專題05三角函數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學(xué)考要求 1基礎(chǔ)知識(shí)梳理 2考點(diǎn)精講講練 6考點(diǎn)一：任意角 6考點(diǎn)二：弧度制與扇形 7考點(diǎn)三：任意角的三角函數(shù) 8考點(diǎn)四：同角三角函數(shù)基本關(guān)系 9考點(diǎn)五：誘導(dǎo)公式 10考點(diǎn)六：三角恒等變換 11考點(diǎn)七：三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性和奇偶性 12考點(diǎn)八：三角函數(shù)的值域與最值 13考點(diǎn)九：函數(shù)的圖象變換 14考點(diǎn)十：求三角函數(shù)解析式 16實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練 19 明晰學(xué)考要求 1、理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義；2、能利用單位圓中的三角雨數(shù)線推導(dǎo)出的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出的圖象，了解三角函數(shù)的周期性；3、理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及圖象與軸的交點(diǎn)等)。理解正切函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性.4、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:5、了解函數(shù)的物理意義;能畫出的圖象了解參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.6、了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題.基礎(chǔ)知識(shí)梳理一、角的有關(guān)概念1．定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．2．角的分類按旋轉(zhuǎn)方向不同分類正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：射線沒有旋轉(zhuǎn)按終邊位置不同分類象限角：角的終邊在第幾象限，這個(gè)角就是第幾象限角軸線角：角的終邊落在坐標(biāo)軸上（3）終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合或二、弧度制1．弧度制的定義把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．2．弧度制下的有關(guān)公式角的弧度數(shù)公式弧度與角度的換算弧長(zhǎng)公式扇形的面積公式三、任意角的三角函數(shù)1．定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，點(diǎn)是角的終邊上任意一點(diǎn)，到原點(diǎn)的距離，那么角的正弦、余弦、正切分別是．注意：正切函數(shù)的定義域是，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是.2．三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．特殊角的三角函數(shù)值00100100101不存在0不存在0四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式平方關(guān)系商的關(guān)系公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）；（2）（3）；（4）（5）（6）六、二倍角公式（1）（2）（3）（4）輔助角公式：，其中，七、正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．既無最大值，也無最小值周期性最小正周期為最小正周期為最小正周期為奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對(duì)稱性對(duì)稱中心；對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形.對(duì)稱中心；對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形.對(duì)稱中心；無對(duì)稱軸，是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形.八、的圖象變換由函數(shù)的圖象通過變換得到（A>0,ω>0）的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.如下圖.考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)一：任意角（1）寫出與已知角終邊相同的角的方法：先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出的值．（2）求終邊落在直線上的角的集合的步驟①寫出在范圍內(nèi)相應(yīng)的角；②由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；③根據(jù)條件能合并的一定要合并，使結(jié)果簡(jiǎn)潔．【典型例題】例1．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，以為頂點(diǎn)，為始邊，終邊在軸上的角的集合為（

）A． B．C． D．例2．（2023高二上·福建·學(xué)業(yè)考試）已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么，下列各角與角終邊相同的是（

）A． B． C． D．例3．（2022高二上·安徽合肥·學(xué)業(yè)考試）下列各角中與角的終邊相同的是（

）A． B． C． D．例4．（2021高二上·廣西·學(xué)業(yè)考試）下列選項(xiàng)中，角是第一象限角的是（

）A． B． C． D．【即時(shí)演練】1．將化為的形式是（

）A．B．C．D．2．如果是銳角，那么是（

）A．第一象限的角 B．第二象限的角C．小于180°的正角 D．鈍角3．的角屬于第象限.4．角是第__________象限角．考點(diǎn)二：弧度制與扇形（1）弧度與角度的轉(zhuǎn)換：牢記，充分利用和進(jìn)行換算．（2）涉及扇形的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈活運(yùn)用扇形的弧長(zhǎng)公式、面積公式直接求解或列方程(組)求解．【典型例題】例1．（2023高三上·廣西·學(xué)業(yè)考試）將弧度化為角度是（

）A．45° B．60° C．75° D．90°例2．（2023高二·安徽·學(xué)業(yè)考試）角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2024高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）已知半徑為1的扇形的圓心角為，則扇形的弧長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．例4．（2023高二·湖北·學(xué)業(yè)考試）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以為圓心為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，且．記的弧長(zhǎng)的近似值為，“會(huì)圓術(shù)”給出了的一種計(jì)算公式：．若，，則根據(jù)該公式計(jì)算__________．

【即時(shí)演練】1．中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，若，則扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為（

）

A．3 B．2 C． D．2．已知的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，則這個(gè)扇形的面積為________.3．已知一個(gè)扇形的圓心角為60°，所對(duì)的弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為________．4．已知圓的半徑為2，則的圓心角的弧度數(shù)為________；所對(duì)的弧長(zhǎng)為________考點(diǎn)三：任意角的三角函數(shù)若角的終邊上由一點(diǎn)，(與原點(diǎn)不重合)，則先計(jì)算，最后利用求值．【典型例題】例1．（2024高二上·新疆·學(xué)業(yè)考試）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．例2．（2024高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）已知，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角例3．（2024高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊過點(diǎn)（3，4)，則角的正切值為（

