2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在戰(zhàn)略管理中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述微分方程在描述企業(yè)動態(tài)變化過程中的作用，并舉例說明一階線性微分方程如何應(yīng)用于一個簡單的戰(zhàn)略管理場景（如市場滲透率變化、技術(shù)采納曲線等）。二、某公司生產(chǎn)兩種相關(guān)產(chǎn)品A和B。為了最大化利潤，公司需要決定兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量。設(shè)產(chǎn)品A和B的產(chǎn)量分別為x和y，利潤函數(shù)為P(x,y)=10x+20y-x2-2xy-5y2。公司的資源限制為x+2y≤18（資源用于生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的投入比例限制），且x,y≥0。請建立該問題的線性規(guī)劃模型，并寫出其標準形式。三、假設(shè)你正在為一個初創(chuàng)企業(yè)評估兩種不同的市場進入策略。策略1（A）有60%的概率成功，成功時帶來100萬元的收益，40%的概率失敗，帶來0收益。策略2（B）有40%的概率成功，成功時帶來150萬元的收益，60%的概率失敗，帶來-20萬元的損失（考慮市場進入失敗的成本）。如果不采取任何策略（C），預(yù)期收益為0。請計算每種策略的期望值，并根據(jù)期望值決策準則選擇最優(yōu)策略。如果采用決策樹方法，請簡述其分析步驟。四、某零售商銷售一種季節(jié)性商品。已知該商品的市場需求服從均值為500件、標準差為100件的正態(tài)分布。每件商品進價為50元，售價為100元，季節(jié)結(jié)束后剩余商品每件只能以10元處理。零售商需要在每季開始前一次性訂購。為了最小化預(yù)期總成本（包括進貨成本、銷售損失、處理損失），請使用（連續(xù)）型隨機變量庫存模型確定最優(yōu)訂購量。簡述模型建立的假設(shè)和推導(dǎo)過程。五、考慮一個包含三個決策者的兩階段博弈。第一階段，決策者1（A）首先選擇行動L或R；如果A選擇L，決策者2（B）可以選擇U或D；如果A選擇R，決策者2（B）可以選擇U或D。第二階段，決策者3（C）根據(jù)A和B的行動組合觀察結(jié)果并做出反應(yīng)（例如，接受或拒絕某個方案）。請設(shè)計一個能夠表示這個博弈的擴展形博弈表示方法（說明節(jié)點、行動集、信息集等關(guān)鍵要素）。假設(shè)在第二階段，C的決策不影響最終支付，請描述如何分析這個博弈的子博弈完美納什均衡。六、一家公司正在考慮是否投資一個新項目。市場研究表明，如果該項目成功，公司價值將增加20億元；如果失敗，公司價值將減少5億元。成功的概率估計為70%。公司可以選擇進行市場調(diào)研以獲取更多信息，調(diào)研成本為1000萬元，且調(diào)研結(jié)果有90%的準確率（即，如果調(diào)研預(yù)測成功，則實際成功的概率為95%；如果調(diào)研預(yù)測失敗，則實際失敗的概率為85%）。請計算在最優(yōu)決策規(guī)則下，公司是否應(yīng)該進行市場調(diào)研？如果不進行調(diào)研，最優(yōu)決策是什么？如果進行調(diào)研，根據(jù)調(diào)研結(jié)果的最優(yōu)決策是什么？七、假設(shè)一個公司的供應(yīng)鏈由供應(yīng)商、制造商和分銷商組成。已知從供應(yīng)商到制造商的運輸成本為每單位10元，需求量為D（D服從均值為1000，標準差為200的正態(tài)分布）；從制造商到分銷商的運輸成本為每單位15元，分銷商的需求量為D?，其中D?=1.2D（D?也近似服從正態(tài)分布，參數(shù)待推導(dǎo)）。制造商的生產(chǎn)成本為每單位50元，分銷商的缺貨成本為每單位20元。請推導(dǎo)D?的分布參數(shù)，并簡述如何使用（確定性或隨機）庫存模型為該供應(yīng)鏈設(shè)計一個近似的聯(lián)合庫存管理策略，以平衡庫存持有成本和缺貨成本。試卷答案一、微分方程可用于描述戰(zhàn)略管理中各種隨時間連續(xù)變化的動態(tài)系統(tǒng)。例如，一階線性微分方程dy/dt+p(t)y=q(t)可應(yīng)用于市場滲透率變化模型。設(shè)y(t)代表時間t時刻某新市場策略的滲透率，p(t)代表市場飽和或競爭抑制因素，q(t)代表市場吸引力或推廣力度。通過求解該微分方程，可以預(yù)測滲透率隨時間的變化趨勢，為制定動態(tài)調(diào)整的戰(zhàn)略提供數(shù)學(xué)依據(jù)。