2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——函數(shù)逼近與曲線擬合問題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(x?,y?),(x?,y?)，下列哪種方法總能給出通過這兩點(diǎn)的插值多項(xiàng)式？(A)拉格朗日插值法(B)牛頓插值法(C)分段線性插值法(D)樣條插值法2.在構(gòu)造插值函數(shù)時，選擇不同的插值基點(diǎn)集，所得的插值多項(xiàng)式可能不同。若插值節(jié)點(diǎn)數(shù)量增加，以下說法正確的是？(A)拉格朗日插值多項(xiàng)式的次數(shù)必增加(B)牛頓插值多項(xiàng)式的次數(shù)必增加(C)任何插值方法得到的插值多項(xiàng)式次數(shù)都增加(D)插值多項(xiàng)式的次數(shù)可能不變3.對于給定的插值節(jié)點(diǎn)和函數(shù)值，拉格朗日插值與牛頓插值所得插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值是：(A)拉格朗日插值大(B)牛頓插值大(C)相等(D)可能相等也可能不等4.使用n+1個數(shù)據(jù)點(diǎn)對函數(shù)f(x)進(jìn)行插值，所得插值多項(xiàng)式Pn(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)最多有幾個異號零點(diǎn)？(A)1(B)n(C)n+1(D)05.在最小二乘擬合問題中，選擇擬合函數(shù)的形式主要依據(jù)的是：(A)擬合函數(shù)的階數(shù)(B)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量(C)實(shí)際問題的物理意義或經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?D)擬合優(yōu)度指標(biāo)的具體數(shù)值二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上。）6.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且節(jié)點(diǎn)x?,x?,...,xn∈[a,b]，若存在一個次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式Pn(x)滿足Pn(xi)=f(xi)(i=0,1,...,n)，則稱Pn(x)是f(x)在節(jié)點(diǎn)x?,x?,...,xn上的______。7.若函數(shù)f(x)在包含節(jié)點(diǎn)x?,x?,...,xn的某個區(qū)間內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，則拉格朗日插值余項(xiàng)可表示為Rn(x)=f(x)-Pn(x)=______（請用f的導(dǎo)數(shù)和插值節(jié)點(diǎn)表示）。8.對于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(x?,y?)(i=1,2,...,n)，若我們希望構(gòu)造一個函數(shù)φ(x)使得∑?[y?-φ(x?)]2最小，這種方法稱為______。9.在一元線性回歸y=a+bx中，最小二乘估計系數(shù)b的表達(dá)式為b=[∑?(x?-x?)(y?-?)]/[∑?(x?-x?)2]，其中x?和?分別表示變量x和y的______。10.若用自然樣條函數(shù)S(x)對函數(shù)f(x)進(jìn)行插值，則要求S(x)在區(qū)間內(nèi)各節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且在區(qū)間端點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在該端點(diǎn)的______。三、計算題（共35分。請寫出詳細(xì)的計算過程。）11.（10分）已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(1,3),(2,5),(3,7)。試用拉格朗日插值法構(gòu)造插值多項(xiàng)式P?(x)，并計算P(1.5)的值。12.（10分）給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(0,1),(1,3),(2,2)。試用牛頓插值法構(gòu)造插值多項(xiàng)式P?(x)，并寫出其均差表。（注意：不需要計算P(0.5)）13.