試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁安徽省宿州市宿城一中城南學校2025-2026學年高三上學期開學模擬檢測數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．某項比賽共有7個評委評分，若去掉一個最高分與一個最低分，則與原始數(shù)據(jù)相比，一定不變的是（

）A．極差 B．45%分位數(shù) C．平均數(shù) D．眾數(shù)2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且滿足，則（

）A．2 B． C．5 D．3．已知圓錐的體積為，其側(cè)面積與底面積的比為，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．4．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．5．函數(shù)滿足：，若，，則（

）A．1 B． C．5 D．6．已知為坐標原點，過拋物線焦點的直線與該拋物線交于，兩點，若，若面積為，則（

）A．4 B．3 C． D．7．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則“為有理數(shù)”是“數(shù)列中存在有理數(shù)”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．六安市旅游資源非常豐富，夏季到景點漂流是很多家庭的最佳避暑選擇.某家庭共6個人，包括4個大人，2個小孩，計劃去霍山漂流.景點現(xiàn)有3只不同的船只可供他們選擇使用，每船最多可乘3人，為了安全起見，小孩必須要大人陪同，則不同的乘船方式共有（

）種.A．348 B．288 C．360 D．60二、多選題9．設(shè)，，是樣本空間中三個概率大于0的隨機事件，則下列選項正確的是（

）A．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件B．事件，相互獨立與，互斥不能同時成立C．若成立，則事件與相互獨立D．若成立，則事件，，一定兩兩獨立10．已知是坐標原點，對任意，函數(shù)的圖象上總存在不同兩點，使得，則下列選項中滿足條件的有（

）A． B． C． D．11．設(shè)正整數(shù)，其中，記為上述表示中為1的個數(shù)．例如：，所以．已知集合，下列說法正確的是（

）A．B．對任意的，有C．若，則使成立的的取值個數(shù)為D．三、填空題12．的展開式中的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.13．直線經(jīng)過橢圓的兩個頂點，則該橢圓的離心率為．14．“布朗運動”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子作布朗運動時每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時試驗結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗結(jié)束時該粒子是從1號倉到達容器外的概率為．

