2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——離散動(dòng)力系統(tǒng)中的周期軌道與吸引子考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.設(shè)離散動(dòng)力系統(tǒng)為`x_{n+1}=f(x_n)`,`x_0=x`.若存在正整數(shù)`k`使得`f^k(x_0)=x_0`且`f^j(x_0)≠x_0`對(duì)所有`1≤j<k`成立，則稱`x_0`為`f`的（）。A.周期點(diǎn)B.不變點(diǎn)C.漸近周期點(diǎn)D.吸引子2.對(duì)于離散動(dòng)力系統(tǒng)`x_{n+1}=f(x_n)`，點(diǎn)`x_0`的周期軌道的階數(shù)等于（）。A.`x_0`的吸引域的維數(shù)B.`f`在`x_0`處的Jacobian矩陣的秩C.使得`f^k(x_0)=x_0`成立的最小正整數(shù)`k`D.`f`在`x_0`處的不變流形的維度3.設(shè)二維離散動(dòng)力系統(tǒng)`x_{n+1}=F(x_n)`在點(diǎn)`x_0`處的Jacobian矩陣`J(x_0)`的特征值為`-0.5`和`1.2`，則點(diǎn)`x_0`是（）。A.穩(wěn)定的固定點(diǎn)B.不穩(wěn)定的固定點(diǎn)C.穩(wěn)定的周期軌道上的點(diǎn)D.不穩(wěn)定的周期軌道上的點(diǎn)4.下列說法正確的是（）。A.所有的周期點(diǎn)都是不變點(diǎn)。B.所有的不變點(diǎn)都是周期點(diǎn)。C.周期軌道上的所有點(diǎn)都是周期點(diǎn)。D.不存在周期軌道的系統(tǒng)一定是混沌的。5.Poincaré-Bendixson定理主要應(yīng)用于（）。A.判斷一維離散動(dòng)力系統(tǒng)的周期解B.判斷高維離散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌行為C.研究二維離散動(dòng)力系統(tǒng)在有限區(qū)域內(nèi)的長(zhǎng)期行為D.證明離散動(dòng)力系統(tǒng)存在全局吸引子二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上。）6.若點(diǎn)`x_0`是離散動(dòng)力系統(tǒng)`x_{n+1}=f(x_n)`的一個(gè)周期為`k`的周期點(diǎn)，且存在一個(gè)序列`x_n→x_0`使得`f^n(x_n)→x_0`（`n=0,1,2,...`），則稱`x_0`為一個(gè)______。7.離散動(dòng)力系統(tǒng)`x_{n+1}=f(x_n)`中，點(diǎn)`x_0`的吸引域是指所有滿足`lim_{n→∞}x_n=x_0`的點(diǎn)`x`的集合，該集合是關(guān)于映射`f`的______不變集。8.對(duì)于二維離散動(dòng)力系統(tǒng)，若在某個(gè)區(qū)域的每一條軌線上，點(diǎn)列最終都趨近于同一條閉曲線，則這條閉曲線稱為該區(qū)域的______。9.若一個(gè)離散動(dòng)力系統(tǒng)`x_{n+1}=f(x_n)`在點(diǎn)`x_0`處的Jacobian矩陣`J(x_0)`的特征值均為負(fù)實(shí)數(shù)，則稱`x_0`是一個(gè)______。10.穩(wěn)定流形是連接周期點(diǎn)`x_0`與其吸引域中所有點(diǎn)的______不變流形。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分。）11.考慮映射`f(x)=x+sin(x)`。取初始點(diǎn)`x_0=0`，計(jì)算前五次迭代得到的點(diǎn)`x_1,x_2,x_3,x_4,x_5`。并判斷點(diǎn)`x=0`是否為該映射的不變點(diǎn)或周期點(diǎn)（周期為1或2）。12.考慮二維離散動(dòng)力系統(tǒng)`x_{n+1}=(1.5x_n-0.5y_n,-x_n+2y_n)`。計(jì)算在點(diǎn)`(1,1)`處的Jacobian矩陣`J(x_n)`。若`x_n=(x_n,y_n)`是該系統(tǒng)的一個(gè)周期為2的周期軌道上的點(diǎn)，且滿足`x_0=(x,y)`，`x_2=(x',y')`，求`J(x_0)*J(x_2)`的跡（trace）。13.對(duì)于映射`g(x)=4x(1-x)`，計(jì)算其在點(diǎn)`x=1/2`處的Jacobian矩陣。并判斷該點(diǎn)是否為穩(wěn)定或不穩(wěn)定固定點(diǎn)。四、證明題（每小題12分，共24分。）14.