吉林電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院?jiǎn)握袛?shù)學(xué)模擬試題及答案

一、選擇題：在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目規(guī)定的(本大題共12小

題，每題5分，共60分)

1.若全集〃=/?,集合4={劉1一工<0},8={工|/-2工40},則405=

A.{x|l<x<2)B.{x\\<x<2}C.{x\x<1^x>2]

D.{x\x<1或v>2}

2.向量。滿足|Z|=1,|力|=￡Z與硒夾角為60°,則|昨

2

A.1B.立C.L或巫D.-

2222

3.{%}為等差數(shù)列，若也<7,且它B勺前〃項(xiàng)和S有最小值，那么當(dāng)S獲得最小

即)

正值時(shí)，,二

A.11B.17C.19D.21

4.不等式|x|(l-3x)>0的解集是

A?(f：)B.(-oo,0)u(0,1)C.(1,+oo)D.(0,；)

JJJ

5.設(shè)。=-^-(sin173+cosl7),Z?=2cos213°-l,c=—,則

A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

6.在AABC中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么AABC一定是

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等邊三角形

7.隨機(jī)變量E的概率分布規(guī)律為P(^=n)=—(n=1,2,3,4),其中a是常數(shù),

n(n+1)

5

為

*肥直

-<c-

2h2

2345

A-B-c-D-

3456

8.在正項(xiàng)等差數(shù)列｛aj中，前n項(xiàng)和為Sn,在正項(xiàng)等比數(shù)列｛bj中，前n項(xiàng)和為Tn,

S30~S15

右ais=b5,aso=bzo,則()

120-is

B.弓，1)C.[l,+8]D.[12]

A.(0,1)x

9.正三棱推P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球B勺半

徑之比為

A.1:3B.1:(3+V3)C.(V3+l):3D.(V3-l):3

10已知P是橢圓《+￡=1上的點(diǎn)與、Q分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)若至匹二,

2592

則根的面積為

A.373B.273C.V3D.近

3

第n卷（非選擇題共io。分）

二、填空題：把答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上（本大題共5小題，每題5分，共

25分）

11.已知等式（1+工一工2），?（1一2『）'=〃0+…+"|4/4成立，則。］+。2+%+

,?,+〃］3+〃14時(shí)值等于■

12.直線y=2工+m和圓/+y2=1交于點(diǎn)A、B,以x軸的正方向?yàn)槭歼叄?A為終邊

（0是坐標(biāo)原點(diǎn)）的角為a,OB為終邊的角為夕，那么sin（a+/7）是_______.

x>0

13.已知x、y滿足約束條件P'20,貝無(wú)=3中的最小值是-----------?

x+2y-4<0

2x+y-\>0

14.拋物線yXd+n*-（2n+l）x+l（n￡N+）,交x軸于An,Bn兩點(diǎn)，則|AB|十

IA2B2I+...+|AB|的］值為

甲、乙、丙、丁四人做相互傳球練習(xí)，第一次甲傳給其他三人中的一人，第二次由拿

球者再傳給其他

三人中的一人.....且拿球者傳給其他三人中的任何一人都是等可能的,求：

(I)共傳了四次，第四次球傳回到甲的概率；

(II)若規(guī)定：最多傳五次球，且在傳球過(guò)程中，球傳回到甲手中即停止傳球；設(shè)E

表達(dá)傳球停止時(shí)傳

球的次數(shù)，求PC=5).

18.(本小題滿分12分)p

fI\\\、

在四棱推P-ABCD中，底面ABCD是a的正方形，\\\

PA平面ABCD,且PA=2AB--------4

(I)求證：平面PAC_L平面PBD;

(II)求二面角B-PC-D的余弦值.

19.(本小題滿分12分)

2一

若函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=x--(I)求函數(shù)0(x)=g(x)+4/'(x)(2￡R)的單調(diào)區(qū)間

（II）若對(duì)所有日勺工￡[3,”）都有0**）之心-4成立，求實(shí)數(shù)36勺取值范圍.

