2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在智能旅游中的作用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.請(qǐng)將所有答案寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.字跡工整，卷面整潔。3.本試卷共分為五個(gè)大題，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘。一、填空題（每空3分，共15分）1.設(shè)某景區(qū)游客數(shù)量在時(shí)間t的變化率與當(dāng)前游客數(shù)量成正比，比例常數(shù)為k（k>0），則游客數(shù)量關(guān)于時(shí)間的微分方程模型為________。2.在智能旅游推薦系統(tǒng)中，協(xié)同過濾算法常利用用戶-物品評(píng)分矩陣，該矩陣可表示為一個(gè)________矩陣。3.若要分析游客滿意度（Y）與年齡（X1）、停留時(shí)間（X2）之間的關(guān)系，可采用________分析方法。4.若智能酒店房間定價(jià)隨入住人數(shù)增加而線性下降，可用________模型描述房間平均價(jià)格（P）與入住人數(shù)（N）的關(guān)系。5.對(duì)一組旅游收入數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述，常用的集中趨勢(shì)指標(biāo)有平均值、中位數(shù)和________。二、簡(jiǎn)答題（每題5分，共10分）1.簡(jiǎn)述概率論中的正態(tài)分布如何可以用于模擬智能旅游場(chǎng)景中的游客到達(dá)時(shí)間分布或消費(fèi)金額分布。2.簡(jiǎn)述線性規(guī)劃模型在智能旅游中優(yōu)化景區(qū)門票收入或交通資源配置時(shí)可能遇到的主要約束條件。三、建模與應(yīng)用題（第1題10分，第2題15分，共25分）1.某智慧景區(qū)為提升游客體驗(yàn)，希望優(yōu)化景區(qū)內(nèi)電瓶車的調(diào)度。假設(shè)景區(qū)有M個(gè)固定景點(diǎn)，游客從任意景點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)任意其他景點(diǎn)的平均時(shí)間（單程）已知，且游客從景點(diǎn)i到達(dá)景點(diǎn)j的平均時(shí)間為t_ij。試建立數(shù)學(xué)模型，確定在保證游客等待時(shí)間最短的前提下，電瓶車在景點(diǎn)間的合理調(diào)度方案（如車輛數(shù)、運(yùn)行路線等）應(yīng)滿足的基本要求，并說明涉及的主要數(shù)學(xué)概念或方法。2.某在線旅游平臺(tái)收集了用戶對(duì)酒店的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)，包括多個(gè)維度（如清潔度、服務(wù)態(tài)度、地理位置、性價(jià)比等）的評(píng)分?，F(xiàn)假設(shè)有3個(gè)用戶（U1,U2,U3）對(duì)4個(gè)酒店（H1,H2,H3,H4）的評(píng)分矩陣如下所示（評(píng)分范圍為1到5）：||H1|H2|H3|H4||-------|----|----|----|----||U1|4|3|5|2||U2|2|5|3|4||U3|5|2|4|5|假設(shè)平臺(tái)想利用此數(shù)據(jù)為用戶U1推薦一個(gè)評(píng)分最高的酒店，請(qǐng)分別解釋使用以下哪種方法進(jìn)行推薦，并簡(jiǎn)述其數(shù)學(xué)原理：(1)基于物品的協(xié)同過濾（相似酒店推薦）；(2)基于用戶的協(xié)同過濾（相似用戶推薦）。（無需進(jìn)行具體計(jì)算，只需說明原理和方法選擇依據(jù)）四、綜合分析題（10分）試論述數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析在提升智能旅游服務(wù)質(zhì)量方面的各自作用和相互關(guān)系。請(qǐng)結(jié)合智能旅游的具體場(chǎng)景（如個(gè)性化推薦、風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警、資源優(yōu)化等）進(jìn)行闡述。五、計(jì)算題（每題10分，共20分）1.某城市旅游收入Y（單位：億元）關(guān)于時(shí)間t（單位：年）的變化率近似滿足微分方程dY/dt=0.1Y-2，且初始時(shí)（t=0）旅游收入為Y(0)=10億元。