）A． B． C． D．例4．（2024高二下·云南·學(xué)業(yè)考試）已知是角終邊上的一點(diǎn)，則角的正切值是________.【即時(shí)演練】1．已知是第四象限的角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（

）A．4 B．4 C． D．2．已知是第二象限的角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．3．已知角的終邊上有一點(diǎn)，則__________.4．若角滿足，且，則角屬于第________象限.考點(diǎn)四：同角三角函數(shù)基本關(guān)系（1）已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切；（2）已知正切，聯(lián)立公式，可直接求得正余弦【典型例題】例1．（2024高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）已知是第一象限角，，則為（

）A． B． C． D．例2．（2024高二下·湖北·學(xué)業(yè)考試）已知，則（

）A．1 B．3 C．5 D．7例3．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）已知是第三象限角，若，則（

）A． B． C． D．例4．（2024高二下·云南·學(xué)業(yè)考試）已知，則（

）A．3 B．5 C．7 D．9【即時(shí)演練】1．若，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．22．已知，是第四象限角，則________.3．已知，則________.4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在角α的終邊上．(1)求的值；(2)求的值．考點(diǎn)五：誘導(dǎo)公式利用誘導(dǎo)公式解決給角求值問題的步驟：①“負(fù)化正”：用公式一或三將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角；②“大化小”：用公式一將角化為到間的角③“小化銳”：用公式二或四將大于的角轉(zhuǎn)化為銳角；④“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值【典型例題】例1．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）在下列各數(shù)中，與相等的是（

）A． B． C． D．例2．（2024高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）（

）A． B． C．- D．-例3．（2023高三上·廣西·學(xué)業(yè)考試）若，則（

）A． B． C． D．1例4．（2024高二下·天津河?xùn)|·學(xué)業(yè)考試）（

）A． B． C． D．【即時(shí)演練】1．已知，且是第二象限角，則等于（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A． B．1 C． D．或3．若，則（

）A． B． C． D．4．若，則__________考點(diǎn)六：三角恒等變換對(duì)非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形．一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，或化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值，將分子、分母形式進(jìn)行約分求值．要善于逆用或變用公式．【典型例題】例1．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）（

）A． B． C． D．例2．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）若，則（

）A． B． C．1 D．例3．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）（

）A． B． C． D．例4．（2024高二上·江蘇揚(yáng)州·學(xué)業(yè)考試）化簡(jiǎn)，得（

）A． B． C． D．【即時(shí)演練】1．計(jì)算：等于（

）A． B． C． D．2．已知角終邊上一點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．3．已知，則________．4．已知，，則__________.考點(diǎn)七：三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性和奇偶性在求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)采用“換元法”整體代換,將“”看作一個(gè)整體“”,即通過求的單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱中心（軸）而求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱中心（軸）.【典型例題】例1．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．例2．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C． D．2例3．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是（

）A． B．C． D．例4．（2021高二上·新疆·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間．【即時(shí)演練】1．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期為1的函數(shù)為（

）A． B．C． D．2．已知函數(shù)（）的圖象關(guān)于對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間．考點(diǎn)八：三角函數(shù)的值域與最值形如或型,可先由定義域求得的范圍,然后求得(或)的范圍,最后求得最值.【典型例題】例1．（2023高二上·黑龍江·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的最大值為__________.例2．（2022高三下·廣東·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的最大值與最小值分別是（

）A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是例3．（2023高二下·北京·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)求在區(qū)間上的最大值及相應(yīng)的值．例4．（2023高三·新疆·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的最大值和最小值以及取得最大值和最小值時(shí)的集合.【即時(shí)演練】1．的最大值是（

）A． B． C． D．2．函數(shù)，當(dāng)__________時(shí)，取最小值為__________；當(dāng)__________時(shí)，取最大值為__________.3．函數(shù)的最大值為__________.4．函數(shù)，的值域?yàn)開_______考點(diǎn)九：函數(shù)的圖象變換利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值的方法：進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序．【典型例題】例1．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=fx的圖象，則（

）A． B．C． D．例2．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B．C． D．例3．（2023高三上·廣西·學(xué)業(yè)考試）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度例4．（2024高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）為了得到函數(shù)的圖象，只需把圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【即時(shí)演練】1．為了得到的圖象，只需把正弦曲線上所有點(diǎn)的（

）A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變2．為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（

）A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，再向右平移個(gè)單位B．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，再向右平移個(gè)單位C．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向左平移個(gè)單位D．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向左平移個(gè)單位3．若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)圖象解析式是（

）A． B．C． D．4．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則的值為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)十：求三角函數(shù)解析式【典型例題】例1．（2023高三下·湖南邵陽·學(xué)業(yè)考試）已知的部分圖象如圖所示，則的解析式為（

）A． B．C． D．例2．（2023高三·新疆·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)（）的最小正周期為，最小值是，且圖象經(jīng)過點(diǎn)，求該函數(shù)的解析式并求其單調(diào)遞增區(qū)間.例3．（2023高二·山西·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的部分圖像如圖示