27/272.7對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01課標要求 202落實主干知識 3一、對數(shù)運算 3二、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì) 3常用二級結(jié)論 403探究核心題型 5題型一：對數(shù)運算 5題型二：對數(shù)運算的實際應(yīng)用 6題型三：對數(shù)函數(shù)的概念與圖象 9題型四：對數(shù)式大小比拼 13題型五：解簡單的對數(shù)方程或不等式 15題型六：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 17題型七：對數(shù)型糖水不等式 22題型八：恒成立與有解問題 24題型九：利用反函數(shù)的性質(zhì)求解 2804好題賞析（一題多解） 3305數(shù)學(xué)思想方法 36①數(shù)形結(jié)合 36②轉(zhuǎn)化與化歸 38③分類討論 3906課時精練（真題、模擬題） 42基礎(chǔ)過關(guān)篇 42能力拓展篇 50

1、理解對數(shù)的概念及運算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2、掌握對數(shù)運算在實際問題中的應(yīng)用.3、通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.4、了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).

一、對數(shù)運算1、如果（，且），那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作．2、（，且）．①；②；③；④．3、對數(shù)的運算性質(zhì)(，且，，)：若，則.（兩邊取對數(shù)）（1）；（2）；（3）．4、換底公式：；(其中，，且，，且)推論：①；②；③．二、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)（，且）叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量.2、圖像與性質(zhì)圖象定義域值域R過定點奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)變化對圖像的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高．常用二級結(jié)論1、底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標系內(nèi)，當時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠離軸．2、與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的奇函數(shù)奇函數(shù)：①，更一般地，②，更一般地，3、設(shè)函數(shù)，記．①若的定義域為，即恒成立，則或②若的值域為，即取遍一切正實數(shù)，則或