二、線性規(guī)劃模型：最大化Z=10x+20y約束條件：1.x+2y≤182.-x≤03.-2y≤04.x≥05.y≥0標準形式：最大化Z=10x+20y約束條件：1.x+2y+s?=18(s?為松弛變量)2.-x+s?=0(s?為人工變量，x≤0轉(zhuǎn)化為-s+x+s?=0)3.-2y+s?=0(s?為人工變量，y≤0轉(zhuǎn)化為-2y+s?=0)4.x,y,s?,s?,s?≥0解析思路：首先將利潤最大化問題轉(zhuǎn)化為標準形式的目標函數(shù)。然后根據(jù)資源限制x+2y≤18，引入松弛變量s?將其轉(zhuǎn)化為等式x+2y+s?=18。由于x,y非負，但題目限制x≤0,y≤0，為使用單純形法，將x≤0轉(zhuǎn)化為-x+s?=0（s?≥0），將y≤0轉(zhuǎn)化為-2y+s?=0（s?≥0）。最后將所有不等式約束統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為等式約束，并保證所有變量非負，得到標準形式。三、期望值計算：策略A：期望值=0.6*100萬+0.4*0=60萬策略B：期望值=0.4*150萬+0.6*(-20萬)=60萬策略C：期望值=0根據(jù)期望值決策準則，策略A和策略B的期望值相同且為最優(yōu)（均為60萬），策略C期望值為0。選擇最優(yōu)策略需進一步考慮風險或其他標準，但僅基于期望值，A和B均最優(yōu)。決策樹分析步驟：1.繪制決策樹，標明決策節(jié)點（方框）和機會節(jié)點（圓圈）。2.在決策節(jié)點處標出可選策略（A、B、C）。3.從機會節(jié)點引出分支，標明不同結(jié)果的概率（如A成功60%，失敗40%；B成功40%，失敗60%）和對應(yīng)收益（A成功+100萬，失敗0；B成功+150萬，失敗-20萬）。4.計算每個機會節(jié)點的期望收益。5.對比決策節(jié)點處各策略的期望收益，選擇期望值最大的策略（在此例中A和B期望值相同）。解析思路：期望值法通過計算各策略所有可能結(jié)果的加權(quán)平均值（權(quán)重為概率）來決策。決策樹方法將決策過程圖形化，便于處理包含不確定性和序列決策的問題。計算期望值后，選擇期望收益最高的策略。四、最優(yōu)訂購量推導(dǎo)：設(shè)最優(yōu)訂購量為Q。總成本TC(Q)=進貨成本+銷售損失期望+處理損失期望。進貨成本=50Q。銷售損失期望=P(D>Q)*(100-50)*期望(D-Q|D>Q)。處理損失期望=P(D≤Q)*(50-10)*期望(Q-D|D≤Q)。利用正態(tài)分布性質(zhì)，令z=(Q-μ)/σ，其中μ=500,σ=100。銷售損失期望≈σ*φ(z)*(100-50)=50σφ(z)。處理損失期望≈(μ-Q)*φ(-z)*(50-10)/σ=40(μ-Q)φ(-z)/σ。總成本TC(Q)=50Q+50σφ(z)+40(μ-Q)φ(-z)/σ。對TC(Q)關(guān)于Q求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0：dTC/dQ=50-40φ(-z)/σ=0。得z=-40φ(-z)/σ。利用標準正態(tài)分布性質(zhì)φ(-z)=1-φ(z)，得z=-40(1-φ(z))/σ。查表或計算得z≈-0.35。最優(yōu)訂購量Q=μ+zσ=500+(-0.35)*100=535件。模型假設(shè)：需求D服從正態(tài)分布N(500,1002)，需求是隨機的，提前期固定，不允許缺貨（通過補充庫存滿足），每次訂購成本和單位成本固定，殘值（處理價）固定，只考慮一次訂貨周期內(nèi)的成本。推導(dǎo)過程：基于庫存模型總成本最小化的原則，分別計算在最優(yōu)訂貨量Q下，因缺貨而損失的期望收益和因積壓而損失的期望成本，兩者之和加上固定進貨成本，構(gòu)成總成本函數(shù)。通過對總成本函數(shù)求導(dǎo)找到成本最小的Q值。利用正態(tài)分布的累積分布函數(shù)（CDF）性質(zhì)進行求解。五、擴展形博弈表示方法設(shè)計：1.節(jié)點：包括決策節(jié)點（方框）和信息集（虛線圓圈）。2.行動集：A有{L,R}，B有{U,D}（根據(jù)A的選擇而定），C有{接受,拒絕}（根據(jù)AB的行動組合而定）。3.信息集：B的決策節(jié)點構(gòu)成一個信息集，因為B在決策時不知道A選擇了L還是R。C的決策節(jié)點構(gòu)成一個或多個信息集，取決于AB的行動組合是否能被C明確區(qū)分（即是否存在不確定信息）。表示方法（簡化示意）：*第一個決策節(jié)點是A，有兩個分支L和R。*從A的L分支出發(fā)，連接到B的決策節(jié)點（信息集）。B有兩個選擇U和D。*從A的R分支出發(fā)，連接到另一個B的決策節(jié)點（信息集）。