20.（本小題滿分13分）

已知直線x+V-l=0與橢圓二+二=1（。＞〃〉0）相交于A、B兩點(diǎn)，M是線段

a~b~

AB上的一點(diǎn)，AM=-而,且點(diǎn)M在直線/:y=1x±.

（I）求橢圓的離心率；

（II）若橢圓的焦點(diǎn)有關(guān)直線/B勺對(duì)稱點(diǎn)在單位圓/+）/=1上，求橢圓的方程.

21.（本小題滿分14分）

把正奇數(shù)數(shù)列｛2〃-1｝中時(shí)數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表：

1

35

7911

設(shè)為是位于這個(gè)三隹形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第，個(gè)數(shù)。

(I)若金”=2007,求〃z,〃時(shí)值；

(II)已知函數(shù)/(月的反函數(shù)廣(戈)=8"第3。＞0)為，若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)

第〃行各數(shù)的和為"，求數(shù)列｛/(2)｝時(shí)前〃項(xiàng)和S〃。

參照答案

一、選擇題：

DDCBABDCDA

二、填空題：

11.012.-13.114.-15.?@

52008

三、解答題：

16.解：(I)60;(H)-112分

3xlx3xl+3x2x2xl7

17.解：(I)P=

3427

3x2x2x2x38

(H)PC=5)=12分

3527

18.解：(I)證明：???PA_L平面ABCD:.PA1BD

ABCD為正方形???AC1BD

，BD平面PAC又BD在平面BPD內(nèi)，

平面PACJ_平面BPD6分

(II)解法一：在平面BCP內(nèi)作BN1PC垂足為N,連DN,

???RtZ\PBCgR3PDC,由BNJ_PC得DN_LPC；

???NBND為二面角B-PC-D的平面角，

在4BND中，BN=DN=至。,BD二億

V6

5252.■?

—cr—ci—2a?

AcosZBND=6612分

525

-a~

3

解法二：以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐

標(biāo)系如圖，在平面BCP內(nèi)作BN1PC垂足為N連DN,

VRtAPBC^RtAPDC,SBN1PCDN1PC;

???ZBND為二面角B-PC-D的）平面角8分

設(shè)PN=APC=(aA9aA-2a2)

~BN=~PN-'PB={aX-a,aA-2aA+2a)

'PC=(a,a-2a)-：BN1PC.?.麗?正=()

即(，認(rèn)—ci)ci++(―+2。)(—2。)=02,=—

6

—,a5a、777^,5a《八八

..NB—(—,——)、ND=(―一,—)10分

663663

55a2

----------------(7*2-(/2+

"八NBND36--------36---------9--------1-八

/.cosZBND=__,=__木型------=——12分

|NB||ND|史15

36

解法三：以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空

間坐標(biāo)系，作AM_LPB于M、AN_LPD于N，易證AM_L平面PBC,ANJ_平面PDC,

iS.PM=APBPB=(afi-2a)

B,

PM=(Aafi-2Aa)

AM=PM-PA=(M0,2a(-A+1))

?；AM上PB,.?.施?筋=0

4——?42

A=—AM=(—67,0,—tz),

555

--42

同理AN=(0,—〃,一)

55

----------a2

zAMAN251s八

cos/MAN=.—=——二一10分

\AM\\AN\型/5

25

???二面角B—PC—D的]平面角與NMAN互補(bǔ)

???二面角B-PC-D的余弦值為—g12分

19.解：（1）cp（x）的定義域?yàn)椋?,+8）......12分

△=公_8

①當(dāng)△二/一&工o時(shí),即—2&WZW2標(biāo)寸,（p\x）>0.....3分

②A=公一8>0時(shí)，即A>2衣或A<-272時(shí)

