(-√(hA^2-1)*x))/2。設弦線端點為(0,0)和(A,hA^2)，弦線方程為y=(hA^2/A^2)*x=(h/A)x。比較兩者，需要證明(h/A)=1/√(hA^2-1)。兩邊平方，(h/A)^2=1/(hA^2-1)，即h^2/A^2=1/(h^2A^2-1)。交叉相乘得h^2(h^2A^2-1)=A^2，即h^4A^2-h^2=A^2。需要證明h^4A^2-h^2=A^2，即h^4A^2=A^2+h^2。這與hA^2-sinh^2(C1A)=1代入sinh(C1A)=√(hA^2-1)得到的hA^2-(hA^2-1)=1，即1=1是一致的。因此，當y=hA^2/x*x時，y'=hA^2/x^2*x=hA^2/x，代入泛函表達式J[y]=∫[0,A]√(1+(hA^2/x)^2)dx=∫[0,A]√(x^2+h^2A^4)/xdx，而J[弦線]=∫[0,A]√(1+(hA/x)^2)dx=∫[0,A]√(x^2+h^2A^2)/xdx。由于hA^2>1，x^2+h^2A^4>x^2+h^2A^2，所以J[弦線]<J[y]，即弦線路徑花費時間最短。15.解析思路：1.確定一維諧振子的拉格朗日函數：L=T-V=?m(dq/dt)^2-?kq^2。2.拉格朗日方程為?L/?q-(d/dt)(?L/?q')=0，即-kq-m(d^2q/dt^2)=0，得到運動微分方程m(d^2q/dt^2)+kq=0，或m(d^2q/dt^2)=-kq。3.薛定諤方程（時間無關）為-?^2/(2m)*d^2ψ/dx^2+V(x)ψ=Eψ。4.變分法推導：考慮作用量S=∫[x1,x2]L(q,q',t)dt=∫[x1,x2](?m(dq/dt)^2-?kq^2)dt。令q(t)=ψ(x)=ψ(t)（假設試探函數形式與位置有關，時間依賴由參數E引入），則q'=ψ'。將t用q和q'表達，得到dt=dx/ψ'。作用量泛函J[ψ]=∫[x1,x2](?mψ'^2-?kψ^2)/ψ'dx。5.對J[ψ]進行變分δJ=δ∫(?mψ'^2-?kψ^2)/ψ'dx。應用歐拉-拉格朗日方程?F/?ψ-(d/dx)(?F/?ψ')=0，其中F=