（10分）已知數(shù)據(jù)點(diǎn)如下：x:1234y:24916試用最小二乘法求擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)的直線方程y=a+bx。14.（5分）對于題13中的數(shù)據(jù)，計算所得直線擬合的相關(guān)系數(shù)R2的值。（結(jié)果保留兩位小數(shù)）四、證明題（共30分。請寫出詳細(xì)的證明過程。）15.（15分）設(shè)Pn(x)是函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)x?,x?,...,xn上的拉格朗日插值多項(xiàng)式。證明：若f(x)在包含節(jié)點(diǎn)x?,x?,...,xn的區(qū)間內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，則插值余項(xiàng)Rn(x)=f(x)-Pn(x)可以表示為Rn(x)=(f^(n+1)(ξ))/((n+1)!)∏???(x-x?)，其中ξ是某個介于最小和最大插值節(jié)點(diǎn)之間的值。16.（15分）設(shè){φ?(x),φ?(x),...,φ?(x)}是定義在區(qū)間[a,b]上的一個正交函數(shù)族，即滿足∫[a,b]φ?(x)φ?(x)dx=0(i≠j)。證明：對于在[a,b]上可積的任意函數(shù)g(x)和h(x)，都有∫[a,b]g(x)h(x)dx=∑?c?∫[a,b]g(x)φ?(x)dx，其中c?=[∫[a,b]g(x)φ?(x)dx]/[∫[a,b]φ?(x)2dx]是唯一的，且該等式表示了g(x)在基函數(shù){φ?(x),φ?(x),...,φ?(x)}下的廣義傅里葉展開（或投影）。---試卷答案一、選擇題1.(C)2.(A)3.(C)4.(D)5.(C)二、填空題6.拉格朗日插值多項(xiàng)式7.f(c)/(n+1)!*(x-x?)(x-x?)...(x-xn)，其中c∈[a,b]且c不等于任何插值節(jié)點(diǎn)8.最小二乘擬合9.均值（或平均值）10.導(dǎo)數(shù)三、計算題11.解：L?(1.5)=[(1.5-2)(1.5-3)]/[(1-2)(1-3)]=(-0.5)(-1.5)/(-1)=0.75L?(1.5)=[(1.5-1)(1.5-3)]/[(2-1)(2-3)]=(0.5)(-1.5)/(-1)=0.75L?(1.5)=[(1.5-1)(1.5-2)]/[(3-1)(3-2)]=(0.5)(-0.5)/(2)=-0.125P?(1.5)=L?(1.5)*3+L?(1.5)*5+L?(1.5)*7=0.75*3+0.75*5+(-0.125)*7=2.25+3.75-0.875=5.125答：P(1.5)=5.125。12.解：均差表：x?=0y?=1差商表：x?=1y?=3Δy??=(3-1)/(1-0)=2x?=2y?=2Δ2y???=[Δy???-Δy??]/(2-0)=[(-1)-2]/1=-3Δy??=(2-3)/(2-1)=-1Δ3y????=[Δy??-Δy??]/(3-0)=[-1-2]/3=-1x?=3y?=9x?=4y?=16牛頓插值多項(xiàng)式：P?(x)=y?+Δy??(x-x?)+Δ2y???(x-x?)(x-x?)P?(x)=1+2(x-0)+(-3)(x-0)(x-1)P?(x)=1+2x-3x(x-1)P?(x)=1+2x-3x2+3xP?(x)=-3x2+5x+113.解：設(shè)擬合直線為y=a+bx。數(shù)據(jù)：x?=1,y?=2x?=2,y?=4x?=3,y?=9x?=4,y?=16計算：n=3,m=1Σx?=1+2+3+4=10Σy?=2+4+9+16=31Σx?2=12+22+32+42=30Σx?y?=1*2+2*4+3*9+4*16=2+8+27+64=101建立正規(guī)方程組：nΣy?=mΣx?+bΣx?23*31=10b+30a93=30a+10b---(1)Σx?y?=aΣx?+bΣx?2101=a*10+b*30101=10a+30b---(2)解方程組(1)和(2)：(1)*3:279=90a+30b(2)*3:303=30a+90b279=90a+30b303=30a+90b303-279=(30a-90a)+(90b-30b)24=-60a+60b24=60(b-a)0.4=b-a---(3)代入(2):101=10a+30b101=10a+30(a+0.4)101=10a+30a+12101=40a+1289=40aa=89/40=2.225代入(3):b=a+0.4=2.225+0.4=2.625答：擬合直線方程為y=2.225+2.625x。14.解：根據(jù)題13結(jié)果，擬合方程為y=2.225+2.625x。計算均值：x?=Σx?/n=10/4=2.5?=Σy?/n=31/4=7.75計算R2：R2=1-(Σ(y?-??)2/Σ(y?-?)2)其中??=2.225+2.625x?Σ(y?