極值問題最大最小等求解試題一、函數(shù)極值問題的基礎(chǔ)求解方法（一）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)(f(x))，其極值點(diǎn)需滿足導(dǎo)數(shù)為零且二階導(dǎo)數(shù)非零。例如：求函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)的極值。步驟：求導(dǎo)：(f'(x)=3x^2-6x)，令(f'(x)=0)得(x=0)或(x=2)；二階導(dǎo)數(shù)判斷：(f''(x)=6x-6)，當(dāng)(x=0)時(shí)(f''(0)=-6<0)（極大值點(diǎn)），當(dāng)(x=2)時(shí)(f''(2)=6>0)（極小值點(diǎn)）；代入原函數(shù)得極大值(f(0)=2)，極小值(f(2)=-2)。（二）二次函數(shù)的最值問題二次函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）的最值可通過頂點(diǎn)公式或配方法求解。例如：當(dāng)(x\in[0,3])時(shí)，求(f(x)=x^2-4x+3)的最大值。解析：對(duì)稱軸為(x=2)，開口向上；區(qū)間內(nèi)端點(diǎn)值：(f(0)=3)，(f(3)=0)；頂點(diǎn)值：(f(2)=-1)；因此最大值為(f(0)=3)。二、不等式與線性規(guī)劃中的極值問題（一）基本不等式求最值利用均值不等式(a+b\geq2\sqrt{ab})（(a,b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)(a=b)時(shí)取等號(hào)）。例如：已知(x>0)，求(y=x+\frac{4}{x})的最小值。解析：由均值不等式得(x+\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4)；當(dāng)(x=\frac{4}{x})即(x=2)時(shí)，(y_{\text{min}}=4)。（二）線性規(guī)劃問題目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值通常在頂點(diǎn)處取得。例如：設(shè)變量(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\leq5\2x-y\leq4\-x+y\leq1\y\geq0\end{cases})，求(z=3x+5y)的最大值。步驟：畫出可行域（由四條直線圍成的多邊形）；求出頂點(diǎn)坐標(biāo)：((0,0),(2,0),(3,2),(2,3),(0,1))；代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算：(z(0,0)=0)，(z(2,0)=6)，(z(3,2)=19)，(z(2,3)=21)，(z(0,1)=5)；最大值為(21)（在點(diǎn)((2,3))處取得）。三、幾何圖形中的極值問題（一）三角形與多邊形中的最值例如：在半徑為(R)的圓內(nèi)接三角形中，面積最大的三角形形狀及面積。解析：圓內(nèi)接三角形面積公式(S=\frac{1}{2}ab\sinC)，其中(a=2R\sinA)，(b=2R\sinB)；當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)，(A=B=C=60^\circ)，此時(shí)(S=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2)，為最大值。（二）立體幾何中的體積最值例如：用邊長(zhǎng)為(6)的正方形鐵皮制作無蓋長(zhǎng)方體容器，在四角剪去相同小正方形，求容器體積的最大值。解析：設(shè)剪去小正方形邊長(zhǎng)為(x)，則容器體積(V=x(6-2x)^2)（(0<x<3)）；求導(dǎo)得(V'=(6-2x)^2-4x(6-2x))，令(V'=0)解得(x=1)（(x=3)舍去）；最大值(V(1)=1\times4^2=16)。四、實(shí)際應(yīng)用中的極值問題（一）行程與工程問題例如：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)(A)產(chǎn)品需(2)小時(shí)/件，生產(chǎn)(B)產(chǎn)品需(3)小時(shí)/件，每天總工時(shí)不超過(12)小時(shí)，(A)、(B)產(chǎn)品利潤(rùn)分別為(3)元和(5)元，求最大利潤(rùn)。解析：設(shè)生產(chǎn)(A)、(B)產(chǎn)品各(x,y)件，則約束條件為(2x+3y\leq12)（(x,y\in\mathbb{N})）；目標(biāo)函數(shù)(z=3x+5y)，可行域頂點(diǎn)為((0,0),(6,0),(0,4),(3,2))；計(jì)算得(z(3,2)=19)最大，即生產(chǎn)(3)件(A)和(2)件(B)時(shí)利潤(rùn)最大。（二）經(jīng)濟(jì)優(yōu)化問題例如：某商品進(jìn)價(jià)(20)元/件，售價(jià)(x)元時(shí)銷量為(100-(x-30))件，求最大利潤(rùn)。解析：利潤(rùn)函數(shù)(L=(x-20)[100-(x-30)]=(x-20)(130-x)=-x^2+150x-2600)；對(duì)稱軸(x=75)，此時(shí)(L_{\text{max}}=(75-20)(130-75)=55\times55=3025)元。五、復(fù)雜函數(shù)與多變量極值問題（一）三角函數(shù)的極值例如：求(f(x)=\sinx+\cosx)在([0,\pi])上的最大值。解析：化簡(jiǎn)為(f(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right))；當(dāng)(x=\frac{\pi}{4})時(shí)，(f(x)_{\text{max}}=\sqrt{2})。（二）多元函數(shù)的條件極值利用拉格朗日乘數(shù)法。例如：在(x+y+z=1)條件下，求(u=x^2+y^2+z^2)的最小值。解析：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)(L=x^2+y^2+z^2+\lambda(1-x-y-z))；求偏導(dǎo)得(2x=\lambda)，(2y=\lambda)，(2z=\lambda)，故(x=y=z=\frac{1}{3})；最小值(u=3\times\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{3})。六、極值問題的常見易錯(cuò)點(diǎn)與技巧定義域忽略：例如求(y=x+\frac{1}{x})的最值時(shí)，需考慮(x\neq0)，當(dāng)(x>0)時(shí)最小值為(2)，當(dāng)(x<0)時(shí)最大值為(-2)。等號(hào)成立條件：使用均值不等式時(shí)需驗(yàn)證“一正二定三相等”，例如(x+\frac{1}{x-1})（(x>1)）應(yīng)變形為((x-1)+\frac{1}{x-1}+1\geq3)。邊界值驗(yàn)證：在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)最值可能在