1/12019-2021北京重點(diǎn)校高一（下）期中數(shù)學(xué)匯編平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示一、單選題1．（2021·北京四中高一期中）平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn).已知點(diǎn)，點(diǎn)，則向量與的夾角的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2019·北京師大附中高一期中）已知向量，則（）A．0 B．－1 C．2或－2 D．3．（2021·北京八中高一期中）若向量，，則與的夾角等于（）A． B． C． D．4．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）設(shè)向量，且，則的值是（）A． B．C． D．5．（2019·北京師大附中高一期中）設(shè)，向量，若，則等于A． B． C．－4 D．4二、雙空題6．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________，若是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)________．7．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是________；最小值是________.三、填空題8．（2021·北京·北大附中高一期中）在中，，是的中點(diǎn)，若，在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為_(kāi)___________．9．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知點(diǎn)，向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后等于，求點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____.10．（2021·北京四中高一期中）已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______.11．（2021·北京·北大附中高一期中）菱形ABCD中，A=60°，E為BC中點(diǎn)，記，，若，則=_______．12．（2020·北京八十中高一期中）已知點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為_(kāi)_______．四、解答題13．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿(mǎn)足．求證：A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)；已知、，，的最小值為5，求實(shí)數(shù)m的值．14．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）定義向量的“伴隨函數(shù)”為；函數(shù)的“伴隨向量”為.（1）寫(xiě)出的“伴隨函數(shù)”，并直接寫(xiě)出的最大值；（2）寫(xiě)出函數(shù)的“伴隨向量”為，并求；（3）已知，的“伴隨函數(shù)”為，的“伴隨函數(shù)”為，設(shè)，且的伴隨函數(shù)為，其最大值為，①若，，求的值；②求證：向量的充要條件是.15．（2021·北京四中高一期中）已知向量，，其中.（1）求及的值；（2）若函數(shù)，求的最大值.16．（2021·北京·北大附中高一期中）已知三角形ABC，A(3，4)，B（0，0），C(16，0)（1）寫(xiě)出一個(gè)與垂直的非零向量；(坐標(biāo)形式)（2）求；（3）求向量在向量上投影的數(shù)量；（4）若，求k的值；（5）求．17．（2021·北京市第五中學(xué)高一期中）已知平面向量，且（1）求的最小值；（2）若，求與的夾角．18．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知向量，，．（1）若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，與共線(xiàn)，求的值；（3）若，且與的夾角為，求.

參考答案1．B【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量與的夾角為，求出、的坐標(biāo)，由數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算，由基本不等式求出的取值范圍，由此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)向量與的夾角為，點(diǎn)，點(diǎn)，則，，則，，，則，又由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，又由，故，即向量與的夾角的取值范圍是，故選：．2．A【分析】先求出，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是.3．C【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算法則，結(jié)合向量數(shù)量積公式，求得兩向量夾角.【詳解】∵，；∴；∴故選：C.4．B【分析】直接利用垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得?故選：B5．D【解析】直接利用向量垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，化為，解得，故選D.【點(diǎn)睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是命題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.6．【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7．1【分析】如圖，建立坐標(biāo)系，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出【詳解】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，，因?yàn)?，所以最大值?，故答案為：1，8．【解析】先判斷是等腰直角三角形，，以所在的直線(xiàn)為軸，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)且，求出和的坐標(biāo)，計(jì)算再求最值即可.