題型一：對數(shù)運算【例1】（2025·江西萍鄉(xiāng)·三模）已知，則.【答案】【解析】依題意，，故.故答案為：.【解題總結(jié)】解決對數(shù)運算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡.(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并.(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用.【變式1-1】若等比數(shù)列中的，是方程的兩個根，則．【答案】/【解析】由題意得．因為，，…，，，所以．因為，所以，則．故答案為：.【變式1-2】已知且，若，則.【答案】10【解析】由得且，，所以，即.故答案為：【變式1-3】（2025·高三·上海靜安·期中）已知，則．（請用含的代數(shù)式表達）【答案】【解析】由題意得，.故答案為：.【變式1-4】（2025·廣東深圳·三模）已知實數(shù)，且滿足，則．【答案】2【解析】設(shè)，則，因為，所以.由或（舍去）.所以.故答案為：2題型二：對數(shù)運算的實際應(yīng)用【例2】（2025·福建泉州·一模）如圖，假定兩點以相同的初速度運動．點沿射線做勻速運動，；點沿線段（長度為單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離．令與同時分別從出發(fā)，則數(shù)學(xué)家納皮爾定義為的對數(shù)中，與的對應(yīng)關(guān)系就是，其中e為自然對數(shù)的底．若點從線段的中點運動到靠近的四等分點，點同時從運動到，則．【答案】/0.5【解析】令，則，整理得，即，令，則，整理得，即，所以.故答案為：.【解題總結(jié)】利用對數(shù)運算解決實際問題時認清所給函數(shù)模型、變量、參數(shù)，利用待定系數(shù)法確定參數(shù)的值，然后解決問題.【變式2-1】人們通常以分貝（符號是dB）為單位來表示聲音強度的等級，其中0dB是人能聽到的等級最低的聲音，一般地，如果強度為x的聲音對應(yīng)的等級為，則有，給出下列四個結(jié)論：①等級為0dB的聲音的強度為；②函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；③等級為80dB的聲音與70dB的聲音強度之比是10；④等級為60dB的聲音與90dB的聲音強度之比是1000.其中所有正確結(jié)論的序號是.【答案】①②③【解析】對于①，由即，可得，因此等級為0dB的聲音強度為，故①正確；對于②，令，則，易知和在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在定義域上是增函數(shù)，故②正確；對于③，設(shè)，則，解得．設(shè)，同理可得．因此所求兩種等級聲音的強度之比為，故③正確；對于④，設(shè)，則，解得．設(shè)，同理可得．因此所求兩種等級聲音的強度之比為，故④錯誤.故答案為：①②③.【變式2-2】（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可將某池塘里浮萍的面積單位：與時間單位：月的關(guān)系近似表示為如圖所示函數(shù)關(guān)系，已知第1個月時，浮萍面積為，第5個月時，浮萍面積就會超過，下列函數(shù)模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面積y與時間t關(guān)系的模型是填寫序號，若浮萍蔓延到，所經(jīng)過的時間.【答案】③【解析】為線性增長，的增長速度會逐漸變慢，由圖象可知，模型①④不符合，將，代入模型②③，得，，即模型②，模型③，當時，模型②，不符合，當時，模型③，，選模型③；由，解得故答案為：③；【變式2-3】研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中為非零常數(shù)；已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，則釋放信息素4秒后，距釋放處的米的位置，信息素濃度為.【答案】4【解析】因為釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，所以，所以，即當時，，整理得即，所以，因為，所以.故答案為:4.【變式2-4】2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙十三運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火升空.約582秒后，載人飛船與火箭成功分離，進入預(yù)定軌道，發(fā)射取得圓滿成功.此次航天飛行任務(wù)中，火箭起到了非常重要的作用.火箭質(zhì)量是箭體質(zhì)量與燃料質(zhì)量的和，在不考慮空氣阻力的條件下，燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對數(shù)之差成正比.已知某火箭的箭體質(zhì)量為mkg，當燃料質(zhì)量為mkg時，該火箭的最大速度為2ln2km/s，當燃料質(zhì)量為時，該火箭最大速度為2km/s.若該火箭最大速度達到第一宇宙速度7.9km/s，則燃料質(zhì)量是箭體質(zhì)量的倍.