2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——復(fù)雜系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)建模研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述復(fù)雜系統(tǒng)的主要特征，并舉例說明至少兩個(gè)特征在現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中的應(yīng)用。二、描述數(shù)學(xué)建模的基本流程，并說明在模型假設(shè)和模型求解兩個(gè)階段分別需要關(guān)注的關(guān)鍵問題。三、考慮一個(gè)描述捕食者-食餌系統(tǒng)的經(jīng)典Lotka-Volterra模型：$$\begin{cases}\frac{dx}{dt}=ax-bxy\\\frac{dy}{dt}=-cy+dxy\end{cases}$$其中，$x(t)$和$y(t)$分別代表食餌和捕食者的數(shù)量，$a,b,c,d$為正的模型參數(shù)。1.說明該模型的適用范圍，并解釋模型中各參數(shù)的生態(tài)學(xué)意義。2.求解該微分方程組，找出系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。3.分析各平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性（穩(wěn)定性分析可基于線性化方法或定性理論說明）。四、在一個(gè)社交網(wǎng)絡(luò)中，用戶之間通過建立聯(lián)系（friendshiplinks）形成網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)代表用戶，邊代表用戶間的直接聯(lián)系。請(qǐng)運(yùn)用圖論的相關(guān)知識(shí)回答以下問題：1.簡(jiǎn)述網(wǎng)絡(luò)度分布（DegreeDistribution）的常用描述指標(biāo)及其在理解網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的作用。2.描述小世界網(wǎng)絡(luò)（Small-worldNetwork）和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（Scale-freeNetwork）的主要特征，并分別舉一個(gè)可能符合這兩種網(wǎng)絡(luò)特征的社交場(chǎng)景例子。3.解釋網(wǎng)絡(luò)中心性（Centrality）的概念，并說明度中心性（DegreeCentrality）、介數(shù)中心性（BetweennessCentrality）和特征向量中心性（EigenvectorCentrality）分別適用于衡量節(jié)點(diǎn)哪種方面的重要性。五、考慮一個(gè)資源受限的傳染病傳播模型。假設(shè)一個(gè)地區(qū)總?cè)丝跒?N$，初始時(shí)刻感染人數(shù)為$I_0$，易感者人數(shù)為$S_0=N-I_0$。感染者在單位時(shí)間內(nèi)以率$\beta$傳染易感者，以率$\gamma$愈合或轉(zhuǎn)為免疫者。由于資源限制，治愈者的免疫能力會(huì)隨時(shí)間衰減，假設(shè)免疫者以率$\delta$恢復(fù)為易感者。建立該情境的數(shù)學(xué)模型，并用微分方程表示該模型。六、在生態(tài)學(xué)研究中，研究者想要了解某種群（如某種植物）的分布模式。他們采集了該群落的樣方數(shù)據(jù)，記錄了每個(gè)樣方中個(gè)體的數(shù)量。請(qǐng)結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)回答：1.簡(jiǎn)述泊松分布（PoissonDistribution）在描述生態(tài)學(xué)稀疏分布現(xiàn)象時(shí)的適用條件及其意義。2.若研究者懷疑該群落的分布符合泊松分布，他們可以采用什么統(tǒng)計(jì)方法來檢驗(yàn)這一假設(shè)？請(qǐng)簡(jiǎn)述該方法的原理。3.除了泊松分布，還常用于描述群落分布的分布類型有哪些？請(qǐng)至少列舉兩種，并簡(jiǎn)述其與泊松分布的主要區(qū)別。七、設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型來描述城市交通擁堵現(xiàn)象。要求：1.