求該城市旅游收入的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)(t)。2.已知智能旅游中游客到達(dá)某景區(qū)的服務(wù)臺(tái)的平均速率為每小時(shí)20人（λ=20），服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)速率為每小時(shí)25人（μ=25），且服務(wù)臺(tái)對(duì)每個(gè)游客的服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。試計(jì)算：（1）服務(wù)臺(tái)空閑的概率；（2）系統(tǒng)中平均有多少游客在等待服務(wù)。---試卷答案一、填空題（每空3分，共15分）1.dY/dt=kY2.三維3.回歸4.線性回歸5.極差二、簡(jiǎn)答題（每題5分，共10分）1.解析思路：正態(tài)分布具有鐘形曲線、對(duì)稱性、均值中位數(shù)相等等特點(diǎn)。在智能旅游中，游客的到達(dá)時(shí)間、消費(fèi)金額等往往受到多種微小、獨(dú)立隨機(jī)因素的影響，這些因素疊加的結(jié)果常常近似服從正態(tài)分布。例如，游客到達(dá)某一景區(qū)的時(shí)間可能受到交通狀況、個(gè)人興趣、天氣等多種因素影響，呈現(xiàn)出正態(tài)分布的特征。同樣，游客在酒店或景區(qū)內(nèi)的消費(fèi)金額也可能由多個(gè)隨機(jī)決策因素決定，符合正態(tài)分布的假設(shè)，便于進(jìn)行概率計(jì)算和模型建立。2.解析思路：線性規(guī)劃用于在資源有限的情況下，尋求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。在智能旅游中優(yōu)化門票收入或交通資源，主要目標(biāo)函數(shù)可以是總收入最大化或總成本最小化。約束條件通常包括：*資源限制：如電瓶車總數(shù)、司機(jī)數(shù)量、景區(qū)承載量、道路容量、可用房間數(shù)等。*邏輯限制：如車輛必須從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)目的地；酒店定價(jià)需符合市場(chǎng)范圍等。*服務(wù)質(zhì)量限制：如等待時(shí)間不能超過某個(gè)閾值，線路運(yùn)行時(shí)間有上限等。*非負(fù)限制：如門票價(jià)格、車輛數(shù)、資源使用量等不能為負(fù)。三、建模與應(yīng)用題（第1題10分，第2題15分，共25分）1.解析思路：此題考查線性規(guī)劃或排隊(duì)論基礎(chǔ)在資源調(diào)度中的應(yīng)用。*建立數(shù)學(xué)模型：需要定義決策變量（如各景點(diǎn)分配的電瓶車數(shù)量、車輛運(yùn)行路線等）、確定目標(biāo)函數(shù)（如最小化游客總等待時(shí)間或電瓶車空閑時(shí)間）以及列出約束條件（如各景點(diǎn)電瓶車總數(shù)、車輛行駛時(shí)間、載客能力、充電需求等）。根據(jù)題意，“保證游客等待時(shí)間最短”暗示目標(biāo)可能是最小化等待隊(duì)列長度或相關(guān)時(shí)間指標(biāo)。調(diào)度方案涉及車輛數(shù)和路線，通常用線性規(guī)劃或圖論中的路徑優(yōu)化問題來描述。例如，可以將景點(diǎn)看作圖中的節(jié)點(diǎn)，行駛時(shí)間看作邊的權(quán)重，問題轉(zhuǎn)化為在滿足車輛總數(shù)和載重等約束下，尋找總權(quán)重（時(shí)間）最小的路徑或網(wǎng)絡(luò)流。*主要概念/方法：可能涉及線性規(guī)劃（目標(biāo)函數(shù)、約束條件）、圖論（節(jié)點(diǎn)、邊、路徑、最短路徑算法）、排隊(duì)論（等待時(shí)間分析）等。關(guān)鍵在于將調(diào)度問題轉(zhuǎn)化為清晰的數(shù)學(xué)語言，明確優(yōu)化目標(biāo)和限制條件。2.解析思路：此題考查協(xié)同過濾算法原理的理解。*(1)基于物品的協(xié)同過濾：*原理簡(jiǎn)述：該方法通過計(jì)算酒店H1,H2,H3,H4之間的相似度（例如，計(jì)算與每個(gè)酒店評(píng)分相似的酒店集合），然后找出與用戶U1評(píng)價(jià)最高的酒店Hj最相似的酒店，并將這些相似酒店中的高分酒店推薦給U1。數(shù)學(xué)上，通常計(jì)算酒店向量之間的余弦相似度或皮爾遜相關(guān)系數(shù)。*方法選擇依據(jù)：當(dāng)用戶評(píng)價(jià)數(shù)量較少，但酒店評(píng)價(jià)相對(duì)豐富時(shí)，此方法效果較好。