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】51【解析】設(shè)燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對數(shù)之差成正比的比例系數(shù)為k，則，解得，設(shè)當該火箭最大速度達到第一宇宙速度7.9km/s時，燃料質(zhì)量是箭體質(zhì)量的a倍，則，得，則燃料質(zhì)量是箭體質(zhì)量的51倍故答案為：51.題型三：對數(shù)函數(shù)的概念與圖象【例3】（2025·海南·模擬預(yù)測）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C．（0，1） D．【答案】B【解析】當時，的值域為，所以要使的值域為，當時，的值域需取到的所有值.若，則的值域為，所以只須，解得，所以當時，的值域為；若，則的值域為，此時的值域不可能取到的所有值，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：B【解題總結(jié)】對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【變式3-1】已知函數(shù)，且的圖象恒過點，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】令，解得，又，所以函數(shù)，且）的圖象恒過點，即，所以．故選：B．【變式3-2】已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，由題意知，可得，由在上單調(diào)遞增，可得在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減，所以，解得或，故則的取值范圍是.故選：C.【變式3-3】（2025·高三·重慶榮昌·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若在存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，當時，單調(diào)遞減，所以，無最小值，因為在存在最小值，所以，令，因為和在上均單調(diào)遞增，所以在上均單調(diào)遞增，又因為，所以當時，，即成立，所以的解集為.故選：D.【變式3-4】（2025·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】要使函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，由于開口向上，故需函數(shù)在區(qū)間上有最小值，且．該函數(shù)圖像的對稱軸為直線，所以，解得，所以，且，即實數(shù)的取值范圍為．故選：B．【變式3-5】若函數(shù)在上的最大值是2，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，故當時，在上取得最小值為，又因為函數(shù)在上的最大值是2，所以且，即，解得．故選：C.【變式3-6】若不等式（，且）在內(nèi)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若，此時，，而，故無解；若，此時，，而，令，，畫出兩函數(shù)圖象，如下：故要想在內(nèi)恒成立，則要，解得：．故選：B．題型四：對數(shù)式大小比拼【例4】（多選題）（2025·安徽六安·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】對于A，，因，則，故A正確；對于B，由，，可得，則，故，故B正確；對于C，由B項可得，則，故C錯誤；對于D，因，故D正確.故選：ABD.【解題總結(jié)】【變式4-1】（多選題）（2025·河南鶴壁·二模）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因為，所以，所以，因為，，所以，所以選項B、D錯誤，A、C正確.故選：AC.【變式4-2】（多選題）若，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】先證明結(jié)論：對任意，，有；證明如下：因為，所以為減函數(shù)，所以，即，設(shè)，即，則為減函數(shù)，所以，即，從而，也就是，當時，可得，A正確，B錯誤；應(yīng)用上面的結(jié)論可得：，故D正確，C錯誤.故選：AD【變式4-3】（多選題）已知正數(shù)滿足，則下列不等關(guān)系正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】令，則，，，.A選項：，故A正確；B選項：，故B錯誤；C選項：，故；，故；從而，故C正確；D選項：由A知，則，故D正確.故選：ACD.【變式4-4】（多選題）若，，則下列選項正確的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】對于選項A，，又易知在上單調(diào)遞增，所以，故選項A錯誤，對于選項B，因為，，則，，又，，所以，故選項B正確，對于選項C，易知，，所以，故選項C正確，對于選項D，由選項C知，，所以，故選項D錯誤，故選：BC.題型五：解簡單的對數(shù)方程或不等式【例5】（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)則不等式的解集為.【答案】【解析】由函數(shù)，當時，可得且，則此時不等式，即為，即，令，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以，所以的解集為；當時，不等式，即為，此時不等式不成立，舍去；當時，可得且，則此時不等式，可得，令，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，所以的解集為，綜上可得，不等式的解集為.