2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在綜合實驗中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x}&x\neq0\\a&x=0\end{cases}$在$x=0$處連續(xù)。求常數(shù)$a$的值，并討論$f(x)$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)是否存在。二、設(shè)函數(shù)$y=y(x)$由方程$2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$確定。求$\frac{dy}{dx}$和$\frac{d^2y}{dx^2}$。三、計算不定積分$\int\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}\,dx$。四、計算定積分$\int_0^1\frac{x\arcsinx}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$。五、求微分方程$y'+y\tanx=\sin2x$的通解。六、計算二重積分$\iint_D\frac{x^2}{y^2}\,dA$，其中區(qū)域$D$由曲線$y=x^2$和$y=\sqrt{x}$圍成。七、求冪級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{n\cdot2^n}$的收斂域。八、將函數(shù)$f(x)=x^2$在區(qū)間$[-1,1]$上展開成余弦級數(shù)。九、某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為$C'(q)=2q+10$（元/件），其中$q$為產(chǎn)量。固定成本為100元。若產(chǎn)品的需求函數(shù)為$p=50-0.02q$（元/件），其中$p$為價格。求該公司生產(chǎn)并銷售150件產(chǎn)品時的總利潤。十、設(shè)向量組$\vec{\alpha}_1=(1,1,1)^T$,$\vec{\alpha}_2=(1,2,3)^T$,$\vec{\alpha}_3=(1,3,t)^T$。(1)當$t$為何值時，向量組線性無關(guān)？(2)當$t=5$時，求向量組$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3$的秩，并求其一個極大無關(guān)組。十一、設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，矩陣$B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$。求矩陣$X$使得$AX=B$。若$X$存在，求出$X$。十二、設(shè)隨機變量$X$的概率密度函數(shù)為$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}&-1\lex\le1\\0&\text{otherwise}\end{cases}$。令隨機變量$Y=X^2$。求隨機變量$Y$的概率密度函數(shù)$f_Y(y)$。十三、設(shè)總體$X$服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu$未知，$\sigma^2$已知為4。從總體中抽取容量為16的簡單隨機樣本，樣本均值為$\bar{X}$。(1)求$\mu$的置信水平為95%的置信區(qū)間。(2)若要使$\mu$的置信水平為95%的置信區(qū)間的長度不超過2，樣本容量$n$至少應(yīng)為多少？試卷答案一、$a=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$。$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sinx}{x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-\sinx}{2}=0$。故$a=1$，$f'(0)$存在且為0。二、方程兩邊對$x$求導(dǎo)，$6y^2y'-4yy'+2xy'+2y-2x=0$。解得$y'=\frac{2x-2y}{6y^2-4y+2x}$。再對$x$求導(dǎo)，$y''=\frac{(2-2y')(6y^2-4y+2x)-(2x-2y)(12yy'-4y'+2)}{(6y^2-4y+2x)^2}$。代入$y'$表達式化簡得到$y''$。三、$\int\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}\,dx=\int\frac{x^2-1+2}{(x^2-1)^2}\,dx=\int\frac{1}{x^2-1}\,dx+2\int\frac{1}{(x^2-1)^2}\,dx$。第一項$\int\frac{1}{x^2-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_1$。第二項令$u=x^2-1$，則$du=2xdx$，$\int\frac{1}{(x^2-1)^2}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^2}\,du=-\frac{1}{2u}+C_2=-\frac{1}{2(x^2-1)}+C_2$。合并結(jié)果。四、令$u=\arcsinx$，則$x=\sinu$，$dx=\cosu\,du$。當$x=0$，$u=0$；當$x=1$，$u=\frac{\pi}{2}$。原式$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}u\sinu\,du$。分部積分，令$v=u$，$dw=\sinu\,du$，則$dv=du$，$w=-\cosu$。積分結(jié)果為$[-u\cosu]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cosu\,du$。五、這是一階線性微分方程，$P(x)=\tanx$，$Q(x)=\sin2x$。通解為$y=e^{-\intP(x)\,dx}\left(\intQ(x)e^{\intP(x)\,dx}\,dx+C\right)=e^{-\ln\cosx}\left(\int\sin2xe^{\ln\cosx}\,dx+C\right)=\frac{1}{\cosx}\left(\int\sin2x\cosx\,dx+C\right)$。利用二倍角公式$\sin2x\cosx=\frac{1}{2}\sin2x\cosx=\frac{1}{2}\sin2x\cosx=\frac{1}{2}\sin2x\cosx=\frac{1}{2}\sin2x\cosx$。