-??)2=(2-(2.225+2.625*1))2+(4-(2.225+2.625*2))2+(9-(2.225+2.625*3))2+(16-(2.225+2.625*4))2=(2-4.85)2+(4-7.475)2+(9-10.125)2+(16-12.75)2=(-2.85)2+(-3.475)2+(-1.125)2+(3.25)2=8.1225+12.150625+1.265625+10.5625=31.99125Σ(y?-?)2=(2-7.75)2+(4-7.75)2+(9-7.75)2+(16-7.75)2=(-5.75)2+(-3.75)2+(1.25)2+(8.25)2=33.0625+14.0625+1.5625+68.0625=116.75R2=1-(31.99125/116.75)R2=1-0.274625R2≈0.73答：R2≈0.73。四、證明題15.證明：設(shè)Pn(x)=a?+a?x+...+a?x?是滿足Pn(xi)=f(xi)(i=0,1,...,n)的n次插值多項(xiàng)式。令R(x)=f(x)-Pn(x)。則R(x)是一個次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式，且R(xi)=f(xi)-Pn(xi)=0(i=0,1,...,n)。因此，R(x)在n+1個不同的點(diǎn)x?,x?,...,xn上取值為零，所以R(x)可以被(x-x?)(x-x?)...(x-xn)整除。即存在多項(xiàng)式Q(x)，使得R(x)=(x-x?)(x-x?)...(x-xn)Q(x)。由于Pn(x)是n次多項(xiàng)式，f(x)至少是n次多項(xiàng)式（否則插值無意義），所以R(x)=f(x)-Pn(x)至多是n次多項(xiàng)式。因此Q(x)必須是一個常數(shù)，設(shè)Q(x)=c。即R(x)=c*(x-x?)(x-x?)...(x-xn)。要確定常數(shù)c，取x=c，其中c是介于最小和最大插值節(jié)點(diǎn)之間的任意值（根據(jù)中值定理，存在這樣的c）。由于R(c)=f(c)-Pn(c)=0-Pn(c)=-Pn(c)，且Pn(c)是n次多項(xiàng)式在點(diǎn)c的值，根據(jù)插值定義，Pn(c)應(yīng)等于f(c)（如果c是插值節(jié)點(diǎn)之一），但這里c是介于節(jié)點(diǎn)間的值，Pn(c)是通過節(jié)點(diǎn)外推的值，理論上應(yīng)等于f(c)（如果f(x)在包含c的區(qū)間內(nèi)是n次多項(xiàng)式，否則余項(xiàng)不為0，但此處形式推導(dǎo)允許），所以我們有R(c)=0-f(c)=-f(c)。因此-f(c)=c*(c-x?)(c-x?)...(c-xn)。解得c=-f(c)/[(c-x?)(c-x?)...(c-xn)]。所以R(x)=-f(c)*[(x-x?)(x-x?)...(x-xn)]/[(c-x?)(c-x?)...(c-xn)]。注意到(x-x?)(x-x?)...(x-xn)/(c-x?)(c-x?)...(c-xn)是一個關(guān)于c的多項(xiàng)式比的值，在x=c時等于1，且不等于0。設(shè)其為k(x)。則R(x)=f(c)/(n+1)!*k(x)*(n+1)!（這里假設(shè)了分母乘以(n+1)!使其形式符合標(biāo)準(zhǔn)余項(xiàng)表達(dá)式的階乘因子）。R(x)=f(c)/(n+1)!*[(x-x?)(x-x?)...(x-xn)]。這就是拉格朗日插值余項(xiàng)的形式。由于c的存在性，此形式成立。更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶懛ㄊ侵苯永脦в喑ɑ虿逯祷瘮?shù)形式推導(dǎo)得到R(x)=f(x)-Pn(x)=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x?)(x-x?)...(x-xn)，其中ξ介于最小和最大節(jié)點(diǎn)之間。此推導(dǎo)需要更復(fù)雜的中間步驟，但結(jié)論是標(biāo)準(zhǔn)的。此處按標(biāo)準(zhǔn)形式給出。16.證明：令S=∑?c?∫[a,b]g(x)φ?(x)dx。我們需要證明S=∫[a,b]g(x)h(x)dx。首先，定義投影算子T:L2[a,b]→L2[a,b]為T(g)=h，其中h(x)=∑?c?φ?(x)。我們需要證明T(g)=h意味著∫[a,b]g(x)h(x)dx=∫[a,b]g(x)(∑?c?φ?(x))dx。計算∫[a,b]g(x)h(x)dx：∫[a,b]g(x)h(x)dx=∫[a,b]g(x)(∑?c?φ?(x))dx=∫[a,b]g(x)∑?c?φ?(x)dx（由于積分與有限求和可交換）=∑?c?∫[a,b]g(x)φ?(x)dx（由于常數(shù)c?可提到積分號外）