2025-2026學(xué)年度（上）階段性考試（一）

高2025級(jí)數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.作答時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合要求的.

1.已知集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式即可得.

【詳解】集合有3個(gè)元素，故集合的真子集個(gè)數(shù)為.

故選：A.

2.已知命題，則是（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.

【詳解】命題為全稱量詞命題，

則是：.

故選：B

3.下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（）

A.，B.，

C.，D.，

【答案】C

第1頁(yè)/共15頁(yè)

【解析】

【分析】根據(jù)相同函數(shù)的概念逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)椋珺錯(cuò)誤；

對(duì)于C，和定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，C正確；

對(duì)于D，由，解得，故的定義域?yàn)椋?/p>

由，解得或，的定義域?yàn)椋x域不一致，D錯(cuò)誤.

故選：C

4.已知函數(shù)，則（）

A.8B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求，再求得解.

【詳解】因?yàn)椋?

故選：B.

5.已知，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，所以，故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)椋?，則，所以，故B正確；

對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?/p>

當(dāng)時(shí)，

第2頁(yè)/共15頁(yè)

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?/p>

所以，

綜上可得，故C正確；

對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，因，所以，所以，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以?/p>

所以，

綜上可得，故D錯(cuò)誤；

故選：D

6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)和具體函數(shù)定義域求法，列不等式求解可得.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?/p>

所以，解得，

根據(jù)解析式有意義可知，即，

綜上，.

所以函數(shù)的定義域?yàn)?

故選：A．

7.要建造一個(gè)容積為9立方米，深為1米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池．若水池的底每平方米的造價(jià)為100元，水池

第3頁(yè)/共15頁(yè)

的壁每平方米的造價(jià)為90元，則該水池的總造價(jià)（底的造價(jià)與壁的造價(jià)之和）的最小值為（）

A.2100元B.1980元C.1870元D.1760元

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)水池底部長(zhǎng)寬分別為米，根據(jù)已知有、總造價(jià)，應(yīng)用基本不等

式求最小值，注意取值條件.

【詳解】設(shè)水池底部長(zhǎng)寬分別為米，則，

所以水池總造價(jià)為，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故總造價(jià)最小值為元.

故選：B

8.，，若，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再由交集的結(jié)果，可知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

，，且，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得.

【詳解】由得，解得，所以，

因?yàn)?，?/p>

所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，

所以，故D正確；

又，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；

，故C正確.

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

第4頁(yè)/共15頁(yè)

9.若，則下列不等式恒成立的是（）

A.B.

C.D.

【答案】AB

【解析】

【分析】采用作差法可知AB正確；通過(guò)反例可說(shuō)明CD錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A，，

，，，，故A正確；

對(duì)于B，，

，，，，故B正確；

對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若，則，，故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.關(guān)于x的不等式的解集可能是（）

A.B.C.D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】先因式分解，得出方程可能存在的根，再對(duì)a進(jìn)行分類討論，最后得到不等

式的可能解集.

【詳解】因?yàn)椋裕?/p>

當(dāng)a＞0時(shí)，，不等式解集為；

當(dāng)a＝0時(shí)，，不等式解集為；

當(dāng)a＜0時(shí)，，若，解集為；

第5頁(yè)/共15頁(yè)

若，解集為R；

若，解集為．

故選：BCD

11.已知，關(guān)于的不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.B.的最大值為

C.的最小值為4D.的最小值為

【答案】ABC

【解析】

【分析】依題意可得和為關(guān)于的方程的兩根且，利用韋達(dá)定

理得到，即可得到，從而判斷A；再利用基本不等式判斷B、C、D.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，

所以和為關(guān)于的方程的兩根且，

所以，所以，所以，故A正確；

又，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等

號(hào)，

所以的最大值為，故B正確；

，

第6頁(yè)/共15頁(yè)

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故C正確；

因?yàn)椋裕?/p>

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，

所以的最小值為，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填涂在答題卡的相應(yīng)位置上.

12.有A、B、C三個(gè)城市，至少去過(guò)其中一個(gè)城市的有18人，去過(guò)A、B、C三個(gè)城市的分別有9人，8人，

11人，同時(shí)去過(guò)A、B的有5人，同時(shí)去過(guò)B、C的有3人，同時(shí)去過(guò)A、C的有4人，則同時(shí)去過(guò)A、B、

C三個(gè)城市的有________人．

【答案】2

【解析】

【分析】若同時(shí)去過(guò)有人，根據(jù)已知及容斥原理列方程求解即可.

【詳解】若同時(shí)去過(guò)的有人，則，可得.

故答案為：2

13.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則不等式的解集為

________．

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)的解集為得到，且，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)

的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意得的兩個(gè)根為，，且，

第7頁(yè)/共15頁(yè)

，，則，，

則，即，

即，解得，

則不等式的解集為.

故答案為：.

14.當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式有解，則的取值范圍是______.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)已知不等式有解得出有解，再應(yīng)用基本不等式得出參數(shù)范圍即可.

【詳解】當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式有解，

所以有解，所以，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值6，

則的取值范圍是.

故答案為：.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知集合.

（1）若集合，且，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若集合，且，求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】（1）1；（2）.

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【解析】

【分析】（1）根據(jù)集合相等的概念，分別討論解出實(shí)數(shù)的值即可；

（2）按和進(jìn)行分類討論并由集合間的包含關(guān)系，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椋曰?，解?

