專題07解三角形和復(fù)數(shù)

目錄

明晰學(xué)考要求................................................................................................................................................................1

基礎(chǔ)知識(shí)梳理................................................................................................................................................................1

考點(diǎn)精講講練................................................................................................................................................................4

考點(diǎn)一：正弦定理解三角形................................................................................................................................4

考點(diǎn)二：余弦定理解三角形................................................................................................................................7

考點(diǎn)三：三角形的面積公式..............................................................................................................................10

考點(diǎn)四：正余弦定理的大題綜合......................................................................................................................12

考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的概念及分類..............................................................................................................................16

考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算..................................................................................................................................18

考點(diǎn)七：復(fù)數(shù)的幾何意義..................................................................................................................................20

考點(diǎn)八：求復(fù)數(shù)的模..........................................................................................................................................22

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練..............................................................................................................................................................24

明晰學(xué)考要求

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；

2、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題；

3、理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義;

4、掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加法、減法運(yùn)算的幾何意義,

基礎(chǔ)知識(shí)梳理

一、正弦定理

1.正弦定理的內(nèi)容

在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，則

定理正弦定理

abc

公式==2R，其中R為△ABC的外接圓的半徑.

sinAsinBsinC

常見變形①a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；

abc

②sinA,sinB,sinC；

2R2R2R

③a:b:csinA:sinB:sinC；

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角；

解三角形問題

②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角．

角邊關(guān)系A(chǔ)BabsinAsinB

2.三角形的面積公式

設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角分別為A，B，C，其面積為S.

1

①Sah(h為BC邊上的高)；

2

111

②SbcsinAacsinBabsinC；

222

二、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，則

定理余弦定理

a2b2c22bccosA,

公式b2a2c22accosB.

c2a2b22abcosC.

b2c2a2c2a2b2

常見變形cosAcosBa2b2c2

2bc，2ca，cosC

2ab

①已知三邊，求三個(gè)角；

解三角形問題

②已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩角．

c2a2＋b2C為直角；

余弦定理與勾

c2a2＋b2?C為鈍角；

股定理的關(guān)系

c2a2＋b2?C為銳角.

三、三角形中常用結(jié)論?

1.兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊：abc,bca,acb

2.大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊：ABabsinAsinB

3.ABC，故有①sinABsinC；②cosABcosC；

ABCABC

③tanABtanC；④sincos,⑤cossin

2222

四、復(fù)數(shù)的定義及其分類

1.定義：形如zabi(a,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a稱為z的實(shí)部，b稱為z的虛部(i為虛數(shù)單位)．規(guī)

定i21

2.復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)的分類zabi(a,bR)充要條件集合表示

實(shí)數(shù)b0

虛數(shù)b0

純虛數(shù)a0且b0

3.復(fù)數(shù)相等

在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,dR)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等的充要條件是ac且

bd

五、復(fù)平面

1.定義：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，推廣到復(fù)數(shù)，每一個(gè)復(fù)數(shù)abia,bR都與平面直角坐標(biāo)系上的

點(diǎn)a,b一一對(duì)應(yīng)，將這個(gè)平面稱為復(fù)平面.橫坐標(biāo)代表復(fù)數(shù)的實(shí)部，縱坐標(biāo)代表復(fù)數(shù)的虛部，橫軸稱為實(shí)

軸，縱軸稱為虛軸.

2．復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模

①復(fù)數(shù)的幾何意義：

uuur

②復(fù)數(shù)的模：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)zabi(a,bR)的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|a2b2

六、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè)＋，＋是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)

1.z1abiz2cdi

運(yùn)算計(jì)算公式

加法z1z2(ac)(bd)i

減法z1z2(ac)(bd)i

乘法2

z1z2(abi)(cdi)acadibcibdi(acbd)(adbc)i

zabi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i

1

除法22

z2cdi(cdi)(cdi)cd

2．復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算律，乘法運(yùn)算律

對(duì)于任意,,，有

z1z2z3C

交換律

z1z2z2z1

加法運(yùn)算律

結(jié)合律

(z1z2)z3z1(z2z3)

=

交換律z1z2z2z1

乘法運(yùn)算律結(jié)合律z1z2z3z1z2z3

＋＋

乘法對(duì)加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3

3．共軛復(fù)數(shù)

1.定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).

