2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)復(fù)雜情境下的數(shù)學(xué)應(yīng)用試題（二）一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用題目1某新能源汽車企業(yè)2025年推出新款車型，其生產(chǎn)成本與銷售策略如下：研發(fā)固定成本為8000萬元，每輛車的可變成本（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：千輛）的關(guān)系為(C(x)=0.1x^2+2x+5)；市場調(diào)研顯示，當(dāng)每輛車售價(jià)為p（單位：萬元）時(shí)，年銷售量q（單位：千輛）與售價(jià)的關(guān)系滿足(q=20-0.5p)，且年產(chǎn)量x需滿足(0<x\leqq)。（1）若企業(yè)2025年計(jì)劃實(shí)現(xiàn)利潤最大化，求年產(chǎn)量x與每輛車售價(jià)p的最優(yōu)值；（2）若政府對新能源汽車提供補(bǔ)貼，當(dāng)產(chǎn)量超過10千輛時(shí)，每輛車補(bǔ)貼0.5萬元，此時(shí)利潤最大的年產(chǎn)量與（1）中結(jié)果相比變化了多少？解析（1）利潤函數(shù)構(gòu)建需考慮成本與收入的關(guān)系?？偝杀?TC=8000+x\cdotC(x)=8000+x(0.1x^2+2x+5)=0.1x^3+2x^2+5x+8000)。由銷售量(q=20-0.5p)可得售價(jià)(p=40-2q)，因(x\leqq)，故收入(R=p\cdotx=(40-2x)x=40x-2x^2)（注：此處需滿足(x\leqq=20-0.5p)，即(x\leq20-0.5(40-2x))，化簡后為恒等式，故直接用(R=(40-2x)x)）。利潤函數(shù)(L(x)=R-TC=-0.1x^3-4x^2+35x-8000)。求導(dǎo)得(L'(x)=-0.3x^2-8x+35)，令(L'(x)=0)，解得(x=5)（千輛，負(fù)值舍去）。此時(shí)售價(jià)(p=40-2x=30)萬元。（2）補(bǔ)貼后收入函數(shù)變?yōu)?R'=(p+0.5)x=(40-2x+0.5)x=40.5x-2x^2)（僅當(dāng)(x>10)時(shí)生效）。利潤函數(shù)分段討論：當(dāng)(0<x\leq10)時(shí)，(L(x)=-0.1x^3-4x^2+35x-8000)，導(dǎo)數(shù)(L'(x)=-0.3x^2-8x+35)，在(x=10)時(shí)(L'(10)=-30-80+35=-75<0)，故最大值在區(qū)間左側(cè)；當(dāng)(x>10)時(shí)，(L'(x)=-0.3x^2-8x+35.5)，令(L'(x)=0)解得(x≈5.02)（舍去）或(x≈-31.7)（舍去），故補(bǔ)貼后利潤最大值仍在(x=10)處取得，與（1）中(x=5)相比，產(chǎn)量增加5千輛。二、立體幾何與空間向量在工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用題目2某科技館擬建造一個(gè)半圓柱形展廳（橫截面為半圓，直徑在地面上），其軸截面（過對稱軸的豎直截面）為矩形ABCD，其中AB為地面直徑，BC為半圓的半徑R。展廳內(nèi)部需安裝一個(gè)“螺旋上升”的參觀通道，通道路徑為從地面A點(diǎn)沿側(cè)面到頂部B點(diǎn)的最短曲線，且通道與地面所成角的正切值為(\frac{\pi}{4})。（1）若展廳長度（半圓柱的高）為H，求通道長度L關(guān)于R的函數(shù)關(guān)系；（2）若展廳體積固定為(V=1000\pi)立方米，求R為何值時(shí)展廳表面積（不含地面）最小。解析（1）半圓柱側(cè)面展開后為矩形，長為半圓弧長(\piR)，寬為H。最短路徑為展開圖中A到B'（B的對應(yīng)點(diǎn)）的直線距離，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，B'點(diǎn)坐標(biāo)為((\piR,H))。通道與地面所成角(\theta)滿足(\tan\theta=\frac{H}{\piR}=\frac{\pi}{4})，故(H=\frac{\pi^2R}{4})。通道長度(L=\sqrt{(\piR)^2+H^2}=\sqrt{\pi^2R^2+\left(\frac{\pi^2R}{4}\right)^2}=R\pi\sqrt{1+\frac{\pi^4}{16}})。（2）半圓柱體積(V=\frac{1}{2}\piR^2H=1000\pi)，故(H=\frac{2000}{R^2})。表面積（不含地面）包括側(cè)面和頂部半圓：側(cè)面面積(S_1=\piRH)，頂部半圓面積(S_2=\frac{1}{2}\piR^2)，總表面積(S=\piR\cdot\frac{2000}{R^2}+\frac{1}{2}\piR^2=\frac{2000\pi}{R}+\frac{\pi}{2}R^2)。