它關(guān)注的是酒店本身的“品質(zhì)”相似性，認(rèn)為評(píng)價(jià)過相似用戶的用戶，對(duì)相似酒店的評(píng)價(jià)也會(huì)相似。*(2)基于用戶的協(xié)同過濾：*原理簡(jiǎn)述：該方法首先計(jì)算用戶U1與用戶U2、U3之間的相似度（例如，基于他們共同評(píng)價(jià)過的酒店評(píng)分計(jì)算），找到與U1最相似的用戶（如U3），然后將U3評(píng)價(jià)很高的酒店（但U1未評(píng)價(jià)或評(píng)價(jià)不高）推薦給U1。數(shù)學(xué)上，也常使用余弦相似度或皮爾遜相關(guān)系數(shù)計(jì)算用戶向量之間的相似性。*方法選擇依據(jù)：當(dāng)用戶評(píng)價(jià)數(shù)量較多，但評(píng)價(jià)過的酒店數(shù)量相對(duì)較少時(shí)，此方法效果較好。它基于“人以群分”的假設(shè)，認(rèn)為與用戶品味相似的用戶的喜好可以作為推薦依據(jù)。四、綜合分析題（10分）解析思路：此題考查對(duì)數(shù)學(xué)工具在智能旅游中作用的宏觀理解和辯證思考。*數(shù)學(xué)建模的作用：體現(xiàn)在通過建立數(shù)學(xué)模型，可以將模糊的旅游現(xiàn)象（如游客滿意度、市場(chǎng)趨勢(shì)）轉(zhuǎn)化為精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式或算法，從而進(jìn)行定量分析、預(yù)測(cè)和優(yōu)化。例如，通過回歸模型預(yù)測(cè)景區(qū)客流，通過優(yōu)化模型安排交通或資源，通過決策模型評(píng)估不同營銷策略的效果。建模使得決策更加科學(xué)、可衡量。*數(shù)據(jù)分析的作用：體現(xiàn)在通過對(duì)海量的旅游數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、清洗、處理、分析，可以發(fā)現(xiàn)游客行為模式、偏好、潛在需求以及運(yùn)營問題。例如，通過用戶評(píng)論分析進(jìn)行服務(wù)改進(jìn)，通過交易數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)規(guī)則進(jìn)行精準(zhǔn)營銷，通過實(shí)時(shí)監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警。數(shù)據(jù)分析提供了決策的依據(jù)和洞察。*相互關(guān)系：數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析相輔相成。數(shù)據(jù)分析為建模提供原始數(shù)據(jù)、發(fā)現(xiàn)問題和驗(yàn)證結(jié)果；建模則能提升數(shù)據(jù)分析的深度和廣度，將分析結(jié)果結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，并轉(zhuǎn)化為可執(zhí)行的優(yōu)化方案或預(yù)測(cè)。例如，用數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)用戶畫像，再用建模方法構(gòu)建個(gè)性化推薦系統(tǒng)；用數(shù)據(jù)分析獲得運(yùn)營數(shù)據(jù)，再用建模方法進(jìn)行資源優(yōu)化。二者共同驅(qū)動(dòng)智能旅游服務(wù)質(zhì)量的提升。五、計(jì)算題（每題10分，共20分）1.解析思路：此題考查一階線性微分方程的求解。*微分方程為dY/dt=0.1Y-2，是標(biāo)準(zhǔn)的一階線性微分方程形式。*首先求解對(duì)應(yīng)的齊次方程dY/dt=0.1Y，其通解為Y_h=C_1*e^(0.1t)。*然后求非齊次方程的特解。使用常數(shù)變易法或待定系數(shù)法，設(shè)特解Y_p為常數(shù)，代入方程得0=0.1Y_p-2，解得Y_p=20。*因此，原方程的通解為Y(t)=Y_h+Y_p=C_1*e^(0.1t)+20。*利用初始條件Y(0)=10，代入通解得10=C_1*e^0+20，即C_1=-10。*最終解為Y(t)=-10*e^(0.1t)+20。2.解析思路：此題考查M/M/1排隊(duì)模型。*(1)服務(wù)臺(tái)空閑的概率：*M/M/1模型中，系統(tǒng)空閑概率P_0=1-(λ/μ)。這里λ=20人/小時(shí)，μ=25人/小時(shí)。*P_0=1-(20/25)=1-0.8=0.2。所以服務(wù)臺(tái)空閑的概率為0.2。*(2)系統(tǒng)中平均有多少游客在等待服務(wù)：