2.表示：z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即若z=a＋bi(a,bR)，則zabi

考點(diǎn)精講講練

考點(diǎn)一：正弦定理解三角形

（1）已知兩角一邊解三角形：①若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí),可由正弦定理求另一角所對(duì)的邊,再由三角形

內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；②若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí),先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,再由正弦

定理求另外兩邊；

（2）已知兩邊一角解三角形：①首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值；②如果已知的角為大邊所對(duì)的

角時(shí),由三角形中大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,由正弦值可求銳角唯一；③如

果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí),則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角,要分類討論.

【典型例題】

例1．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若b2，c2，

C45，則A（）

A．60B．75C．105D．120

【答案】C

bc22

【詳解】由正弦定理得，即，

sinBsinCsinBsin45

1

解得sinB，

2

又B0,135，故B30，所以A1804530105.

故選：C

例2．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b3，c2，

B60，則cosC=（）

6321

A．B．C．D．

3333

【答案】A

323

【詳解】由正弦定理可得，故sinC，

sin60sinC3

6

因?yàn)閎c，故BC，故C為銳角，故cosC，

3

故選：A.

例3．（2021高二上·新疆·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，已知A45，B60，AC63，則BC（）

A．26B．46C．22D．62

【答案】D

ACBC

【詳解】由正弦定理，可得，

sinBsinA

2

ACsinA63sin4563

BC262.

sinBsin603

2

故選：D.

11

例4．（2024高二下·云南·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若a1,sinA,sinB，

63

則b（）

A．6B．4C．3D．2

【答案】D

ab

【詳解】由正弦定理得，，

sinAsinB

1b

得11，得b2，

63

故選：D

【即時(shí)演練】

1．在VABC中，已知a3，b2，A60，則角B的值為（）

A．45或135B．45C．135D．30o或150

【答案】B

ab322

【詳解】，，sinB，

sinAsinBsin60sinB2

又0B180，且ba，

BA，則角B的值為45．

故選：B.

2．在VABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，C30，c5，a8，則cosA（）

3334

A．B．C．-D．

5555

【答案】B

ac85

【詳解】在VABC中，由正弦定理可得，即10，

sinAsinCsinAsin30

41

解得sinA，且不等于0，

52

23

當(dāng)A為銳角時(shí)，cosA1sinA，

5

23

當(dāng)A為鈍角時(shí)，cosA1sinA.

5

3

綜上所述：cosA.

5

故選：B.

3．VABC中，a5，B105，C30，則c．

【答案】52

2

【詳解】A180BC45，

ac

∵，

sinAsinC

5c

∴21，

22

52

∴c

2

故答案為：52

2

π

4．在VABC中內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且A，a1，c3，則cosC．

6

11

【答案】或

22

31

ca

【詳解】在VABC中由正弦定理可知，所以sinCπ，

sinCsinAsin

6

3

解得sinC，因?yàn)镃為VABC的內(nèi)角，

2

所以C60或C120，

11

所以cosC或cosC，

22

11

故答案為：或．

22

考點(diǎn)二：余弦定理解三角形

（1）已知兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形：直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊,再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定

理求其他角.

（2）已知三邊解三角形：已知先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦,從而求出第一個(gè)角;再利用余弦定

理的推論求出第二個(gè)角;最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.

注意:若已知三角形三邊的比例關(guān)系,常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k,從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解.

【典型例題】

例1．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，a1,b2,C60，則c（）

A．3B．5C．7D．3

【答案】A

1

【詳解】由c2a2b22abcosC142123，

2

所以c3.