方程V+履+2=0有兩個(gè)不等實(shí)根x,=-I；5&=-%+?2-8

若攵>2叵,則X]<々V0,故“（X）>0......4分

若k<-2V2,則0vX]<x2

當(dāng)0<x<X]時(shí),(p\x)>0;當(dāng)X]<x<七時(shí),。'(工)<。；

當(dāng)/<x時(shí)，e'(x)>0......5分

綜上：

當(dāng)k<-2后時(shí)”。）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0「一展方）及（一女+療與,用）

22

必'可上10-14.(■—k--8-女+~-8,

單調(diào)避減區(qū)間為-----------,------------

22

當(dāng)k>-2&時(shí),8（幻時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間（0,+8）......6分

(2)'：x>ex\nx>ax-aa<....7分

x-\

令人(x)=xM—xe[e,+8)......8分

x-1

Y—Inr—1

則6:X1nxl......9分

(x-l)-

?/當(dāng)x>elbj,(x-Inx-1)=1-->0

x

z.x-lnx-l>^-ln(?-l=e-2>0

.?.〃'*)>()......10分

%*)min=Me)=......11分

/.a<..........12分

e-\

另育翠：xf(x)>cix-axliix-ax+a>0

令〃(x)=xlnx-ax+a,則當(dāng)xe[e,~Ko)時(shí),/z(x)min>0......7分

h'(x)=In冗+1-a,由〃'(x)=0得x=ea~x......8分

且當(dāng)0<x</一時(shí)“")<0,當(dāng)x>時(shí)/(X)>0

/z(x)在(0,-1)單減，在(?母)單增......9分

①當(dāng)時(shí)<e

〃(x)在(《,+?)單增「.〃(工)*=〃(?)=e-ae+a>0

a<—^―......11分

e-\

②當(dāng)〃>2時(shí)，由力(6)20=>e+a>ae

若2<a<e,貝k+a<2e<ae,若a>e,貝ije+a42a<ae,

故。>2不成立......12分

綜上所述?！炊?/p>

20.解：（I）由4”=-凡“知聞是如時(shí)中點(diǎn)，

設(shè)48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(X,必),B(X2,)，2)

x+y-1=0,

由4后加?得：面+b2)x2-2a2x+a2-a2h2=0

2a22b2

馬+-2)+2=K

??.M點(diǎn)的坐標(biāo)為(備,4)

4分

又用頡直線/上：.?.備-吊二。

a2=2b2=2(a2—c2)a2=2c*2

cV2

:.e=-=—.7分

a2

(II)由(I)知〃=c,不妨設(shè)橢圓的一種焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸SO),設(shè)F(A0)有關(guān)直線

/:

y二：x上的對(duì)稱點(diǎn)為(?%,%),

3,

AS2.1=-I,%=7

x-b2

則有0解得:10分

4.

9_2X兒=0.3o=~b-

22J

由已知其+需=1,.?.（1與2+，勿2=],

2

.?.〃=1,???所求的橢圓的方程為$+）/=112分

乙

21.解：（I）???三角形數(shù)表中前〃，行共有1+2+3+…+〃2=’〃"，D個(gè)數(shù),

???第川行最終一種數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給奇數(shù)列中第勺產(chǎn)項(xiàng)，即

2

c皿6+1）,2,

2--------------\=ni~+m-\o

2

2

因此，使得%1n=2007時(shí)〃?是不等式m+m-i>2007的最小正整數(shù)解。

由m2+6一1?2007得“2+6一200820,???另之一":"8（）32>7+,7刻=44。

22

/.m=45。

第45行第一種數(shù)是44,44—1+2=1981,二〃=--。+1=14.

2

(II)V/-'U)=8nx3(x>0),???/(%)=(：)五*>0)。

???第〃行最終一種數(shù)是1+1,且有〃個(gè)數(shù)，若〃2+〃-1將當(dāng)作第〃行第一種數(shù)，則

第〃行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列，故勿=〃(1+〃_1)+(_2)七四="。...