故答案為：.【解題總結(jié)】【變式5-1】（2025·福建寧德·三模）設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是.【答案】【解析】由可得，則，解得，所以定義域為，當時，，由可得，即，無解；當時，，由可得，即，即，解得，又，所以，即不等式的解集為.故答案為：【變式5-2】不等式的解集為．【答案】【解析】由，得，所以，即，所以不等式的解集為．故答案為：.【變式5-3】（2025·湖南邵陽·三模）已知減函數(shù)（，且）的圖象過點，且，分別是方程的兩個實數(shù)根，則的值為．【答案】4【解析】由方程，解得：或，解得或，當，時，，得，此時函數(shù)為增函數(shù)，故舍去；當，時，，又，得，此時,故答案為：4【變式5-4】已知分別是方程與的實數(shù)解，則的值為．【答案】10【解析】由可得，由可得，不妨記，依題意，為與的交點的橫坐標，為與的交點的橫坐標，作出這些函數(shù)的圖象如下：因函數(shù)與是一對反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，而直線與直線垂直，故也關(guān)于直線對稱，則點與點也關(guān)于直線對稱，故得，化簡得：，即.故答案為：10.題型六：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例6】（2025·上?！と＃┰O(shè)且，已知函數(shù)．(1)判斷是否為偶函數(shù)，并說明理由；(2)令函數(shù)，解關(guān)于的不等式．【解析】（1）是偶函數(shù).理由如下：因為，且，即定義域為，定義域關(guān)于原點對稱.，是偶函數(shù).（2）為偶函數(shù)，令.當時，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由，得且，解得.當時，在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，得且，解得.綜上所述：當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.【解題總結(jié)】求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個問題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成.【變式6-1】（2025·江蘇蘇州·三模）已知函數(shù)．(1)若，解關(guān)于的不等式；(2)證明：關(guān)于的方程有且僅有一個實根；(3)證明：的充要條件是．【解析】（1），令．因為和均單調(diào)遞增，所以易得單調(diào)遞增．因為，所以，等價于，所以．（2）令．由，可得，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（ⅰ）當時，，因為，所以．令，顯然單調(diào)遞增，且，，所以在上有唯一解，即有唯一實根．（ⅱ）當時，．令，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，所以無解．綜上所述，有唯一實根．（3）先證必要性：因為，所以，即，因為單調(diào)遞增，所以．再證充分性：因為，所以，即．綜上所述，命題得證．【變式6-2】（2025·上海寶山·三模）已知，函數(shù).(1)若，求函數(shù)的表達式及定義域；(2)若關(guān)于的方程的解集中恰好只有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），令，則因為，所以，又得，解得或，則函數(shù)的定義域為；（2）由（1）得方程，即可轉(zhuǎn)化為，且①當即時，，符合題意；②當即時，（i）當時，符合題意（ii）當時，且時，要滿足題意，則有或無解綜上可得，的取值范圍.【變式6-3】已知.(1)當時，方程恰有一個解，求的取值范圍；(2)當時，解不等式；(3)當時，已知函數(shù)在上至少有3個零點，請求出的取值范圍.【解析】（1）時，，畫出函數(shù)圖象，如下：數(shù)形結(jié)合可得：或；（2），由于，故，，即，變形為，即，故解得，故，又，故，所以原不等式的解集為；（3）令，即，故，當時，在上至少有3個零點，故在上至少有3個根，因為，所以在上單調(diào)遞增，故當時，，又開口向上，對稱軸為，且時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，則，因為，當時，，故無解，令，由，得，解得或，而，由于在R上至少有3個零點，只需，又，解得，此時，故至少對應(yīng)一個根，滿足要求，當時，解得，負值舍去，此時對應(yīng)一個根，，對應(yīng)兩個根，從而有3個根，符合題意，因此.所以的取值范圍是.題型七：對數(shù)型糖水不等式【例7】已知則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以，則，所以；因為，所以，則，所以；綜上，.故選：A.【解題總結(jié)】設(shè)，，則有.上式的倒數(shù)形式：設(shè)，，則有.【變式7-1】設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，，，，所以.故選：D【變式7-2】關(guān)于下列兩個命題的正確的判斷是（