故選：A

例2．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，AB3,AC2,BC4,D是BC的中點(diǎn)，則AD（）

510

A．B．5C．D．10

22

【答案】C

1

【詳解】由題意知，BDBC2，

2

在VABC中，由余弦定理得

AB2BC2AC23242227

cosB，

2ABBC2348

在△ABD中，由余弦定理得

75

AD2AB2BD22ABBDcosB3222232，

82

10

由AD0，得AD.

2

故選：C

例3．（2023高三上·廣西·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a1，b2，

2

cosC，則c．

2

【答案】1

2

【詳解】c2a2b22abcosC122121,

2

故答案為：1.

例4．（2020高二下·山東·學(xué)業(yè)考試）在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c．若a:b:c4:5:6，則cos2C

的值為．

31

【答案】

32

【詳解】由題意知，在ABC中，a:b:c4:5:6，設(shè)a4k，b5k，c6k，k0，

a2b2c216k225k236k21

由余弦定理得cosC，

2ab245k28

2

2131

所以cos2C2cosC121.

832

31

故答案為：.

32

【即時(shí)演練】

π

1．在VABC中，已知a，b，c三邊分別對(duì)應(yīng)A，B，C三角，a5，b4，C，則c（）

3

A．3B．21C．41D．61

【答案】B

1

【詳解】由余弦定理可得c2a2b22abcosC251625421，

2

c21，

故選:B.

π

2．在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a1,b3,A，則c（）

6

33

A．1B．2C．1或2D．或

42

【答案】C

3

【詳解】由余弦定理可得a2b2c22bccosA,即13c223cc23c20，

2

解得c1或c2，

故選：C

3．長度分別為2，3，4的線段構(gòu)成圖形的形狀為（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不構(gòu)成三角形

【答案】C

【詳解】設(shè)a2,b3,c4，設(shè)其所對(duì)應(yīng)的三個(gè)角分別為A,B,C，

根據(jù)大邊對(duì)大角的結(jié)論知該三角形的最大角為C，

a2b2c249161

由余弦定理得cosC0，

2ab2234

故C為鈍角，三角形形狀為鈍角三角形.

故選：C

4．已知VABC中，AB6,AC4,BC3，則AB中線CM長等于.

141

【答案】/14

22

【詳解】由題意知，

BA2BC2AC23691629

在VABC中，由余弦定理得cosB，

2BABC3636

2914

在BCM中，由余弦定理得CMBM2BC22BMBCcosB9918.

362

故答案為：14

2

考點(diǎn)三：三角形的面積公式

111

一般用公式SbcsinAacsinBabsinC進(jìn)行求解即可

222

【典型例題】

33

例1．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,ABC的面積為，且

4

π

b1,C，則邊c（）

3

A．7B．3C．7D．13

【答案】C

11π333

【詳解】由SabsinCa1sina得a3，

ABC22344

π

由余弦定理得c2a2b22abcosC3212231cos7，所以c7.

3

故選：C.

例2．（2020高三上·河北·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c．若

acbbca4，C60，則VABC的面積是（）

33

A．B．C．3D．23

42

【答案】C

【詳解】解：因?yàn)閍cbbca4，C60，

222

2bac1

所以c2ab4，cosC

2ab2

所以，c2b2a22ab4，b2a2c2ab，

113

所以ab4，SabsinC43.

ABC222

故選：C

例3．（2020高二上·新疆·學(xué)業(yè)考試）VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若A，b1，VABC的

3

3

面積為，則a.

2

【答案】3

13

【詳解】由SbcsinA，解得c2，

ABC22

又a2b2c22bccosA1423，

所以a3

故答案為：3

π

例4．（2023高二·天津·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，若AB3，AC4，CAB，則BC邊上的高為.

