一、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題1．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D．若時(shí)，，則的最小值為【答案】ABC【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)的圖象，最后直接判斷選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A．，解得，所以A正確；對(duì)于B．，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，所以是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確．對(duì)于C．當(dāng)時(shí)，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再根據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，所以C正確；對(duì)于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D不正確．故選：ABC.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)，以及函數(shù)的圖象，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，判斷零點(diǎn)兩側(cè)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，本題易錯(cuò)的地方是是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，但當(dāng)時(shí)，，所以圖象是無(wú)限接近軸，如果這里判斷錯(cuò)了，那選項(xiàng)容易判斷錯(cuò)了．2．關(guān)于函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為；B．當(dāng)時(shí)，存在唯一極小值點(diǎn)，且；C．對(duì)任意，在上均存在零點(diǎn)；D．存在，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).【答案】ABD【分析】當(dāng)時(shí)，，求出，得到在處的切線的點(diǎn)斜式方程，即可判斷選項(xiàng)A；求出的解，確定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及極值范圍，可判斷選項(xiàng)B；令，當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)可得，設(shè)，求出的極值最值，即可判斷選項(xiàng)C，D的真假.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，所以，，，所以在處的切線方程為，故正確；B.因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，又，，又，即，則，所以存在，使得，即，則在上，在上，，所以存在唯一極小值點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，故正確；C.令，當(dāng)時(shí)，可得，設(shè)，則，令，解得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，時(shí)，取得極小值，即取得極小值，又，因?yàn)樵谏?，遞減，所以，所以當(dāng)，時(shí)，取得極大值，即取得極大值，又，所以，所以時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，在上不存在零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D.當(dāng)，即時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以存在，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決．3．設(shè)函數(shù)，，下列命題，正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減B．不等關(guān)系成立C．若時(shí)，總有恒成立，則D．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)【答案】AC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)的正誤；由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性比較、的大小關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)的正誤；分析得出函數(shù)在上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)的正誤；分析出方程在上有兩個(gè)根，數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，則.由，可得，由，可得.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，，即，又，所以，，整理可得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若時(shí)，總有恒成立，可得，構(gòu)造函數(shù)，則，即函數(shù)為上的減函數(shù)，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，令，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，由于函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，令，可得，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.4．若函數(shù)滿足對(duì)于任意，，，則稱函數(shù)為“中點(diǎn)凸函數(shù)”．則下列函數(shù)中為“中點(diǎn)凸函數(shù)”的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】用計(jì)算的正負(fù)值來(lái)解，運(yùn)算量大，比較復(fù)雜.我們可分析“中點(diǎn)凸函數(shù)”的幾何特征，結(jié)合圖像作答.由已知“中點(diǎn)凸函數(shù)”的定義，可得“中點(diǎn)凸函數(shù)”的圖象形狀可能為：【詳解】由“中點(diǎn)凸函數(shù)”定義知：定義域內(nèi)對(duì)應(yīng)函數(shù)值的平均值大于或等于處的函數(shù)值，∴下凸函數(shù)：任意連接函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)所得直線一定在圖象上方或與圖象重合.設(shè)，為曲線在上任意兩點(diǎn)A、B、C、D選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象分別如下圖示：①符合題意②符合題意③放大局部圖像可見(jiàn)，在段，并不滿足對(duì)應(yīng)函數(shù)值的平均值大于或等于處的函數(shù)值.不合題意④，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)作出圖像如下符合題意.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的新定義及其應(yīng)用，其中解答中正確理解函數(shù)的新定義，以及結(jié)合函數(shù)的圖象求解是解答的關(guān)鍵，學(xué)生可利用數(shù)形結(jié)合求解，需要較強(qiáng)的推理與運(yùn)算能力.5．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處與點(diǎn)處的切線均平行于軸，則（）A．在上單調(diào)遞增B．C．的取值范圍是D．若，則只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，得到的取值范圍；對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)即可得到在上的單調(diào)性；對(duì)于B，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得；對(duì)于C，化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可得解；對(duì)于D，將代入，令，可得的單調(diào)性，進(jìn)而求得的極大值小于0，再利用零點(diǎn)存在定理可得解.