求導(dǎo)得(S'(R)=-\frac{2000\pi}{R^2}+\piR)，令(S'(R)=0)解得(R=\sqrt[3]{2000}=10\sqrt[3]{2})米。三、概率統(tǒng)計(jì)與優(yōu)化模型在醫(yī)療資源配置中的應(yīng)用題目3某醫(yī)院急診科2025年1月的患者就診數(shù)據(jù)如下：每日就診人數(shù)X服從正態(tài)分布(N(120,10^2))，且每小時(shí)就診人數(shù)均勻分布；每位患者的診療時(shí)間T（單位：分鐘）與病情嚴(yán)重程度相關(guān)，輕度、中度、重度患者的比例為5:3:2，對應(yīng)診療時(shí)間分別為15分鐘、30分鐘、60分鐘。（1）求一天內(nèi)（按12小時(shí)工作制）需要同時(shí)開放診室數(shù)量的概率分布，并估計(jì)至少需要開放多少診室才能保證95%以上的患者無需等待（注：患者到達(dá)后若有空閑診室即可立即就診，否則需等待）；（2）若醫(yī)院計(jì)劃新增2間診室，現(xiàn)有兩種方案：方案一全部用于接診重度患者，方案二全部用于接診輕度患者，哪種方案更能減少平均等待時(shí)間？（提示：等待時(shí)間與患者排隊(duì)長度正相關(guān)，排隊(duì)長度可近似用“單位時(shí)間內(nèi)診療需求與供給的差值”衡量）解析（1）每小時(shí)就診人數(shù)(X_h=\frac{X}{12}\simN(10,\frac{10^2}{12})\approxN(10,8.33))。單診室每小時(shí)可處理患者數(shù)：輕度(60/15=4)人，中度(2)人，重度(1)人，加權(quán)平均為(4\times0.5+2\times0.3+1\times0.2=2.8)人/小時(shí)。設(shè)開放n間診室，供給能力為(2.8n)人/小時(shí)。需求(X_h)與供給的差值決定等待概率，由正態(tài)分布性質(zhì)，(P(X_h\leq2.8n)\geq0.95)，即(2.8n\geq10+1.645\times\sqrt{8.33}\approx10+4.8\approx14.8)，解得(n\geq5.29)，故至少開放6間診室。（2）方案一：新增2間診室處理重度患者，重度患者診療效率提升至((2+2)\times1=4)人/小時(shí)（原重度診室數(shù)量隱含為(0.2X_h/1\approx2)間），總供給能力變?yōu)?2.8\times5+2\times1=16)人/小時(shí)；方案二：新增診室處理輕度患者，輕度效率提升至((5\times0.5\times4)+2\times4=18)人/小時(shí)。因方案二供給能力更高，平均等待時(shí)間更短。四、數(shù)列與不等式在資源分配中的應(yīng)用題目4某地區(qū)2025年啟動(dòng)“鄉(xiāng)村振興”水利工程，計(jì)劃分三年修建灌溉渠道，每年的投資額與當(dāng)年新增灌溉面積如下：第1年投資(a_1=2000)萬元，新增面積(b_1=500)公頃；從第2年起，每年投資額(a_n=a_{n-1}\cdot(1+r))，新增面積(b_n=b_{n-1}\cdot(1-0.1r))，其中r為投資增長率（(0<r<1)）；三年總投資額不超過9000萬元，總新增灌溉面積不低于1600公頃。（1）求r的取值范圍；（2）若每公頃灌溉面積年收益為2萬元，三年總收益的年平均增長率記為k，求k的最大值（精確到0.1%）。解析（1）三年總投資(S_a=a_1+a_2+a_3=2000[1+(1+r)+(1+r)^2]\leq9000)，化簡得((1+r)^2+(1+r)-3.5\leq0)，解得(1+r\leq\frac{-1+\sqrt{14}}{2}\approx1.87)，即(r\leq0.87)?？傂略雒娣e(S_b=500[1+(1-0.1r)+(1-0.1r)^2]\geq1600)，令(t=1-0.1r)，則(1+t+t^2\geq3.2)，解得(t\geq1.1)（舍去負(fù)根），即(1-0.1r\geq1.1\Rightarrowr\leq-1)（矛盾），修正后發(fā)現(xiàn)(S_b=500[1+t+t^2]\geq1600\Rightarrowt^2+t-2.2\geq0)，解得(t\geq\frac{-1+\sqrt{9.8}}{2}\approx1.05)，故(1-0.1r\geq1.05\Rightarrowr\leq-0.5)（仍矛盾），重新檢查得(b_n)應(yīng)為(b_n=b_{n-1}\cdot(1+0.1r))（投資增長應(yīng)帶動(dòng)面積增長），則(t=1+0.1r)，(1+t+t^2\geq3.2\Rightarrowt\geq1.1)，解得(r\geq1)（與(0<r<1)矛盾），最終確認(rèn)題目應(yīng)為“新增面積逐年遞減比例為0.1r”，即(b_n=b_{n-1}(1-0.1r))，此時(shí)(S_b=500[1+(1-0.1r)+(1-0.1r)^2]\geq1600\Rightarrow(1-0.1r)^2+(1-0.1r)\geq2.2)，解得(1-0.1r\geq1.1\Rightarrowr\leq-0.1)（題目數(shù)據(jù)可能有誤，假設(shè)總新增面積為1400公頃，則(1+t+t^2\geq2.8\Rightarrowt\geq1.0)，即(r\leq0)，此處按原題意保留過程）。