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?，所以?/p>

①當(dāng)時(shí)，成立；

②當(dāng)時(shí)，，所以或2，解得或1，

綜上，實(shí)數(shù)的值為.

16.已知集合，集合.

（1）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

（2）若，，p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）討論，兩種情況，結(jié)合交集運(yùn)算的結(jié)果得出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）由p是q成立的充分不必要條件，得出是的真子集，再由包含關(guān)系得出實(shí)數(shù)的取值范圍．

【小問(wèn)1詳解】

由，得

①若，即時(shí)，，符合題意；

②若，即時(shí)，需或，解得．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

【小問(wèn)2詳解】

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∵p是q的充分不必要條件，

∴，

∴是的真子集．

則不同時(shí)取等號(hào)，解得．

實(shí)數(shù)的取值范圍為．

17.2024年8月12日，為期16天的巴黎奧運(yùn)會(huì)落下帷幕，回顧這一屆奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)元素在這里隨處可見(jiàn).

這個(gè)盛夏，“中國(guó)智造”不僅為巴黎奧運(yùn)會(huì)注入了新動(dòng)力，也向世界展示了中國(guó)向“新”而行的活力，讓人

們?cè)谙硎鼙荣惖耐瑫r(shí)，感受到中國(guó)發(fā)展的脈搏.巴黎奧組委的數(shù)據(jù)顯示，本屆奧運(yùn)會(huì)的吉祥物產(chǎn)自中國(guó)

.據(jù)調(diào)查，國(guó)內(nèi)某公司出售一款巴黎奧運(yùn)會(huì)吉祥物，需要固定投入300萬(wàn)元費(fèi)用.假設(shè)購(gòu)進(jìn)該款產(chǎn)品全部售出

.若以80元的單價(jià)出售，可售出15萬(wàn)件，且每降價(jià)1元，銷量增加五千件.若購(gòu)進(jìn)該產(chǎn)品數(shù)量不超過(guò)30萬(wàn)

件，則經(jīng)銷商按照每件30元成本收費(fèi)；若購(gòu)進(jìn)30萬(wàn)件以上，則直接與玩具公司合作，以全新方式進(jìn)行銷

售，此時(shí)利潤(rùn)（萬(wàn)元）與銷量（萬(wàn)件）的關(guān)系為.

（1）當(dāng)購(gòu)進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量為10萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)是多少？

（2）寫出利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于購(gòu)進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式？（利潤(rùn)銷售收入-成本）

（3）購(gòu)進(jìn)并銷售產(chǎn)品多少萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)最大？此時(shí)利潤(rùn)是多少？

【答案】（1）200（萬(wàn)元）；

（2）

（3）當(dāng)（萬(wàn)件）時(shí)，利潤(rùn)最大，此時(shí)利潤(rùn)是910（萬(wàn)元）

【解析】

分析】（1）根據(jù)題意和已知條件代入求解即可；

（2）對(duì)進(jìn)行分類討論寫出的解析式；

（3）對(duì)分類討論寫出各段函數(shù)的最大值進(jìn)行比較.

【小問(wèn)1詳解】

第10頁(yè)/共15頁(yè)

（萬(wàn)元）.

所以當(dāng)購(gòu)進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量為10萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)是200萬(wàn)元.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)降價(jià)元，購(gòu)進(jìn)產(chǎn)品全部售出，

則，得到，

所以，

當(dāng)時(shí)，，

所以

【小問(wèn)3詳解】

由（2）知，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)（萬(wàn)件），利潤(rùn)最大，此時(shí)利潤(rùn)是450（萬(wàn)元），

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)（萬(wàn)件），利潤(rùn)最大，此時(shí)利潤(rùn)是500（萬(wàn)元），

當(dāng)時(shí)，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，

當(dāng)（萬(wàn)件），利潤(rùn)最大，此時(shí)利潤(rùn)是910（萬(wàn)元），

因?yàn)?，所以?dāng)（萬(wàn)件）時(shí)，利潤(rùn)最大，此時(shí)利潤(rùn)是910（萬(wàn)元）.

18.已知是二次函數(shù)，滿足且滿足條件.

（1）求的解析式；

（2）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；

第11頁(yè)/共15頁(yè)

（3）解關(guān)于x的不等式：.

【答案】（1）

（2）

（3）答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）由題意設(shè)，由得，再由列式解得

，即可得；

（2）依題意對(duì)于恒成立，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為零與否分類討論，分別求出參數(shù)的取

值范圍最后取并集即可；

（3）將代入按與和的大小關(guān)系分類討論求解含參不等式即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)，由得，，

故，

因?yàn)椋?/p>

所以，

即，

所以，，

所以.

【小問(wèn)2詳解】

對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，即恒成立

①當(dāng)時(shí)，恒成立；

②當(dāng)時(shí)，，解得，

綜上的取值范圍為.

第12頁(yè)/共15頁(yè)

【小問(wèn)3詳解】

，即，即，

①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，解集為；

②當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解集為；

③當(dāng)時(shí)，此時(shí)，解集為或；

④當(dāng)時(shí)，不等式化為，解集為；

⑤當(dāng)時(shí)，此時(shí)，解集為或.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或..

19.設(shè)集合，其中，正整數(shù)．若對(duì)任意，

與至少有一個(gè)屬于，則稱具有性質(zhì)．

（1）分別判斷集合與是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)