四、解答題15．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間上的最大值為，求它在該區(qū)間上的最小值．16．如圖，在三棱臺中，上?下底面是邊長分別為4和6的等邊三角形，平面，設(shè)平面平面，點分別在直線和直線上，且滿足.(1)證明：平面；(2)若直線和平面所成角的余弦值為，求該三棱臺的體積.17．如圖，在中，角，，所對的邊分別為，，，過內(nèi)一點的直線與直線交于，記與夾角為．(1)已知，（i）若為的垂心，．求的值；（ii）為的重心，，，求；(2)請用向量方法探究與的邊和角之間的等量關(guān)系是否成立?18．已知拋物線.過點的動直線與交于兩點（在第一象限），且（為坐標原點）.(1)求的值；(2)設(shè)拋物線在處的切線交于點，求面積的最小值；(3)面積最小時，過作直線交拋物線于兩點.軸且的中點在直線上，證明：直線過定點.19．有2n朵花圍繞在一個圓形花圃周圍，現(xiàn)要將其兩兩配對綁上緞帶作為裝飾，緞帶之間互不交叉，例如：時，共有4朵花，以1、2、3、4表示，綁上緞帶的兩朵用一條線連接，共有2種方式，如圖1、2所示．(1)當時，求滿足要求的綁緞帶方法總數(shù)；(2)已知滿足要求的每一種綁法出現(xiàn)的概率都相等，如時，出現(xiàn)圖1和圖2所示方法的概率均為．記一次綁法中，共有Y對相鄰的兩朵花綁在一起，（i）當時，求Y的分布列和期望；（ii）已知：對任意隨機變量（，2，…，m，），有．記滿足條件的綁緞帶方法總數(shù)為，Y的期望為．求（用n和表示）．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《安徽省宿州市宿城一中城南學校2025-2026學年高三上學期開學模擬檢測數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案BCDBDAAAABCACD題號11答案ACD1．B【分析】根據(jù)極差、百分位數(shù)、平均數(shù)以及眾數(shù)的含義逐一判斷即可.【詳解】不妨設(shè)原始數(shù)據(jù)為：，原始數(shù)據(jù)的極差為：，平均數(shù)為，眾數(shù)為，去掉一個最高分與一個最低分后剩下數(shù)據(jù)為：，剩下數(shù)據(jù)的極差為：，平均數(shù)為，眾數(shù)為和3，由此可知，與原始數(shù)據(jù)相比，剩下數(shù)據(jù)的極差，平均數(shù)，眾數(shù)可能發(fā)生改變，故A，C，D錯誤，對于B項，假設(shè)這7個數(shù)據(jù)從小到大為，去掉一個最高分與一個最低分后剩下數(shù)據(jù)為：，因為，，所以原始數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第四個數(shù)，即，剩下的數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第3個數(shù)，即所以與原始數(shù)據(jù)相比，剩下數(shù)據(jù)的分位數(shù)不變，故B正確；故選：B．2．C【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運算，先求復(fù)數(shù)后求積即可.【詳解】設(shè)，則，，所以有，解得，即所以.故選：C.3．D【分析】先設(shè)出圓錐的半徑母線和高，根據(jù)側(cè)面積與底面積的比找到母線和半徑的關(guān)系，再找到高和半徑的關(guān)系最后根據(jù)體積值求出半徑再利用表面積公式即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，母線長為，高為，因為其側(cè)面積與底面積的比為，，即，由圓錐的基礎(chǔ)知識可知：，所以，又因為圓錐的體積為，所以，所以，所以圓錐的表面積為，故選：D4．B【分析】利用平移思想，結(jié)合正切函數(shù)平移都是奇函數(shù)，可得的取值可能，從而可得最小值.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù),由為奇函數(shù)，則，因為，所以的最小值是，故選：B.5．D【分析】分析函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的周期性求的值.【詳解】由題意可得：，用代替可得：，兩式相加得：.所以，所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù).所以.又，所以.所以.所以.故選：D6．A【分析】求出拋物線的焦點坐標，設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合拋物線的定義及三角形面積公式列式求出【詳解】拋物線的焦點，設(shè)直線，點，由消去得，則，，即，，，則，因此，所以.故選：A【點睛】易錯點睛：有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．7．A【分析】利用等差數(shù)列的定義、特例法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可得出合適的選項．【詳解】由已知設(shè)，又，則．當是3的倍數(shù)時，，若為有理數(shù)，則是有理數(shù)，故數(shù)列中存在有理數(shù)成立．因為，則，所以“為有理數(shù)”能使“數(shù)列中存在有理數(shù)”成立．若“數(shù)列中存在有理數(shù)”，不妨設(shè)，，則為有理數(shù)，是無理數(shù)，故“為有理數(shù)”是“數(shù)列中存在有理數(shù)”的充分不必要條件．故選：A．8．A【分析】討論6人乘坐3只船或乘坐2只船，根據(jù)這兩種情況，結(jié)合分組分配模型，即可列式求解.【詳解】①若6人乘坐3只船：先將4個大人分成三組有種方法，然后將三組排到3只船有種方法，再將兩個小孩排到3只船有種方法，所以共有種方法.②若6人乘坐2只船：共有種方法，綜上共有：種方法.故選：A9．ABC【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的關(guān)系判斷A；結(jié)合乘法公式可判斷BC；舉例判斷D.【詳解】對于A：根據(jù)互斥事件與對立事件的定義可知A正確；對于B：當，且時，,事件，不相互獨立，所以事件，相互獨立與，互斥不能同時成立，故B正確；對于C：由相互獨立的定義可知，故C正確；對于D：假設(shè)一個正八面體，八個面分別標以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為．事件，事件，事件．顯然，事件，顯然，滿足，而此時，而，，不能推出，相互獨立，故D錯誤；故選：ABC．10．