/依)=出行=〃(夕。

故S〃=；+2(；)+3；+°用錯(cuò)位相減法可求得S”=2—(〃+2)(；o

吉林鐵道單招數(shù)學(xué)模擬試題及答案

一.選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目規(guī)定的

1、數(shù)/(x)=的定義域是

A、｛+B、|x|x<-luJU>0｝

C、｛H-lWx<。｝D、｛也<-1<%<0｝

2、在等差數(shù)列｛%｝中，%=9，旬=3,貝位2二

A、-3B、0C、3D、6

3、已知實(shí)數(shù)x、)，滿足f+V+2工=0,則x+3.的最小值為

A、V2-1B、—5/2—1c、V2+1D、-V2+1

4、下面給出四個(gè)命題：

①直線/與平面。內(nèi)兩直線都垂直，則/，。。②通過(guò)直線。有且僅有一種平面垂直于直

線b③過(guò)平面a外兩點(diǎn)，有且只有一種平面與a垂直。④直線/同步垂直于平面。、夕，

則?！ㄊＦ渲袑?duì)的的J命題個(gè)數(shù)為

A、3B、2C、1D、0

5、二項(xiàng)式（V—工）〃的展開式中具有非零常數(shù)項(xiàng),則正整數(shù)n的）最小值為

2x

A、10B、3C、7D、5

6、函數(shù)/（x）-ln（x-x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為

A、（一8,；B、（-0,1）C、（0,1D、1,1）

7、將長(zhǎng)為15的木棒截成長(zhǎng)為整數(shù)的三段，使它們構(gòu)成一種三角形的三邊，則得到的不

一樣三角形的個(gè)數(shù)為

A、8B、7C、6D、5

8在。2乃）內(nèi),使sinx之|cosx|成立的x日勺取值范圍為

B、*5乃7乃rr7T7V-

A、［什JL-T，-T

446匕胃

9.設(shè)平面內(nèi)有AABC及點(diǎn)0,若滿足關(guān)系式：（08+0C）-08+0C—2OA=0,那么

△ABC一定是

A、直角三角形B、等腰直角三角形C、等腰三角形D、等邊三角

形

10.在正四棱錐S-ABCD中，側(cè)面與底面所成角為g，則它的外接球的半徑R與內(nèi)徑

球半徑r的比值為

B、1工1

A、5C、10

二.填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分，把答案填在題在橫線上。

11、tana=—，則sinacosa=

2

12、函數(shù)y=l+的反函數(shù)為

13、如圖,已知A、B兩點(diǎn)分別是橢圓C：f>°泗

左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，而F是橢圓C的右焦點(diǎn)，若43?=O,則橢圓

CB勺離心率e=

y<x

14、假如變量x,y滿足,x+yW1，則z=2x+y的最大值為。

”1

15.已知圓C：f+(>=3)2=4，一動(dòng)直線|過(guò)A(-1,0)與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，M

是PQ中點(diǎn)，I與直線x+3y+6=0相交于N,貝(J|4WH4V|=。

三,解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字闡明、證明過(guò)程或演算郵。

16.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=sin2x+r/sinxcosx-cos2x,且f(-)=1

、4

(1)求常數(shù)a的值及/的最小值；

7T

(2)當(dāng)時(shí)，求/。)的單調(diào)增區(qū)間。

17.(本小題滿分12分)

如圖，在棱長(zhǎng)為I的正方體ABCD-AiBiCiDi中，M為CCi中點(diǎn)。

(1)求二面角Ai-BD-M的大??；

(2)求四面體ArBDM的］體積;

18.(本小題滿分12分)

一袋中放著寫有1號(hào)至5號(hào)的5張紙牌，A、B兩人按A、B、A、B,…時(shí)次序輪番從袋

中不放回時(shí)取出1張紙牌，規(guī)定先取到5號(hào)紙牌者獲勝。

(1)求8第一欠取牌就獲勝的概率；

(2)求B獲勝B勺概率。

19.(本小題滿分12分)

設(shè)數(shù)列|4|的前n項(xiàng)和s「=(T)"(2/+4〃+l)-l,neN\

(1)求數(shù)列㈤的通項(xiàng)公式對(duì)；

(2)記bti=±辿，求數(shù)列出｝前n項(xiàng)和Tn

20.(本小題滿分13分)