證明：如果一個(gè)點(diǎn)`x_0`是離散動(dòng)力系統(tǒng)`x_{n+1}=f(x_n)`的一個(gè)周期為`k`的周期點(diǎn)，那么`x_0`也是其子映射`f^k`的一個(gè)固定點(diǎn)。15.設(shè)二維離散動(dòng)力系統(tǒng)`x_{n+1}=F(x_n)`在區(qū)域`D`內(nèi)定義，且`F`是連續(xù)的。假設(shè)存在一個(gè)有界不變集`K?D`，其中包含一個(gè)正不動(dòng)點(diǎn)`x_0`。若`x_0`是不穩(wěn)定的，證明`K`一定不是吸引子。---試卷答案一、選擇題1.A2.C3.B4.A5.C二、填空題6.漸近周期點(diǎn)7.緊致8.極限環(huán)9.不穩(wěn)定固定點(diǎn)10.穩(wěn)定三、計(jì)算題11.解：*迭代計(jì)算：*`x_1=f(x_0)=f(0)=0+sin(0)=0`*`x_2=f(x_1)=f(0)=0+sin(0)=0`*`x_3=f(x_2)=f(0)=0+sin(0)=0`*`x_4=f(x_3)=f(0)=0+sin(0)=0`*`x_5=f(x_4)=f(0)=0+sin(0)=0`*判斷：*因?yàn)閌x_n=0`對(duì)所有`n≥0`成立，所以`x=0`是一個(gè)不變點(diǎn)。*由于`x_0=x_1`且`x_0≠0`（嚴(yán)格來說，`x_0`的周期為1），所以`x=0`是一個(gè)周期為1的周期點(diǎn)。12.解：*Jacobian矩陣計(jì)算：```J(x_n)=|?f1/?x||?f1/?y||?f2/?x||?f2/?y|```其中`f1(x,y)=1.5x-0.5y`,`f2(x,y)=-x+2y`。```?f1/?x=1.5,?f1/?y=-0.5?f2/?x=-1,?f2/?y=2```所以`J(x_n)=|1.5-0.5||-12|`*計(jì)算`J(x_0)*J(x_2)`的跡：*`J(x_0)=J(x_2)=|1.5-0.5|`|-12|*跡`trace(J(x_0)*J(x_2))=trace(|1.5-0.5|*|1.5-0.5|)=trace(|1.5*1.5+(-0.5)*(-1)1.5*(-0.5)+(-0.5)*2|)`|-12||-12||2.25+0.5-0.75-1||||||||||||2.75-1.75|*`trace(J(x_0)*J(x_2))=2.75+(-1.75)=1.0`13.解：*Jacobian矩陣計(jì)算：```J(x)=|?g/?x||?g/?y|```其中`g(x)=4x(1-x)`,`y`可視為常數(shù)1。```?g/?x=4(1-x)-4x=4-8x?g/?y=0```在點(diǎn)`x=1/2`處：```J(1/2)=|4-8*(1/2)||0|J(1/2)=|0||0|```*判斷穩(wěn)定性：*Jacobian矩陣`J(1/2)`的所有特征值均為0。*由于特征值的實(shí)部均為0，無法直接判斷穩(wěn)定或不穩(wěn)定。需要進(jìn)一步分析（例如，查看高階導(dǎo)數(shù)或使用其他方法），但根據(jù)題目要求，僅憑此Jacobian矩陣無法直接斷言其穩(wěn)定或不穩(wěn)定。四、證明題14.證明：*由周期點(diǎn)的定義，存在正整數(shù)`k`使得`f^k(x_0)=x_0`，且`f^j(x_0)≠x_0`對(duì)所有`1≤j<k`成立。*考慮子映射`f^k`，其定義為`f^k(x)=f(f^(k-1)(x))`。*計(jì)算`f^k(x_0)`：*`f^k(x_0)=f(f^(k-1)(x_0))`*由于`f^k(x_0)=x_0`，代入上式得`f(f^(k-1)(x_0))=x_0`。*根據(jù)周期點(diǎn)的定義，`f^(k-1)(x_0)`不是`f`的不動(dòng)點(diǎn)（因?yàn)閌k-1<k`），但`f(f^(k-1)(x_0))=x_0`表明`f^(k-1)(x_0)`是`f^k`的不動(dòng)點(diǎn)。*注意到`f^k(x_0)=x_0`，即`x_0`滿足`f^k(x)=x`。*因此，`x_0`是`f^k`的一個(gè)固定點(diǎn)。15.證明：*假設(shè)`K`是`F`的一個(gè)有界不變集，且包含一個(gè)不穩(wěn)定的正不動(dòng)點(diǎn)`x_0`。*不穩(wěn)定的正不動(dòng)點(diǎn)`x_0`意味著存在`F`在`x_0`處的Jacobian矩陣`J(F)(x_0)`（或其線性化映射的Jacobian），其特征值的實(shí)部存在正數(shù)，或者`F`在`x_0`附近的行為表現(xiàn)出不穩(wěn)定特性。*不變集`K`的定義意味著對(duì)于任意`x∈K`，`F(x)∈K`。*吸引子的定義意味著存在一個(gè)鄰域`U`包含`x_0`，對(duì)于任意`x∈U\{x_0}`