（2）總收益(Y=2\timesS_b)，年平均增長率(k)滿足(Y=2b_1(1+k)^3)，即(k=\sqrt[3]{\frac{S_b}{b_1}}-1)，當(dāng)(S_b)最大時(shí)k最大，此時(shí)r取最小值，結(jié)合（1）中約束，若r=0，則(S_b=1500)公頃，(k=\sqrt[3]{\frac{1500}{500}}-1=\sqrt[3]{3}-1\approx26.0%)。五、圓錐曲線與參數(shù)方程在航天軌道中的應(yīng)用題目52025年我國計(jì)劃發(fā)射一顆地球同步軌道通信衛(wèi)星，其軌道滿足以下條件：軌道平面與赤道平面重合，為橢圓型，近地點(diǎn)（離地球表面最近點(diǎn)）高度2000公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度36000公里；地球半徑取6400公里，地心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。（1）建立平面直角坐標(biāo)系，求衛(wèi)星軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）衛(wèi)星在近地點(diǎn)時(shí)速度為(v_1=10.2)km/s，遠(yuǎn)地點(diǎn)速度為(v_2=3.1)km/s，根據(jù)開普勒第二定律（行星與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過相等面積），求衛(wèi)星從近地點(diǎn)到遠(yuǎn)地點(diǎn)的飛行時(shí)間（地球同步衛(wèi)星周期為24小時(shí)，結(jié)果精確到0.1小時(shí)）。解析（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)，地心為左焦點(diǎn)(F(-c,0))。近地點(diǎn)距離地心(a-c=6400+2000=8400)km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離(a+c=6400+36000=42400)km，解得(a=25400)km，(c=17000)km，(b^2=a^2-c^2=(25400)^2-(17000)^2=(25400-17000)(25400+17000)=8400\times42400=356160000)，故方程為(\frac{x^2}{25400^2}+\frac{y^2}{356160000}=1)。（2）橢圓面積(S=\piab\approx3.14\times25400\times\sqrt{356160000}\approx3.14\times25400\times18872\approx1.5\times10^9)km2。由開普勒第二定律，單位時(shí)間掃過面積(\frac{S}{T}=\frac{1.5\times10^9}{24}\approx6.25\times10^7)km2/h。近地點(diǎn)到遠(yuǎn)地點(diǎn)掃過面積為橢圓面積的一半，即(7.5\times10^8)km2，故飛行時(shí)間(t=\frac{7.5\times10^8}{6.25\times10^7}=12)小時(shí)。六、三角函數(shù)與解三角形在環(huán)境監(jiān)測中的應(yīng)用題目6某環(huán)境監(jiān)測站在山頂A處設(shè)立監(jiān)測點(diǎn)，觀測山下河谷中B、C兩個(gè)污染源。已知：A在地面上的投影為O，(AO=1000)米，(\angleBOC=60^\circ)，(OC=2000)米；從A觀測B的俯角為(30^\circ)，觀測C的俯角為(45^\circ)，且(\angleBAC=90^\circ)。（1）求OB的長度；（2）若污染物擴(kuò)散速度為10米/分鐘，從B、C同時(shí)向O點(diǎn)擴(kuò)散，何時(shí)兩污染物擴(kuò)散區(qū)域（圓形）開始重疊？解析（1）俯角轉(zhuǎn)化為三角形邊長關(guān)系：在(Rt\triangleAOB)中，(\tan30^\circ=\frac{AO}{OB}\RightarrowOB=\frac{AO}{\tan30^\circ}=1000\sqrt{3}\approx1732)米；在(Rt\triangleAOC)中，(OC=\frac{AO}{\tan45^\circ}=1000)米（注：題目中“OC=2000米”可能為干擾條件，此處以俯角計(jì)算為準(zhǔn)）。由(\angleBAC=90^\circ)，用空間余弦定理：(BC^2=AB^2+AC^2)，其中(AB=\frac{AO}{\sin30^\circ}=2000)米，(AC=\frac{AO}{\sin45^\circ}=1000\sqrt{2})米，故(BC^2=2000^2+(1000\sqrt{2})^2=6\times10^6)。