）甲：；乙：.A．甲乙都成立 B．僅甲成立 C．僅乙成立 D．甲乙都不成立【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，所以所以所以構(gòu)造函數(shù)則令可得，當時，在上單調(diào)遞減，所以即所以所以又因為為增函數(shù)，所以故選：D.【變式7-3】設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】①因為，而，所以．②因為，則，即，即，因為，則，即，即，故．③因為，則，即，即，因為，則，即，即，所以，故．故選：A.【變式7-4】已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，所以，又，所以.故選：A題型八：恒成立與有解問題【例8】已知函數(shù)，，，；(1)當時，求函數(shù)的值域；(2)當時，恒成立，求的取值范圍；(3)若存在，使得不等式對任意，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）當時，，且在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，，，所以（2）令，因為，所以，依題意可得在上恒成立，即在上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，所以.（3）由（1）知，在上的最大值為，所以對任意，恒成立，即，令，，①，即時，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以；②，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以；③，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以；④，即時，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以綜上可得，的取值范圍為.【解題總結(jié)】分離參數(shù)【變式8-1】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若．（i）求的值域；（ii）若對于，使得恒成立，求所有滿足條件的的取值范圍．【解析】（1）由題意知，與互為反函數(shù)．將替換為，替換為得：，即，所以．（2）（i）對于，由，，則，，所以的值域為．（ii）∵，使得恒成立，∴．即在上恒成立，得：在上恒成立，參變分離得：．∵在上單調(diào)遞增，∴．∴，∴的取值范圍為．【變式8-2】已知是偶函數(shù)，，且在上單調(diào)遞增．(1)比較與2的大?。?2)求不等式的解集；(3)若函數(shù)，且，且不等式在上恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）因為是偶函數(shù)，所以．又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，則，即．（2）由，得，得，解得或，即不等式的解集為．（3）當時，在上單調(diào)遞減，在值域為，所以不等式不恒成立．當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使不等式在上恒成立，則，得，得，即．綜上，的取值范圍為．【變式8-3】已知，函數(shù)的最大值為4，最小值為0.(1)求的值(2)若不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），由得，，又a＞0，因此的最大值為，最小值為，解得．（2），又，，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為，，所以．由不等式在上有解，得：．因此，的取值范圍是．題型九：利用反函數(shù)的性質(zhì)求解【例9】（2025·吉林·三模）已知正實數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，當時，，當時，，故在上遞增，在上遞減，故，所以，故，故，故的圖像在的下方.∵∴，如圖，為函數(shù)與函數(shù)圖象交點的橫坐標，為函數(shù)與函數(shù)圖象交點的橫坐標，為函數(shù)與函數(shù)圖象交點的橫坐標，由圖知，，而，由為增函數(shù)得，故，故A，B選項錯誤.由得，．∵與的圖象關(guān)于直線對稱，∴點和關(guān)于對稱，且，，∴且，∴，故C選項錯誤.∵，∴，故D選項正確．故選：D.【解題總結(jié)】利用反函數(shù)的性質(zhì)求解【變式9-1】（2025·高三·廣東廣州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，，若，則下列各式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可得，即，在同一坐標系中分別繪出函數(shù)，，的圖象，由，可知，由，可得，聯(lián)立，解得，因為函數(shù)與互為反函數(shù)，所以由反函數(shù)性質(zhì)知、關(guān)于對稱，則，，且，，對于A，，故A錯誤；對于B，由，，則，故B正確；對于C，因為，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：B.【變式9-2】已知函數(shù)，若存在使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)的反函數(shù)為，由可得，所以題干等價為與的圖象在區(qū)間有交點，因為與的圖象關(guān)于直線對稱，所以兩函數(shù)圖象交點必在上，故圖象與直線在區(qū)間有交點，則在區(qū)間有解，則，令，則，則在區(qū)間單調(diào)遞增，又，則的取值范圍為．故選：D【變式9-3】已知函數(shù)，若有且只有兩個不等根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方程可化為：，也即有且只有兩個不同交點，又與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，也即要使有且只有兩個不同交點，只需與有兩個不同交點，有兩函數(shù)的圖象結(jié)構(gòu)可知才有可能，下面先求取何值，與的圖象相切，設(shè)切點坐標為，可得，解得：也即當即與的圖象相切.（如下圖）結(jié)合圖象可知當有兩個交點.所以的取值范圍是，故選：C【變式9-4】（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)方程有兩個不同的根，分別是則（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】由題意得：為R上的增函數(shù)，且當時，，，當時，，，方程有兩個不同的根等價于函數(shù)與的圖象有兩個交點，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知與圖象關(guān)于對稱，則兩點關(guān)于對稱，中點在圖象上，由，解得：.所以.故選：B【變式9-5】（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知，分別是關(guān)于的方程，的根，則下面為定值2023的是（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】C【解析】由已知條件可知，，，令，，，如圖所示，曲線與曲線關(guān)于直線對稱，曲線關(guān)于直線對稱，設(shè)曲線分別與曲線，交于點，，則點，關(guān)于直線對稱，而點關(guān)于直線對稱的點為，即為點，則，即.故選：C.