6

2212

【答案】/21

77

π

【詳解】在VABC中，若AB3，AC4，CAB，

6

則BCAB2AC22ABACcosCAB7

11

設(shè)BC邊上的高為h，則BChABACsinCAB,

22

ABAC431221

hsinCAB

BC727

故答案為：221

7

【即時(shí)演練】

1．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，VABC的三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1,1，B7,2，C3,7，則VABC的面積為（）

A．120B．60C．30D．15

【答案】C

【詳解】因?yàn)閂ABC的三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1,1，B7,2，C3,7，

所以AB(71)2(21)235，AC(31)2(71)245，

BC(37)2(72)255,

π

因?yàn)锳B2AC2BC2，所以A,

2

11

則直角三角形VABC的面積為ACAB453530，

22

故選：C.

π

2．在VABC中，若a2,B，且VABC的面積為43，則c．

3

【答案】8

π

【詳解】解：因?yàn)閍2,B，且VABC的面積為43，

3

11π

SacsinB2csin43，解得：c8.

ABC223

故答案為：8

3．在ABC中，a2,B，其面積為53，則邊c.

3

【答案】10

11

【詳解】由53acsinB，得532csin，

223

得c10，

故答案為：10

5π

4．VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A,a27，c3b,求VABC的面積.

6

【答案】3

【詳解】

b2c2a25πb2c2283

由余弦定理得cosA，即cos，

2bc62bc2

又c3b,聯(lián)立解得，b2,c23，

111

故ABC的面積為：S△ABCbcsinA2233.

222

考點(diǎn)四：正余弦定理的大題綜合

【典型例題】

π33

例1．（2024高二下·湖北·學(xué)業(yè)考試）VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，面積為S.已知B,S，

32

再從①②兩個(gè)條件中選取一個(gè)作為已知條件，求VABC的周長.

①ac33；②ab63.

注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】333

【詳解】若選擇①ac33，

1333

SacsinBac，得ac6，

242

2

b2a2c22accosBa2c2acac3ac27169，

得b3，所以abc333；

若選擇②ab63，

1331ππ

SabsinC33sinC，得sinC，因?yàn)锽，所以C，

22236

π3

那么AπBC，basinBa，

22

31

aba263，得a23，b3，casinCa3，

22

所以abc333，

所以VABC的周長為333.

例2．（2024高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知在VABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a5，b8，

π

C.

3

(1)求c；

(2)求sinB.

【答案】(1)7

43

(2)

7

π

【詳解】（1）a5，b8，C，由余弦定理可得：

3

1

c2a2b22abcosC256425849，即c7；

2

π

（2）c7，C，b8，由正弦定理可得：

3

bc87

43

sinBsinCsinB3，故sinB.

7

2

3

例3．（2023高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）已知a,b,c分別為VABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，cosA.

5

(1)求sinA的值；

(2)若asinB4，求b的值.

4

【答案】(1)sinA

5

(2)b5

34

【詳解】（1）在VABC中，因?yàn)閏osA，所以sinA1cos2A.

55

ab4b

（2）由正弦定理，a，又asinB4，

sinAsinB5sinB

4b

所以4,b5.

5

例4．（2023高二·云南·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

2π

(1)已知sinA,B,b52，求a的值；

54

1

(2)已知a1,cosA,bc2，求bc的值.

2

【答案】(1)4；

(2)1.

2

52

2πabbsinA

【詳解】（1）在VABC中，sinA,B,b52，由正弦定理，得a54，

π

54sinAsinBsinBsin

4

所以a的值是4.

1

（2）在VABC中，a1,cosA,bc2，由余弦定理a2b2c22bccosA，得b2c2bc1，

2

則有(bc)23bc1，即43bc1，解得bc1，

所以bc的值為1.

【即時(shí)演練】

1．在VABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a3,b1,c7．

(1)求角C的大??；

(2)求sin(AC)的值．

5π

【答案】(1)

6

7

(2)

14

【詳解】（1）a3,b1,c7，

a2b2c23

cosC，

2ab2

5π

C(0,π),C．

6

5πbc

（2）b1,c7,C,，

6sinBsinC

bsinC7

sinB，

c14

ABCπ，

7

sin(AC)sinB．

14

2．已知VABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，a7,b8,c5．

(1)求角A的值；

(2)求sinB的值．

π

【答案】(1)；

3

43

(2).