六、區(qū)域$D$可表示為$\{(x,y)|0\lex\le1,x^2\ley\le\sqrt{x}\}$。$\iint_D\frac{x^2}{y^2}\,dA=\int_0^1\int_{x^2}^{\sqrt{x}}\frac{x^2}{y^2}\,dy\,dx$。內(nèi)積分$\int_{x^2}^{\sqrt{x}}\frac{x^2}{y^2}\,dy=x^2\left[-\frac{1}{y}\right]_{x^2}^{\sqrt{x}}=x^2\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}\right)$。外積分$\int_0^1\left(-x^{3/2}+1\right)\,dx$。七、令$u=x-3$，則級數(shù)變?yōu)?\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u^n}{n\cdot2^n}$。收斂半徑$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}\cdot\frac{n2^n}{1}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2(n+1)}=\frac{1}{2}$。當$x-3=\pm\frac{1}{2}$，即$x=\frac{7}{2}$或$x=\frac{5}{2}$時，級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\pm\frac{1}{2})^n}{n\cdot2^n}=\pm\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$，收斂。故收斂域為$[\frac{5}{2},\frac{7}{2}]$。八、對$f(x)=x^2$進行奇延拓，使$f(x)=-x^2$在$[-1,1]$上。此時$f(x)$為奇函數(shù)。展開式$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sinnx$。系數(shù)$b_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\sin\frac{n\pix}{l}\,dx=2\int_{0}^{1}x^2\sinnx\,dx$。利用分部積分求$b_n$。由于$f(x)$為奇函數(shù)，展開式僅含正弦項。最終展開式為$S(x)=2\left(-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}n}{n^2}\sinnx\right)$。九、總成本函數(shù)$C(q)=\intC'(q)\,dq+C_0=\int(2q+10)\,dq+100=q^2+10q+100$。當$q=150$時，總成本$C(150)=150^2+10\times150+100$?？偸杖牒瘮?shù)$R(q)=p\cdotq=(50-0.02q)q=50q-0.02q^2$。當$q=150$時，總收入$R(150)=50\times150-0.02\times150^2$?？偫麧?L(q)=R(q)-C(q)$。故總利潤$L(150)=R(150)-C(150)$。十、(1)令$\vec{A}=(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3)$。計算行列式$\det\vec{A}=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{vmatrix}=(2-3)(1-t)-(1-3)=-1(t-1)+2=3-t$。當$\det\vec{A}\neq0$，即$t\neq3$時，向量組線性無關(guān)。(2)當$t=5$時，$\vec{A}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&5\end{pmatrix}$。對$\vec{A}$進行行變換化為行階梯形矩陣$\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}$。秩為2。非零行對應(yīng)的向量$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2$線性無關(guān)，故為一個極大無關(guān)組。十一、設(shè)$X=\begin{pmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{pmatrix}$。$AX=B$即$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$。得方程組$\begin{cases}x_1+2x_3=0\\x_2+2x_4=1\\3x_1+4x_3=-1\\3x_2+4x_4=0\end{cases}$。解此線性方程組。將矩陣$A$化為行最簡形$\begin{pmatrix}1&0&-\frac{4}{5}&\frac{2}{5}\\0&1&\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{pmatrix}$。得$x_1=-\frac{4}{5}x_3+\frac{2}{5}x_4$，$x_2=\frac{3}{5}x_3-\frac{1}{5}x_4$。令$x_3=k_1$，$x_4=k_2$，則$X=k_1\begin{pmatrix}-\frac{4}{5}\\\frac{3}{5}\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}\\0\\1\end{pmatrix}$。$X$不存在唯一解。十二、$Y=X^2$的值域為$[0,1]$。當$0\ley\le1$時，$Y=y$對應(yīng)的$X$有兩個值$\pm\sqrt{y}$。$f_Y(y)=P(Y=y)=P(X^2=y)=P(X=\sqrt{y})+P(X=-\sqrt{y})$。由于$X$的密度為$\frac{1}{2}$，在$[-1,1]$上均勻，$P(X=\sqrt{y})=\frac9xl975v{dy}P(0\leX\le\sqrt{y})=\fracdpjvd77{dy}\int_0^{\sqrt{y}}\frac{1}{2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{4\sqrt{y}}$。同理$P(X=-\sqrt{y})=\frac{1}{4\sqrt{y}}$。故$f_Y(y)=\frac{1}{4\sqrt{y}}+\frac{1}{4\sqrt{y}}=\frac{1}{2\sqrt{y}}$。當$y<0$或$y>1$時，$f_Y(y)=0