清晰地定義模型中涉及的關(guān)鍵變量（如車輛密度、車速、車流量等）。2.建立變量之間的關(guān)系（可以使用函數(shù)、微分方程或差分方程等形式），闡述模型的基本原理。3.說明該模型可以用來分析哪些與交通擁堵相關(guān)的現(xiàn)象或問題，并簡(jiǎn)述如何利用該模型進(jìn)行初步的分析。試卷答案一、復(fù)雜系統(tǒng)的主要特征包括：非線性、涌現(xiàn)性、自組織性、適應(yīng)性、魯棒性、路徑依賴性等。例如：*非線性:捕食者-食餌系統(tǒng)中的種群數(shù)量變化不是簡(jiǎn)單的正比關(guān)系，一個(gè)小的擾動(dòng)可能導(dǎo)致系統(tǒng)行為的劇烈變化。*涌現(xiàn)性:個(gè)體簡(jiǎn)單的交互行為（如螞蟻覓食）可以導(dǎo)致宏觀上復(fù)雜的集體智能（如形成路徑）。城市交通系統(tǒng)中的擁堵現(xiàn)象是大量車輛個(gè)體遵循簡(jiǎn)單規(guī)則（如跟車、變道）導(dǎo)致的整體交通不暢。二、數(shù)學(xué)建模的基本流程通常包括：?jiǎn)栴}理解與分析、模型假設(shè)、模型建立（選擇數(shù)學(xué)工具）、模型求解、模型驗(yàn)證與修正、模型應(yīng)用。*模型假設(shè)階段關(guān)注點(diǎn):假設(shè)的合理性、簡(jiǎn)化是否過度、能否代表核心問題特征、不同假設(shè)對(duì)結(jié)果的影響。*模型求解階段關(guān)注點(diǎn):求解方法的正確性、計(jì)算的有效性、模型參數(shù)的確定方法、對(duì)求解結(jié)果的初步解釋。三、1.適用范圍與參數(shù)意義:該模型適用于描述兩個(gè)物種（捕食者與食餌）相互作用，且環(huán)境資源相對(duì)穩(wěn)定，空間均勻或擴(kuò)散較好的簡(jiǎn)化生態(tài)系統(tǒng)。參數(shù)意義：*$a$:食餌的增長率（無捕食者時(shí)）。*$b$:捕食者對(duì)食餌的捕食率（單位捕食者單位時(shí)間捕食的食餌數(shù)量）。*$c$:捕食者的死亡率（無食餌時(shí)）。*$d$:捕食者通過捕食獲得的增長率（單位捕食者單位時(shí)間因捕食獲得的能量轉(zhuǎn)化為自身增長的速率）。2.平衡點(diǎn)求解:令$\frac{dx}{dt}=0$和$\frac{dy}{dt}=0$，聯(lián)立方程組：$$ax-bxy=0\quad\text{和}\quad-cy+dxy=0$$可得四個(gè)平衡點(diǎn)：*$(0,0)$:原點(diǎn)，零平衡點(diǎn)。*$(\frac{c}dxxrbvp,0)$:食餌滅絕平衡點(diǎn)（當(dāng)食餌增長不足以支持捕食者時(shí)）。*$(0,\frac{a})$:捕食者滅絕平衡點(diǎn)（當(dāng)捕食者無法找到足夠的食餌時(shí)）。*$(\frac{ac}{bd},\frac{ad}{bc})$:共同生存平衡點(diǎn)（當(dāng)食餌和捕食者數(shù)量都維持在一定水平時(shí)）。3.穩(wěn)定性分析（以線性化方法為例）:對(duì)模型求全導(dǎo)數(shù)，得到雅可比矩陣$J$：$$J=\begin{pmatrix}a-by&-bx\\dx&-c+dx\end{pmatrix}$$分別計(jì)算在四個(gè)平衡點(diǎn)處的雅可比矩陣行列式$D$和跡$Tr$：*點(diǎn)$(0,0)$:$J=\begin{pmatrix}a&0\\0&-c\end{pmatrix}$,$D=ac>0$,$Tr=a-c$。若$Tr>0$(即$a>c$)，則該點(diǎn)不穩(wěn)定（鞍點(diǎn)）；若$Tr<0$(即$a<c$)，則該點(diǎn)穩(wěn)定。通常假設(shè)$a>c$，故為鞍點(diǎn)。*點(diǎn)$(\frac{c}ddfxr51,0)$:$J=\begin{pmatrix}0&-\frac{bc}znjdf1r\\0&-c\end{pmatrix}$,$D=0\times(-c)=0$,$Tr=0-c=-c<0$。行列式為零，不能直接判斷，但觀察方程可知，$x$保持不變，$y$單調(diào)遞減至零。該點(diǎn)穩(wěn)定。*點(diǎn)$(0,\frac{a})$:$J=\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}$,$D=a\times0=0$,$Tr=a$。行列式為零，不能直接判斷，但觀察方程可知，$y$保持不變，$x$單調(diào)遞減至零。該點(diǎn)穩(wěn)定。