PAGE培優(yōu)點10整數(shù)解問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01重點解讀 202思維升華 303典型例題 4題型一：直接法 4題型二：分離參數(shù)法 4題型三：分離函數(shù)法 5題型四：隱零點法 6題型五：必要性探路法 704課時精練 8

利用導(dǎo)數(shù)解決整數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的一類特色題型，常出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用題中。這類問題通常結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、極值以及整數(shù)取值范圍進(jìn)行考察。解題時，首先通過求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值點，確定函數(shù)在不同區(qū)間的變化趨勢。接著，根據(jù)題目條件，結(jié)合函數(shù)圖像或性質(zhì)，找出滿足整數(shù)條件的自變量取值范圍。這往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在關(guān)鍵點（如整數(shù)點）的取值情況，或通過放縮法、不等式估計等方法確定整數(shù)解的邊界。高考中，這類問題注重考查學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力。備考時，應(yīng)加強(qiáng)對導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的理解，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性和極值的方法，同時注重整數(shù)問題的解題技巧訓(xùn)練，如合理放縮、利用函數(shù)單調(diào)性縮小范圍等。

利用導(dǎo)數(shù)解決整數(shù)問題，關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與整數(shù)取值范圍進(jìn)行推理，以下是具體方法總結(jié)：（1）求導(dǎo)分析單調(diào)性：對目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)的增減區(qū)間和極值點。（2）確定關(guān)鍵點取值：計算函數(shù)在整數(shù)點或關(guān)鍵點（如極值點、邊界點）的函數(shù)值，明確函數(shù)在這些點的取值范圍。（3）結(jié)合整數(shù)條件推理：根據(jù)題目要求的整數(shù)條件，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和關(guān)鍵點取值，推理出自變量的整數(shù)取值范圍。例如，若函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)遞增，且已知某整數(shù)點的函數(shù)值，則可推斷出該點附近滿足條件的整數(shù)解。（4）驗證與調(diào)整：對推理出的整數(shù)解進(jìn)行驗證，確保其滿足題目條件。必要時，通過調(diào)整參數(shù)或進(jìn)一步分析函數(shù)性質(zhì)，縮小或擴(kuò)大整數(shù)解的范圍。

題型一：直接法【例1】（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若不等式恒成立，求整數(shù)的最大值.【變式1-1】已知函數(shù)，若有且只有兩個整數(shù)使得，且，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【變式1-2】已知函數(shù)．(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．題型二：分離參數(shù)法【例2】已知函數(shù)與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點，若存在唯一的整數(shù)，則實數(shù)的最小值是（

）A．0 B． C． D．1【變式2-1】（2025·安徽淮北·二模）若關(guān)于的方程有3個不同實根，則滿足條件的整數(shù)的個數(shù)是（

）A．24 B．26 C．29 D．31【變式2-2】已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且對任意的實數(shù)都有（是自然對數(shù)的底數(shù)），，若不等式的解集中恰有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2-3】已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2-4】當(dāng)時，恒成立，則整數(shù)的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3題型三：分離函數(shù)法【例3】定義在上的函數(shù)滿足，（為的導(dǎo)函數(shù)），若存在唯一的整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-1】若當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，則滿足條件的a的最小整數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-2】已知函數(shù)，若不等式的解集中有且僅有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若不等式的解集中有且僅有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型四：隱零點法【例4】已知函數(shù)（）.(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)a為整數(shù)時，若恒成立，求a的最小值.【變式4-1】設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，t為整數(shù)，且當(dāng)時，不等式恒成立，求t的最大值．【變式4-2】已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明理由；(2)若函數(shù)在上的最大值在區(qū)間內(nèi)，求整數(shù)m的值．【變式4-3】（2025·安徽安慶·二模）對任意，使得不等式成立的最大整數(shù)為（

）A． B． C． D．題型五：必要性探路法【例5】已知函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．若對定義域內(nèi)的一切實數(shù)，都有，求整數(shù)的最小值．（參考數(shù)據(jù)：）【變式5-1】已知函數(shù)，對，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．【變式5-2】對一切的恒成立，試求出整數(shù)的最大值．

1．若不等式（其中）的解集中恰有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，，若不等式（其中）的解集中恰有三個整數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）若當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，則滿足條件的a的最小整數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．34．若關(guān)于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，若的解集為，且中恰有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)存在零點，則整數(shù)的最小值是（

）A． B． C．0 D．17．（2025·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知對任意實數(shù)都有，，若不等式（其中）的解集中恰有兩個整數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，若的整數(shù)有且僅有兩個，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．（2025·高三·黑龍江哈爾濱·期末）設(shè)函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式的解集中有且只有三個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是．12．已知函數(shù)，直線，若有且僅有一個整數(shù)，使得點在直線上方，則實數(shù)的取值范圍是．13．已知函數(shù)，設(shè)，若只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是；若不等式的解集中有且只有四個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．14．不等式解集中有且僅含有兩個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是．15．已知函數(shù)有兩個零點a、b，且存在唯一的整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是.16．已知定義域為R的函數(shù)，若不等式（其中）的解集中恰有兩個整數(shù)，則的取值范圍是．17．已知函數(shù)，的圖象在處的切線為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，比較與大小關(guān)系，并說明理由；(3)若對任意的，對任意的恒成立，求滿足條件的最大整數(shù)的值．18．已知函數(shù)，若在處取得極值-6.(1)求的值；(2)若都為整數(shù)，當(dāng)時關(guān)于的方程有兩個不同的解，求實數(shù)的范圍.19．已知函數(shù)在和處取得極值.(1)求；(2)，求整數(shù)的最大值.20．（2025·高三·河南·開學(xué)考試）已知函數(shù)（）在處取得極值．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求整數(shù)的最小值．參考數(shù)據(jù)：，．21．（2025·高三·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)在時取得極值，且滿足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若存