【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則，是方程的兩個(gè)不等正根，則，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)?，是方程的兩個(gè)不等正根，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，易知函?shù)在上是減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是，故C正確；當(dāng)時(shí)，，令，得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在取得極大值，且，，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用主要抓住切點(diǎn)的三個(gè)特點(diǎn)：①切點(diǎn)坐標(biāo)滿足原曲線方程；②切點(diǎn)坐標(biāo)滿足切線方程；③切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)可得切線的斜率.6．某同學(xué)對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論，其中正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．對(duì)定義域中的任意實(shí)數(shù)x的值，恒有成立C．函數(shù)的圖象與x軸有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，且每相鄰兩交點(diǎn)的距離相等D．對(duì)任意常數(shù)，存在常數(shù)，使函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】BD【分析】由函數(shù)奇偶性的定義即可判斷選項(xiàng)A；由函數(shù)的性質(zhì)可知可得到，即，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求得最值即可判斷選項(xiàng)B；函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為且，可判斷選項(xiàng)C；求導(dǎo)分析時(shí)成立的情況，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由A選項(xiàng)可知為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，可得到，即，可設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，交點(diǎn)與間的距離為，其余任意相鄰兩點(diǎn)的距離為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，可化為ex(cosx－sinx)，不等式兩邊同除以得，，當(dāng)，，，區(qū)間長(zhǎng)度為，所以對(duì)于任意常數(shù)m>0，存在常數(shù)b>a>m，，，使函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D選項(xiàng)正確；故選：BD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的步驟：①寫(xiě)定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，解不等式和得到單調(diào)性；③利用單調(diào)性判斷極值點(diǎn)，比較極值和端點(diǎn)值得到最值即可.7．已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列有關(guān)數(shù)列的敘述正確的是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】A．計(jì)算出的值，與比較大小并判斷是否正確；B．利用導(dǎo)數(shù)分析的最小值，由此判斷出是否正確；C．根據(jù)與的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；D．構(gòu)造函數(shù)，分析其單調(diào)性和最值，由此確定出，將變形可得，再將變形可判斷結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以單增，所以，因?yàn)?，所以，所以，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，令，，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，則，所以，即，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合問(wèn)題，屬于難題.解決該問(wèn)題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：（1）轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問(wèn)題；（2）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.8．下列命題正確的有（）A．已知且，則B．，則C．的極大值和極小值的和為D．過(guò)的直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則該直線斜率的取值范圍是【答案】ACD【分析】由等式關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍；利用指對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法求；利用導(dǎo)數(shù)確定零點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合原函數(shù)式計(jì)算極值之和即可；由直線與有三個(gè)交點(diǎn)，即可知有兩個(gè)零點(diǎn)且不是其零點(diǎn)即可求斜率范圍.【詳解】A選項(xiàng)，由條件知且，所以，即；B選項(xiàng)，有，，而；C選項(xiàng)，中且開(kāi)口向上，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)且、，即為兩個(gè)極值點(diǎn)，所以；D選項(xiàng)，令直線為與有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)即可∴，解得故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查了指對(duì)數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究極值，由函數(shù)交點(diǎn)情況求參數(shù)范圍，屬于難題.9．已知.（）A．的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4 B．的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3C．x軸為曲線的切線 D．若，則【答案】BC【分析】首先根據(jù)得到，分別畫(huà)出和的圖像，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】，令，得到.分別畫(huà)出和的圖像，如圖所示：由圖知：有三個(gè)解，即有三個(gè)解，分別為，，.所以，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，當(dāng)時(shí)，取得極大值為，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，三個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B正確.因?yàn)楹瘮?shù)的極大值為，所以軸為曲線的切線，故C正確.因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，為減函數(shù)，所以存在，滿足，且，顯然，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)和切線，屬于難題.10．已知函數(shù)，下列是關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，其中正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)【答案】CD【分析】令y＝0得，利用換元法將函數(shù)分解為f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】令，得，設(shè)f（x）＝t，則方程等價(jià)為f（t）＝﹣1，①若k＞0，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：∵f（t）＝﹣1，∴此時(shí)方程f（t）＝﹣1有兩個(gè)根其中t2＜0，0＜t1