*點(diǎn)$(\frac{ac}{bd},\frac{ad}{bc})$:$J=\begin{pmatrix}a-b\frac{ad}{bc}&-b\frac{ac}{bd}\\d\frac{ac}{bd}&-c+d\frac{ac}{bd}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{a(c-d)}{c}&-\frac{a}{c}\\\frac{a}{c}&-\frac{c(b-d)}\end{pmatrix}$,$D=\frac{a(c-d)}{c}\cdot(-\frac{c(b-d)})=-\frac{a(c-d)(b-d)}=-a\frac{(c-d)^2}$,$Tr=\frac{a(c-d)}{c}-\frac{c(b-d)}=\frac{a(c-d)b-c^2(b-d)}{bc}=\frac{(ab-ac)d}{bc}=-\frac{ad(c-d)}{bc}$。由于$a,b,c,d>0$且$c\neqd$，則$D<0$。根據(jù)穩(wěn)定性判定規(guī)則，該點(diǎn)為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)（中心點(diǎn)，系統(tǒng)圍繞該點(diǎn)周期性振蕩）。四、1.度分布:網(wǎng)絡(luò)中度分布描述網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)連接數(shù)（出度或入度）的概率分布情況。常用指標(biāo)有平均度、度分布的形狀（如泊松分布、冪律分布）。它反映了網(wǎng)絡(luò)連接的稀疏或密集程度，以及網(wǎng)絡(luò)中是否存在少數(shù)高度連接的“Hub”節(jié)點(diǎn)。例如，在社交網(wǎng)絡(luò)中，度分布可以揭示網(wǎng)絡(luò)中是否存在意見領(lǐng)袖或核心人物。2.小世界網(wǎng)絡(luò)與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò):*小世界網(wǎng)絡(luò):主要特征是“平均路徑長度”相對(duì)較小，而“聚類系數(shù)”相對(duì)較大。意味著網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間通常只有很短的直接路徑，但節(jié)點(diǎn)傾向于形成緊密的局部集群。例子：大學(xué)校園內(nèi)的師生關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，地理位置接近的人形成的社交圈。*無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò):主要特征是其度分布遵循冪律分布（$P(k)\proptok^{-\gamma}$，$\gamma>2$）。意味著網(wǎng)絡(luò)中存在少量連接數(shù)極高的“Hub”節(jié)點(diǎn)，而絕大多數(shù)節(jié)點(diǎn)的連接數(shù)很少。這種網(wǎng)絡(luò)具有高度的魯棒性（去除大部分普通節(jié)點(diǎn)影響不大）但對(duì)“Hub”節(jié)點(diǎn)破壞非常敏感。例子：互聯(lián)網(wǎng)的域名服務(wù)器（DNS）層級(jí)結(jié)構(gòu)，全球航空網(wǎng)絡(luò)。3.網(wǎng)絡(luò)中心性:*度中心性:衡量節(jié)點(diǎn)連接的緊密程度。度值越高的節(jié)點(diǎn)，其直接連接的伙伴越多。適用于衡量節(jié)點(diǎn)在信息傳播中的直接影響范圍或重要性。*介數(shù)中心性:衡量節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中占據(jù)“橋梁”或“中介”位置的程度。介數(shù)中心性越高的節(jié)點(diǎn)，出現(xiàn)在其他節(jié)點(diǎn)對(duì)之間最短路徑上的概率越大。適用于衡量節(jié)點(diǎn)在控制信息流動(dòng)或資源轉(zhuǎn)移中的重要性。*特征向量中心性:衡量節(jié)點(diǎn)的重要性，不僅取決于其連接數(shù)量，還取決于其鄰居的重要性。一個(gè)連接了許多重要節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)，其特征向量中心性也會(huì)很高。適用于衡量節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的影響力或聲譽(yù)。