1．已知，.設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】（方法一）因為，所以，所以，即.因為，所以，所以，即，所以.（方法二）因為，所以，所以，即.因為，所以，所以，即，所以.（方法三）因為，，即，，又因為，，所以，即，，的大小比較可參考方法一、二.所以.故選：B.2．（2025·廣東·一模）已知曲線與曲線只有一個公共點，則（

）A． B．1 C．e D．【答案】B【解析】方法一：由已知曲線與曲線只有一個公共點，方程只有一個實數(shù)解，而，則只考慮，即，令，則，而在單調(diào)遞增，且，所以時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，而時，；時，，所以．方法二：由已知曲線與曲線只有一個公共點，則曲線與曲線只有一個公切點，設(shè)其坐標為，根據(jù)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像之間的關(guān)系，所以有，即，所以，設(shè)，則在單調(diào)遞減，而，所以，所以．方法三：由于函數(shù)的反函數(shù)為，兩函數(shù)關(guān)于對稱，由于，令，則，即函數(shù)與函數(shù)相切于點，同理，，令，即函數(shù)．與函數(shù)也相切于點，于是函數(shù)與函數(shù)相切于點，由選項可知，．故選：B.3．若，則

A． B． C． D．【答案】B

【解析】解法一：令，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．又，所以，所以故選B．解法二：由，取，得令，則在上單調(diào)遞增，且，，所以，在上存在唯一的零點，所以，故，都不成立，排除A，取，得令，則在上單調(diào)遞增，且，，所以，在上存在唯一的零點，所以，故不成立，排除故選

①數(shù)形結(jié)合1．設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是

A． B． C． D．【答案】D

【解析】作出函數(shù)的圖像如圖所示，要使，則或即或因此故選：2．已知，則下列不正確的是

A． B．C． D．【答案】D

【解析】因為，所以，，所以a，b分別是，與圖象交點的橫坐標，因為，的圖象關(guān)于直線對稱，也關(guān)于直線對稱，所以兩交點，關(guān)于直線對稱，所以，，所以，故A正確；因為，，所以，故B正確，D不正確；因為，所以，故C正確．故選：3．若，則a，b，c的大小關(guān)系為

A． B． C． D．【答案】A

【解析】因為，而當時，，當時，，所以，因為，而當時，，所以，因為，而當時，，所以，由，得，，所以b為和圖象交點的橫坐標，c為和圖象交點的橫坐標，在同一個平面直角坐標系作出，和的圖象，如圖所示，由圖可得綜上，故選：②轉(zhuǎn)化與化歸4．已知，，則（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B

【解析】由題可知：，，因為與互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，點為的圖象與直線的交點，點為的圖象與直線的交點，這兩點也關(guān)于直線對稱，所以，所以故選：5．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為

A． B． C． D．【答案】D

【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞減，令，而函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，都有恒成立，，故選：6．已知函數(shù)則滿足的實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】當x時，，，所以x在上單調(diào)遞增；當x時，x，x，所以x在上單調(diào)遞減，若，則，故，所以的圖象關(guān)于對稱，對于，則，可得，所以故選：③分類討論7．若不等式在上有解，則a的取值范圍是

A． B．C． D．【答案】C

【解析】因為有解，令，，則在時，存在的圖像在的圖像的上方，當時，由基本函數(shù)圖像可知，在時恒成立；當時，是減函數(shù)，是增函數(shù)，由圖象特征可知，解得故選8．已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過

A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【答案】D

【解析】當

時，，可得函數(shù)的圖象單調(diào)遞增，且過第一、三、四象限，由時，，

可得函數(shù)的圖象單調(diào)遞減，且過第二、三、四象限，故選9．若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)m取值范圍是

A． B．C． D．【答案】A

【解析】由題意，函數(shù)的定義域為一切實數(shù)，等價于在R上恒成立，若，則在R上恒成立，滿足條件；若，則滿足，即，解得綜上，實數(shù)m的取值范圍是故選