【詳解】在中，，，所以，，是等腰直角三角形，，如圖以所在的直線(xiàn)為軸，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)則，所以，所以時(shí)，取得最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷是等腰直角三角形，易于建坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)且，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，即可用坐標(biāo)表示數(shù)量積，再計(jì)算最值.9．【分析】由旋轉(zhuǎn)特點(diǎn)可知兩向量模長(zhǎng)相等且互相垂直，由此可構(gòu)造方程組求得，根據(jù)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，又，由題意得：，即，解得或(舍去)所以.故答案為：10．【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，計(jì)算求得的值．【詳解】，，若，則，求得實(shí)數(shù)，故答案為：．11．【分析】建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可【詳解】由題意，可以菱形的對(duì)角線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意不妨令，則，則有，，，，，由，可得：，解得，故答案為：12．【分析】設(shè)，易得，，，注意到，轉(zhuǎn)化為在上的最大值即可.【詳解】設(shè)，則，由已知，，，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積的最值，涉及到圓的概念，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.13．(1)見(jiàn)解析(2)m的值為-3或【詳解】試題分析:（1）因?yàn)?且,化簡(jiǎn)可得,即∥，又與有公共點(diǎn)A，則命題成立;（2）根據(jù)和=-求出,的坐標(biāo),代入解析式f（x）,化簡(jiǎn)可得關(guān)于sinx的二次函數(shù),討論對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間[0，1]的中點(diǎn)為的關(guān)系,根據(jù)單調(diào)性分別得出最小值,列出等式求得m的值.試題解析:（1）因?yàn)椋浴?，又與有公共點(diǎn)A，所以A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)．（2）因?yàn)?（1，cosx），=（1+sinx，cosx），所以=+=（1+sinx，cosx），=-=（sinx，0），故·=1+sinx+cos2x，||==sinx，從而f（x）=·+（2m+）||+m2=1+sinx+cos2x+（2m+）sinx+m2=cos2x+（2m+1）sinx+1+m2=-sin2x+（2m+1）sinx+2+m2，關(guān)于sinx的二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為sinx=，因?yàn)閤[0，]，所以sinx[0，1]，又區(qū)間[0，1]的中點(diǎn)為．①當(dāng)≤，即m≤0時(shí)，當(dāng)sinx=1時(shí)，f（x）min=m2+2m+2，由f（x）min=5得m=-3或m=1，又m≤0，所以m=-3；②當(dāng)>，即m>0時(shí)，當(dāng)sinx=0時(shí)，f（x）min=2+m2，由f（x）min=5得m=，又m>0，所以m=．綜上所述：m的值為-3或．點(diǎn)睛:平面向量的數(shù)量積計(jì)算問(wèn)題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用.利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問(wèn)題、線(xiàn)段長(zhǎng)問(wèn)題及垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來(lái)解決．列出方程組求解未知數(shù).14．（1）；最大值為；（2）,；（3）①；②證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)伴隨函數(shù)的定義寫(xiě)出函數(shù)結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)整理，即可求出最值；（2）結(jié)合兩角和的余弦公式可化簡(jiǎn)得，進(jìn)而表示出向量，即可求出模長(zhǎng)；（3）①結(jié)合平面向量的線(xiàn)性坐標(biāo)運(yùn)算和輔助角公式即可求出結(jié)果；②由兩角和的正弦公式，可推出，充分性：找出時(shí)，滿(mǎn)足的條件，可得證；必要性：當(dāng)時(shí)，,帶入的解析式中，即可知.【詳解】（1）,因?yàn)?，所以最大值?（2）所以所以（3）設(shè)，①設(shè)，根據(jù)定義得出，其中，由知.②充分性：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在使得，其中，所以，，即得.必要性：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.15．（1），；（2）0.【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及兩角差的余弦求；由向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算得的坐標(biāo)，再由向量模的運(yùn)算公式求的值；（2）把（1）中求得的結(jié)論代入，整理后利用換元法及配方法求的最大值．【詳解】（1），，，，；又，，，，，；（2），令，則，，則，則當(dāng)時(shí)，．16．（1）；（答案不唯一）（2）；（3）；（4）；（5）【分析】（1）求出，設(shè)與垂直的非零向量為，從而可出的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式即可寫(xiě)出答案；（2）求出，，根據(jù)即可得出答案；（3）根據(jù)向量在向量上投影的數(shù)量為計(jì)算即可得解；（4）利用向量坐標(biāo)的線(xiàn)性運(yùn)算求得，再根據(jù)列出方程，即可得解；（5）求出，根據(jù)公式即可得解.【詳解】解：（1）因?yàn)锳(3，4)，B（0，0），所以，設(shè)與垂直的非零向量為，則，可取，所以與垂直的非零向量為；（答案不唯一）（2）因?yàn)锳(3，4)，B（0，0），C(16，0)，則，，所以；（3）向量在向量上投影的數(shù)量為；（4），，因?yàn)椋?，解得；?），所以17．（1）13；（2）.【分析】（1）根據(jù)求出x，然后求出，進(jìn)而求出的最小值；（2）通過(guò)求出y，，然后根據(jù)