五、模型描述：假設(shè)感染者數(shù)量為$I(t)$，易感者數(shù)量為$S(t)$，恢復(fù)/免疫后可能再感染的人數(shù)為$R(t)$（這里簡(jiǎn)化為從免疫恢復(fù)為易感）。總?cè)丝?N$保持不變，即$S(t)+I(t)+R(t)=N$。由于資源限制，免疫者以率$\delta$恢復(fù)為易感者。模型微分方程組為：$$\begin{cases}\frac{dS}{dt}=-\betaSI-\deltaR\\\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI\\\frac{dR}{dt}=\gammaI-\deltaR\end{cases}$$其中，$S(t)$,$I(t)$,$R(t)$分別代表易感者、感染者和恢復(fù)/免疫者（考慮再感染）的數(shù)量；$\beta$是易感者被感染者傳染的率，$\gamma$是感染者恢復(fù)/免疫的率，$\delta$是恢復(fù)/免疫者恢復(fù)為易感者的率。六、1.泊松分布適用條件與意義:泊松分布在生態(tài)學(xué)中常用于描述在給定面積或體積內(nèi)，某個(gè)稀疏事件（如植物個(gè)體、昆蟲卵）出現(xiàn)的次數(shù)。適用條件通常包括：事件在空間或時(shí)間上呈隨機(jī)分布、事件發(fā)生概率小、事件間相互獨(dú)立、在足夠大的樣本單元中事件發(fā)生的次數(shù)足夠多。意義在于提供了一個(gè)簡(jiǎn)潔的統(tǒng)計(jì)模型來量化個(gè)體分布的隨機(jī)性。2.檢驗(yàn)方法與原理:檢驗(yàn)群落分布是否服從泊松分布，常用的方法是擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（如卡方檢驗(yàn)$\chi^2$test）。原理是：將觀測(cè)到的樣方中個(gè)體數(shù)量（$O_i$）與基于泊松分布公式計(jì)算出的期望頻數(shù)（$E_i=N\cdotP(X=i)$，其中$P(X=i)$是參數(shù)為$\lambda$的泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)，$\lambda$通常用樣本均數(shù)$\bar{x}$估計(jì)）進(jìn)行比較。如果觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望頻數(shù)的差異未超出隨機(jī)波動(dòng)的可接受范圍，則不能拒絕原假設(shè)（分布符合泊松分布）。3.其他分布類型:*二項(xiàng)分布(BinomialDistribution):適用于描述在固定面積/體積、有限數(shù)量個(gè)體、抽樣比固定的條件下，某個(gè)個(gè)體是否出現(xiàn)（成功/失?。┑拇螖?shù)。與泊松分布的主要區(qū)別在于二項(xiàng)分布假設(shè)總體個(gè)體數(shù)量有限，而泊松分布假設(shè)總體無限或非常大，且事件概率在整體中保持不變。*負(fù)二項(xiàng)分布(NegativeBinomialDistribution):當(dāng)觀測(cè)到的群落平均密度高于泊松分布預(yù)測(cè)值時(shí)（即存在聚集現(xiàn)象），負(fù)二項(xiàng)分布通常更合適。它不僅包含一個(gè)平均數(shù)參數(shù)，還有一個(gè)離散度參數(shù)，可以更好地描述分布的聚集程度。與泊松分布的主要區(qū)別在于能夠擬合均數(shù)大于方差的分布。七、設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的交通擁堵模型：1.關(guān)鍵變量定義:*$x(t,s)$:時(shí)刻$t$，路段$s$上的車輛密度（單位長度內(nèi)的車輛數(shù)）。*$v(x(t,s))$:時(shí)刻$t$，路段$s$上密度為$x(t,s)$時(shí)的車輛速度。通常假設(shè)速度$v$是密度的單調(diào)遞減函數(shù)，例如$v(x)=v_{max}(1-x/x_{jam})$，其中$v_{max}$是最大速度，$x_{jam}$是擁堵密度。*$q(t,s)=x(t,s)\cdotv(t,s)$:時(shí)刻$t$，路段$s$上的車輛流量（單位時(shí)間內(nèi)通過路段起點(diǎn)的車輛數(shù)）。*$F(s)$:路段$s$的交通流量（單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入路段的總車輛數(shù)），通常$F(s)=\int_0^{x_{jam}}q(t,s)dx$。2.模型建立:使用連續(xù)流體力學(xué)模型描述車輛密度的變化。考慮路段$s