過(guò)雙曲線C:V一二二1的右頂點(diǎn)A作兩條斜率分別為％、k2B勺直線AM、AN交雙曲

tn

線C于M、N兩點(diǎn)，其ki、k2滿足關(guān)系式卜點(diǎn)=到2且ki+k2工0,ki>k2

(1)求直線MN的斜率;

(2)當(dāng)m2=2+G時(shí)，若/MAN=60°,求直線MA、NA的)方程；

21.(本小題滿分14分)

42

函數(shù)/(x)=x-lax,g(x)=1o(1)求證：函數(shù)f(x)與g(x)的圖象恒有公共點(diǎn)；(2)

當(dāng)x￡(0,1］時(shí)，若函數(shù)八幻圖象上任一點(diǎn)處切線斜率均不不小于1,求實(shí)數(shù)a的取值范

圍；(3)當(dāng)xw［0,l］時(shí)，有關(guān)工時(shí)不等式|/'(x)|>g(x)的解集為空集，求所有滿足條

件的實(shí)數(shù)。的值。

參照答案

一.選擇題

題號(hào)12345678910

答案ABBCDCCACD

二.填空題

11、|12、y=x2-2x(x>\)13、

14、315、5

2

三、解答題

r/九、A.24?乃冗241

146r.(1)?//(一)=1sin—+cisin—cos----cos?——1

4t4444

a=2

f(x)=sin2x+2sinA:cosx-cos2x=sin2x-cos2x=>/2sin(2x-—)

4

當(dāng)2x—生=2%%一軍,ksz,即x二Z乃一工,Zwz時(shí)

428

sin(2工一f)取最小值-1,從而f\x)取最小值-亞..............................(6分)

4

(2)^2k7v-^<2x-^<2k7ik7i-^<x<k7i+^7v;kez

又/(x)在［0q刈上的單調(diào)遞增......(12分)

28

17.解：（1）在正方體ABCD-AiBiQDi中，棱長(zhǎng)為I,取BD中點(diǎn)為0,連結(jié)0M,

OAi.

?「BM=DM=—,AiB=AiD=x/2

2

從而AOJ_BD,MO_L6O

NAOM為二兩角Ai—BD—M的平面角

在aAOM中，OM=NBM?-OB?=.

2

AO=JAB二032二造而AM=^A,C[-C}M=|

從而由色股定理可知：NA0M=90°....................................................（6分）

（2）由（1）可知A,。，面BDM,從而四面體A-BDM體積

V=：，SA8cM，AO=U&?*）?日二；.....................（12分）

411

18.解（1）B第一次取牌獲勝的概率為：戶二一一二一..................（6分）

545

4321

(2)B第二次取牌獲勝的概率為：P=——---

5432

??.B獲勝的概率為：夕[4二1+；4；3:2二1=92.........................(12分)

5454325

19.解：(1)數(shù)列]{%}的前n項(xiàng)之和s“=(一1)”(2/+4〃+1)-1

在n=l時(shí)，q=S1=(T)i(2+4+l)_l=_8在〃22時(shí)，4=5"一$小

=(-ir(2n2+4n4-l)-(-l),,_,[2(n-l)2+4(A?-l)+l]=(-1)〃?4〃(〃+1)

而n=l時(shí)，4=-8滿足％=(-1)”4〃(〃+1)故所求數(shù)列｛4｝通項(xiàng)4〃=(-1)"4〃5+1)...

因此數(shù)列也｝日勺前n項(xiàng)和7；,=1（1-一1）=々）......（12分）

4n+\77+1

20.解:(1)C:X2-4-=1的向頁(yè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0)

設(shè)MA直線方程為)，=45-1),代入m2x2-y2-=0中，整頓得

22

(in-kx)x+2A：x-(A；+〃/)=0)

由韋達(dá)定理可知4?%=”，而4=1,又2#,二-ftr

k「-m~

._k；十