在(\triangleBOC)中，由余弦定理(BC^2=OB^2+OC^2-2\cdotOB\cdotOC\cdot\cos60^\circ)，代入得(6\times10^6=OB^2+2000^2-2\cdotOB\cdot2000\cdot0.5)，解得(OB=1000)米（另一根舍去）。（2）設(shè)t分鐘后兩圓半徑均為10t米，圓心距(BC=\sqrt{6}\times10^3\approx2449)米。兩圓重疊條件為(10t+10t\geqBC\Rightarrowt\geq\frac{2449}{20}\approx122.5)分鐘。七、概率與統(tǒng)計(jì)在機(jī)器學(xué)習(xí)中的應(yīng)用題目7某AI模型訓(xùn)練過程中，輸入數(shù)據(jù)分為“有效樣本”（A類）和“噪聲樣本”（B類），其特征值X服從正態(tài)分布：A類樣本：(X\simN(5,1^2))，占比60%；B類樣本：(X\simN(2,1^2))，占比40%。（1）若模型通過閾值k對樣本分類：當(dāng)(X\geqk)時(shí)判定為A類，否則為B類，求k為何值時(shí)分類準(zhǔn)確率最高；（2）若對A類樣本誤判（將A判為B）的損失是B類誤判（將B判為A）的2倍，求最小損失對應(yīng)的閾值k。解析（1）準(zhǔn)確率(P=P(A)P(X\geqk|A)+P(B)P(X<k|B)=0.6[1-\Phi(k-5)]+0.4\Phi(k-2))，其中(\Phi)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。求導(dǎo)得(P'(k)=0.6[-\phi(k-5)]+0.4\phi(k-2))，令(P'(k)=0)，即(0.4\phi(k-2)=0.6\phi(k-5))。因(\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2})，故(0.4e^{-(k-2)^2/2}=0.6e^{-(k-5)^2/2})，兩邊取對數(shù)得(\ln(2/3)=\frac{(k-2)^2-(k-5)^2}{2}=\frac{(2k-7)(3)}{2})，解得(k=\frac{7}{2}+\frac{\ln(2/3)}{3}\approx3.5-0.135\approx3.365)。（2）設(shè)B類誤判損失為1，則A類誤判損失為2，總損失(L=2\times0.6P(X<k|A)+1\times0.4P(X\geqk|B)=1.2\Phi(k-5)+0.4[1-\Phi(k-2)])。求導(dǎo)得(L'(k)=1.2\phi(k-5)-0.4\phi(k-2))，令(L'(k)=0)得(3\phi(k-5)=\phi(k-2))，同理解得(k=3.5+\frac{\ln3}{3}\approx3.5+0.366\approx3.866)。八、線性代數(shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用題目8某加密系統(tǒng)采用2×2矩陣(M=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix})對明文向量(\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix})加密，加密規(guī)則為密文(\begin{pmatrix}x'\y'\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}\mod26)（字母A-Z對應(yīng)0-25）。已知：明文“HE”（對應(yīng)向量(\begin{pmatrix}7\4\end{pmatrix})）加密后為“CK”（對應(yīng)(\begin{pmatrix}2\10\end{pmatrix})）；明文“LP”（對應(yīng)(\begin{pmatrix}11\15\end{pmatrix})）加密后為“TY”（對應(yīng)(\begin{pmatrix}19\24\end{pmatrix})）。（1）求矩陣M；（2）若密文為“ZG”（對應(yīng)(\begin{pmatrix}25\6\end{pmatrix})），求對應(yīng)的明文。解析（1）根據(jù)加密規(guī)則建立方程組：(\begin{cases}7a+4b\equiv2\mod26\7c+4d\equiv10\mod26\11a+15b\equiv19\mod26\11c+15d\equiv24\mod26\end{cases})解前兩式：用消元法，第一式乘15減第二式乘4：((105a-44a)\equiv30-76\mod26\Rightarrow61a\equiv-46\mod26\Rightarrow9a\equiv6\mod26\Rightarrow3a\equiv2\mod26/gcd(9,26)=26\Rightarrowa\equiv18\mod26)（因3×18=54≡2mod26），代入得(7×18+4b=126+4b≡2mod26\Rightarrow4b≡-124≡-124+5×26=16mod26\