ACD【分析】利用數(shù)形結(jié)合來研究各選項，把交點存在問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題，通過解方程可判斷AD，對于B通過舉反例找到矛盾可判斷，對于C，則再次利用數(shù)形結(jié)合來研究方程是否有解，從而可判斷C.【詳解】由圖可知：過原點一定存在過原點的直線交曲線于兩點，設(shè)，則由，可得，即，消元得：，對任意的，必存在，，故A正確；又由圖可知：過原點一定存在過原點的直線交曲線于兩點，同上述方法可得：由，消元得：，不妨令，則上式變?yōu)?，此時因為，所以此時不存在兩點，也就是不能對任意的，都有，故B錯誤；又由圖可知：過原點一定存在過原點的直線交曲線于兩點，同上述方法可得：由，消元得：，通過構(gòu)造兩個函數(shù)和，當時作圖分析：由于，函數(shù)圖像是把正弦函數(shù)的橫坐標壓縮到原來的倍，縱坐標不變，而函數(shù)圖像是把正弦函數(shù)的縱坐標伸長到原來的倍，橫坐標不變，此時兩圖象必有無數(shù)個交點，所以方程必有解，即對任意的，必有，故C正確；由圖可知：過原點一定存在過原點的直線交曲線于兩點，同上述方法可得：由，消元得：，整理得：，即或，對任意的，顯然存在和或和的解，則必有，故D正確；故選：ACD.11．ACD【分析】由及新定義判斷A，舉反例判斷B，結(jié)合，根據(jù)的定義即可求解判斷C，根據(jù)的定義得，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)利用倒序相加法即可求解判斷D.【詳解】對于A，，有2個1，所以，正確；對于B，當時，，所以，此時，不符合題意，錯誤；對于C，注意到，所以集合中的任一元素均可由唯一表示，能使的的取值個數(shù)為，正確；對于D，，記，又，兩式相加得，所以，則，正確.故選：ACD12．-60【分析】利用二項式通項公式找到含項，再從這些項中找到含的項.【詳解】由二項式的通項公式得：的通項公式為：，令，得的通項公式為：令，解得：，,項為的系數(shù)是-60.13．/【分析】由直線方程求得其在坐標軸上截距，可得橢圓的的值，根據(jù)離心率的公式，可得答案.【詳解】當時，由，則；當時，由，則，由題意可得為橢圓的頂點，則橢圓的方程為，所以，可得，所以離心率.故答案為：.14．【分析】定義從出發(fā)最終從1號口出的概率為，結(jié)合獨立乘法、互斥加法列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)從出發(fā)最終從1號口出的概率為，所以，解得.故答案為：.15．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間(2)【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，再解關(guān)于導函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合（1）可知函數(shù)的單調(diào)性，從而由函數(shù)的最大值求出的值，即可求出函數(shù)的最小值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又令，解得，令，則或，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間.（2）由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，則，解得，所以，又，，所以在區(qū)間上的最小值為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，再結(jié)合線面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，利用線面角的向量求法及棱臺的體積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由三棱臺知，平面，因為平面，且平面平面，所以，因為，所以，又，平面，所以平面；（2）取中點，連接，以為原點，為軸，為軸，過點做軸垂直于平面，建立空間直角坐標系如圖，設(shè)三棱臺的高為，則設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得平面的一個法向量，易得平面的一個法向量，設(shè)與平面夾角為，，所以由，得，由（1）知，所以，解得，所以三棱臺的體積.17．(1)（i）；（ii）(2)成立，理由見解析【分析】（1）（i）利用正弦定理將邊化角，再由余弦定理求得，再結(jié)合即可求解；（ii）由及數(shù)量積模的運算求得，根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換得，將代入求值即可.（2）由，結(jié)合數(shù)量積可得，再運用數(shù)量積定義可分別求出、、，代入整理即可.【詳解】（1）（i）由，結(jié)合正弦定理角化邊可得：，所以，由為三角形內(nèi)角，所以，又為的垂心，所以，所以，所以；（ii）因為，由（i）可知，由M為的重心，得，則，在中，由正弦定理，得，由，得平分，又，所以.（2）直線與的邊相交于點，如圖，由，得，即，又，，，因此，所以.18．(1)(2)32.(3)證明見解析【分析】（1）設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，可求；（2）求導可求得兩點處的切線方程，聯(lián)立方程可求得點的坐標，利用弦長公式與點到直線的距離公式可求得，可求最小值；（3）由（2）得，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)，聯(lián)立方程①，②，.（2）由（1）知，故處切線方程為：，即.同理，點處切線方程為：.聯(lián)立解得.由②及可得.方程①中，.點到直線的距離.故，當且僅當時等號成立，故面積的最小值為32.（3）由（2）知，此時，設(shè)，聯(lián)立方程，，，令，得，，又，即，所以三點共線，故直線過定點.19．(1)5(2)答案見解析【分析】（1）給6朵花合適代號，再分三類討論即可；（2）（i）分類討論出所有合適情況，再按步驟列出其分布列計算其期望即可；（ii）分和討論即可.【詳解】（1）當時，有6朵花圍繞在一個圓形花圃周圍.以1、2、3、4、5、6表示，由題意可知，滿足要求的綁緞帶方法，任意一條緞帶綁后，其同側(cè)不能剩余奇數(shù)個點，故1必不與奇數(shù)3、5配對.按花朵1的配對情況，分為三類：①1與2配對：另4朵3、4、5、6的配對情況，同時共有4朵花的配對方法數(shù)相同，故有2種方法；②1與6配對：由對稱性可知同1與2配對的方法數(shù)，故有2種方法；③1與4配對：2必與3配對，6必與5配對，故只有1種方法.綜上，完成這件事的方法數(shù)共有種方法