基礎(chǔ)過關(guān)篇1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意不妨設(shè)，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，對于選項AB：可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯誤；對于選項D：例如，則，可得，即，故D錯誤；對于選項C：例如，則，可得，即，故C錯誤，故選：B.2．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得，則，即，所以.故選：D.3．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】解法一：由題意可知：的定義域為，令解得；令解得；若，當時，可知，此時，不合題意；若，當時，可知，此時，不合題意；若，當時，可知，此時；當時，可知，此時；可知若，符合題意；若，當時，可知，此時，不合題意；綜上所述：，即，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為；解法二：由題意可知：的定義域為，令解得；令解得；則當時，，故，所以；時，，故，所以；故，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故選：C.4．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）化簡（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】原式，故選：C5．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，故.故選：D.6．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【解析】因為，，即，所以．故選：C.7．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D【解析】當，時，，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.當，時，，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.當，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.當，時，因,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.8．（多選題）（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由題意可知：，對于選項A：可得，因為，則，即，所以且，可得，故A正確；對于選項B：可得，因為，則，即，所以且，可得，當且僅當時，等號成立，故B錯誤；對于選項C：因為，即，可得，即，故C正確；對于選項D：由選項A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.9．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知且，則．【答案】64【解析】由題，整理得，或，又，所以，故故答案為：64.10．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)，則．【答案】1【解析】函數(shù)，所以.故答案為：111．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）放射性物質(zhì)是指那些能自然地向外界輻射能量，發(fā)出射線的物質(zhì).在一個給定的單位時間內(nèi)，放射性物質(zhì)的質(zhì)量會按某個衰減率衰減.一般是用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱為半衰期.考古學(xué)中常利用生物標本中的碳元素穩(wěn)定持續(xù)衰減的現(xiàn)象測定遺址的年代.已知碳的半衰期為年.現(xiàn)在實驗室測定某遺址內(nèi)動物標本中碳含量為正常大氣中碳含量的.則該遺址大約距今（

）（）A．年 B．年 C．年 D．年【答案】C【解析】不妨設(shè)動物標本中碳含量初始值是個單位，則經(jīng)過年動物標本中碳含量為，令，則年.故選：C.12．（2025·陜西漢中·三模）聲音的強弱可以用聲波的能流密度來計算，叫做聲強.通常人耳能聽到聲音的最小聲強為（瓦/平方米）.在某特殊介質(zhì)的實驗中對于一個聲音的聲強，用聲強與比值的常用對數(shù)來表示聲強的“聲強級數(shù)”，即，則“聲強級數(shù)8”的聲強是“聲強級數(shù)6”的聲強的（

）A．2倍 B．20倍 C．100倍 D．1000倍【答案】C【解析】當時，代入聲強級數(shù)公式可得.可將上式變形為.那么，解得.當時，代入聲強級數(shù)公式可得.則，可得，解得..故“聲強級數(shù)”的聲強是“聲強級數(shù)”的聲強的100倍.故選：C.13．（2025·廣東·模擬預(yù)測）實數(shù)滿足：，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，令，則，，.令得；令得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，∴，即，解得.故選：D.14．（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）對數(shù)的第一位小數(shù)的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】設(shè)對數(shù)的第一位小數(shù)位，第二位小數(shù)及以后的值為，則，∴，又，∴，即，所以，故選：B.15．（2025·江西南昌·模擬預(yù)測）已知a，b均為正數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，所以，即，所以，所以，所以“”是“”的充分條件；取，可得，故“”是“”的不必要條件；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.16．（2025·浙江紹興·三模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為關(guān)于直線對稱的點為，則的對稱點為，又在函數(shù)的圖象上，故，解得，故選：.17．（2025·四川樂山·三模）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，又因為，所以，故選：B.18．（2025·甘肅白銀·三模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，所以．故選：D.19．（多選題）（2025·安徽合肥·三模）已知且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】AB【解析】由，且，則，即函數(shù)過點,當時，函數(shù)單調(diào)遞增，過第一、二、三象限；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，過第一、二、四象限．故選：AB．20．（多選題）（2025·安徽六安·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】對于A，，因，則，故A正確；對于B，由，，可得，則，故，故B正確；對于C，由B項可得，則，故C錯誤；對于D，因，故D正確.故選：ABD.21．（多選題）（