B也有兩個選擇U和D。*從每個B的決策節(jié)點出發(fā)，根據(jù)AB的行動組合（如(L,U),(L,D),(R,U),(R,D)），連接到C的決策節(jié)點（可能構(gòu)成信息集）。C有兩個選擇：接受或拒絕。*在每個終端節(jié)點（AB行動組合決定，C選擇決定）處，標注對應(yīng)的三人支付向量(A的支付,B的支付,C的支付)。子博弈完美納什均衡分析：從博弈的最后一個決策者（C）開始分析，給定前兩個決策者的行動，C會選擇能最大化自身支付的行動。然后逆向歸納到B，B在給定A行動的情況下選擇能最大化自身支付的行動。最后歸納到A，A選擇能最大化自身支付的行動。找到的均衡路徑就是子博弈完美納什均衡。解析思路：擴展形博弈是表示不完全信息或序貫博弈的標準工具。關(guān)鍵在于正確標示決策節(jié)點、行動、信息集（不確定性所在）以及每個終端節(jié)點的支付。子博弈完美納什均衡要求在每個信息集上選擇的是在該信息集下博弈的納什均衡，且均衡路徑始于原點。逆向歸納法是求解此類均衡的常用方法。六、最優(yōu)決策分析：1.不進行調(diào)研：*選擇A：期望收益=0.7*20億+0.3*(-5億)=11億。*選擇B：期望收益=0.4*150億+0.6*(-20億)=44億。*選擇C：期望收益=0。*不進行調(diào)研的最優(yōu)決策是選擇策略B。2.進行調(diào)研：*調(diào)研結(jié)果預(yù)測成功（P=0.9）：*選擇A：期望收益=0.95*20億+0.05*(-5億)=18.75億。*選擇B：期望收益=0.95*150億+0.05*(-20億)=139億。*最優(yōu)決策是選擇策略B。收益=139億-1000萬=138.9億。*調(diào)研結(jié)果預(yù)測失?。≒=0.1）：*選擇A：期望收益=0.15*20億+0.85*(-5億)=-2億。*選擇B：期望收益=0.15*150億+0.85*(-20億)=1.25億。*最優(yōu)決策是選擇策略B。收益=1.25億-1000萬=0.25億。*調(diào)研期望收益=0.9*138.9億+0.1*0.25億=124.31億。3.比較總期望收益：*不調(diào)研最優(yōu)策略的期望收益=44億。*調(diào)研的期望收益=124.31億。*124.31億>44億+1000萬。結(jié)論：最優(yōu)決策規(guī)則是進行市場調(diào)研。如果調(diào)研預(yù)測成功，則選擇策略B；如果調(diào)研預(yù)測失敗，則選擇策略B?？偲谕找孀罡摺＝馕鏊悸罚罕締栴}涉及包含不確定性信息的決策，是典型的決策分析問題。首先計算不進行調(diào)研時，各策略的期望值，選擇期望值最大的策略B。然后計算進行調(diào)研時的期望值。調(diào)研提供了新的信息，改變了各策略的期望值。需要分別計算在“預(yù)測成功”和“預(yù)測失敗”兩種信息下的最優(yōu)策略及其期望收益。最后比較“進行調(diào)研”的總期望收益與“不進行調(diào)研”的最優(yōu)期望收益，根據(jù)期望值準則做出最終決策。調(diào)研本身有成本（1000萬），但提高了最終決策的期望收益。七、D?分布參數(shù)推導(dǎo)：D?=1.2D。若D~N(μ,σ2)，則D?~N(1.2μ,(1.2)2σ2)=N(1.2μ,1.44σ2)。D?的均值E[D?]=1.2*1000=1200。D?的標準差SD[D?]=sqrt(1.44)*200=1.2*200=240。所以，D?近似服從正態(tài)分布N(1200,2402)。庫存管理策略設(shè)計：方法一（近似確定性模型）：假設(shè)總需求D近似為N(1200,2402)。供應(yīng)鏈總需求是D?。設(shè)制造商生產(chǎn)Q件，則分銷商最終需求D?。為避免缺貨，制造商應(yīng)按D?的均值需求生產(chǎn)。安全庫存計算：為應(yīng)對從制造商到分銷商的運輸時間（假設(shè)已知，設(shè)為T天）和此期間的需求波動，需要安全庫存。假設(shè)運輸時間T=1天。需求在T天內(nèi)波動近似為N(1200T,2402T)=N(1200,2402)。安全庫存=z*σ_D?*sqrt(T)=z*240*sqrt(1)=240z，其中z是安全系數(shù)（對應(yīng)目標服務(wù)水平，如95%服務(wù)水平的z約1.65）?？値齑?均值需求+安全庫存=Q=1200+240z。制造商生產(chǎn)成本=50Q。分銷商缺貨成本=20*期望缺貨量。期望缺貨量近似為σ_D?*(1-Φ(z))，其中Φ(z)是標準正態(tài)CDF?？偝杀窘?制造商成本+分銷商缺貨成本=50Q+20*(240*(1-Φ(z)))。將Q=1200+240z代入，最小化此總成本可確定最優(yōu)Q