7

【詳解】（1）由a7,b8,c5，

b2c2a26425491

則cosA，

2bc2852

π

又A0,π，則A；

3

π

（2）由（1）知A，又a7,b8，

3

ab

則由正弦定理知，，即

sinAsinB

3

8

bsinA43.

sinB2

a77

3．在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知a7,c8.

4

(1)若sinC，求角A的大小；

7

(2)若b5，求AC邊上的高.

π

【答案】(1)

6

(2)43

4

ac7

【詳解】（1）由正弦定理，，即asinC71，

sinAsinCsinA

c82

π

因ac，故AC,即A是銳角，故A；

6

（2）

a2b2c24925641

如圖，由余弦定理，cosC，

2ab707

4

知角C是銳角，則sinC1cos2C3，

7

4

作BHAC于點(diǎn)H，在Rt△BCH中，BHasinC7343,

7

即AC邊上的高是43.

2π

4．已知a，b，c分別為VABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，A．

3

(1)若BC，a23，求c；

(2)若VABC的面積為23，c2，求a．

【答案】(1)2

(2)27

2ππ

【詳解】（1）因?yàn)锳，BC，所以BC，

36

ac

由正弦定理，可得c2.

sinAsinC

1

（2）因?yàn)閂ABC的面積為23，所以bcsinA23，

2

2π3

因?yàn)锳，c2，所以b23，解得b4.

32

2π

由余弦定理可得a2164242cos28，即a27.

3

考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的概念及分類

判斷一個(gè)復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或者純虛數(shù),應(yīng)首先保證復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部均有意義.其次根據(jù)分類

的標(biāo)準(zhǔn),列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式再求解.

【典型例題】

例1．（2024高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）已知i為虛數(shù)單位，則下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是（）

A．13iB．5C．3iD．3i

【答案】D

【詳解】由純虛數(shù)的概念：實(shí)部為0，虛部不為0，對(duì)比選項(xiàng)可知，選項(xiàng)中復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是3i.

故選：D.

例2．（2024高二下·湖南婁底·學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)z12i，則z的虛部為（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】D

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z12i，所以z的虛部為2.

故選：D.

例3．（2024高二上·廣東·學(xué)業(yè)考試）若復(fù)數(shù)z35i，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A．5iB．-5C．5D．-5i

【答案】B

【詳解】z35i的虛部為-5.

故選：B

例4．（2023高三·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)z1(m2)i，要讓z為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m為.

【答案】2

【詳解】z為實(shí)數(shù)，則m20，m2．

故答案為：2.

【即時(shí)演練】

1．已知復(fù)數(shù)(2xy)(xy)i的實(shí)部和虛部分別為5和1，則實(shí)數(shù)x和y的值分別是（）

A．2，1B．2，1C．1，2D．1，2

【答案】B

2xy5

【詳解】由復(fù)數(shù)(2xy)(xy)i的實(shí)部和虛部分別為5和1，得，

(xy)1

所以x2,y1.

故選：B

2．已知復(fù)數(shù)za21i（i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)），則“z為純虛數(shù)”是“a1”的（）

A．充分非必要條件B．必要非充分條件

C．充要條件D．既非充分又非必要條件

【答案】B

【詳解】若復(fù)數(shù)za21i為純虛數(shù)，則a210，即a1

所以若z為純虛數(shù)不一定得到a1，故充分性不成立；

由a1一定能得到z為純虛數(shù)，故必要性成立；

故“z為純虛數(shù)”是“a1”的必要非充分條件.

故選：B

3．若復(fù)數(shù)z1ai（i為虛數(shù)單位）的實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為

【答案】1

【詳解】根據(jù)題意可知z1ai的實(shí)部和虛部分別為1,a，所以a1.

故答案為：1

4．已知復(fù)數(shù)za23a4a1iaR是純虛數(shù)，則a.

【答案】4

【詳解】解：復(fù)數(shù)za23a4a1iaR是純虛數(shù)，

a23a40

則，解得a4.

a1