第1頁（共1頁）2024-2025學年廣東省深圳市羅湖外語中學九年級（下）期中數(shù)學試卷一、單選題（每小題3分，共24分）1．（3分）下列字母圖案中，是中心對稱圖形的為（）A． B． C． D．2．（3分）下列式子運算正確的是（）A．x2+x3＝x6 B．x5÷x3＝x2 C．（x3）2＝x9 D．x2?x4＝x83．（3分）如圖是由五個相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）方程的解是（）A．2 B．3 C．4 D．﹣45．（3分）某學校將國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽光特色大課間．某同學“抖空竹”的一個瞬間如圖1所示，若將圖1抽象成圖2的數(shù)學問題：AB∥CD，∠EAB＝70°，則∠E的大小是（）A．40° B．30° C．50° D．45°6．（3分）如圖，學校種植園是長32米，寬20米的矩形．為便于管理，使種植面積為600平方米．若設(shè)小道的寬為x米，則下面所列方程正確的是（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝600 B．（32﹣x）（20﹣2x）＝600 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（32﹣2x）（20﹣2x）＝6007．（3分）一輛汽車油箱中剩余的油量y（L）與已行駛的路程x（km）的對應(yīng)關(guān)系如圖所示．如果這輛汽車每千米的耗油量相同，那么該汽車已行駛的路程為（）A．150km B．165km C．125km D．350km8．（3分）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，∠B＝50°，AB＝60（）A．60sin50° B．60cos50° C． D．60tan50°二、填空題（每題3分，共15分）9．（3分）因式分解：2a2﹣8＝．10．（3分）不等式組的解集是．11．（3分）無論是“輕羅小扇”，還是“羽扇綸巾”，當古詩詞遇上扇子，扇面書畫，扇骨雕琢，當折扇所在扇形的圓心角為120°時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的弧長AB為cm．（結(jié)果保留π）12．（3分）如圖，在矩形ABCO中，點A在x軸上，反比例函數(shù)的圖象與矩形交于E，當BE＝CE時，則△OEF的面積為．13．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，連接AE，點F為CD的中點，OE＝3，OA＝4．三、解答題（共61分）14．（5分）計算：．15．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝3．16．（8分）2022年4月15日是第七個全民國家安全教育日．為增強師生的國家安全意識，我區(qū)某中學組織了“國家安全知識競賽”，根據(jù)學生的成績劃分為A、B、C、D四個等級根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（1）參加知識競賽的學生共有人；（2）扇形統(tǒng)計圖中，m＝，C等級對應(yīng)的圓心角為度；（3）小永是四名獲A等級的學生中的一位，學校將從獲A等級的學生中任選2人，參加區(qū)舉辦的知識競賽，求小永被選中參加區(qū)知識競賽的概率．17．（10分）中考在即，羅曉在文教店用1200元購進了甲、乙兩種品牌碳素筆．已知甲種碳素筆進價為每支12元，乙種碳素筆進價為每支10元．文教店在銷售時甲種碳素筆售價為每支15元，全部售完后共獲利270元．（1）求這個文教店購進甲、乙兩種碳素筆各多少支？（2）若該文教店以原價再次購進甲、乙兩種碳素筆，且購進甲種碳素筆的數(shù)量不變，而購進乙種碳素筆的數(shù)量是第一次的2倍，而甲種碳素筆降價銷售，當兩種碳素筆銷售完畢時，甲種碳素筆最低售價每支應(yīng)為多少元？18．（10分）如圖，P為⊙O外一點，PA，A，B為切點，點C在⊙O上，OC，AC．（1）求證：∠AOC＝2∠PAC；（2）連接OB，若AC∥OB，⊙O的半徑為5，求AP的長．19．（10分）圖①所示的室外吊床因其輕便易于攜帶且舒適度高成為了人們戶外露營的一種熱門選擇．【問題背景】小明與家人利用周末到戶外露營，聰明的小明發(fā)現(xiàn)吊床的高度會隨吊床的承重發(fā)生變化而改變，于是他想深入探究吊床最低點距離地面的高度與吊床承重的關(guān)系【數(shù)學建?！繛榱朔奖阌嬎?，小明將圖①現(xiàn)實問題抽象成圖②所示的平面圖；吊床搭建在樹AB和樹CD（兩樹與地面垂直），兩端的懸掛高度相等．最低點P離地面豎直高度為h（單位：cm），家人體重為m（單位：kg），小明收集了一些數(shù)據(jù)：【數(shù)據(jù)收集】數(shù)據(jù)如下：爸爸媽媽小明弟弟妹妹m（kg）8056403220h（厘米）4060.47073.677.5【任務(wù)一】描點：①請你將以上表格中的數(shù)據(jù)在如下直角坐標系中描出；感知：②小明猜想h與m的關(guān)系式可能為．（只填字母）a．一次函數(shù)b．二次函數(shù)c．反比例函數(shù)【任務(wù)二】在任務(wù)一的猜想下，當小明平躺在吊床正中間時，請你求出吊床最低點P相較于自然狀態(tài)（無承重）20．（12分）定義：把一組對角相等且一組對邊相等的四邊形稱為“美好四邊形”．例如：在圖1中，四邊形ABCD中，AB＝CD，像這樣的四邊形ABCD為“美好四邊形”．特例探索（1）如圖2，請判斷平行四邊形ABCD（填‘是”或“不是”）美好四邊形；歸納證明（2）如圖3，若四邊形ABCD是“美好四邊形”，∠B＝∠D＝45°，猜想∠ACB與∠CAD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在△ABC中，∠B＝60°，點E為AB中點，連接CE．①請在圖4和備用圖中分別畫出以AB為等邊的所有“美好四邊形”ABCD；（溫馨提示：不限作圖工具，不要求寫作法及證明，請在圖上標明字母）②在（3）的條件下，將射線CE繞點C旋轉(zhuǎn)60°交直線AD于點F，請直接寫出DF的長．

2024-2025學年廣東省深圳市羅湖外語中學九年級（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案ABBDACAA一、單選題（每小題3分，共24分）1．（3分）下列字母圖案中，是中心對稱圖形的為（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)中心對稱圖形的識別逐項分析判斷如下：A、該圖形能繞一點旋轉(zhuǎn)180度，故是中心對稱圖形；B、該圖形不能繞一點旋轉(zhuǎn)180度，故不是中心對稱圖形；C、該圖形不能繞一點旋轉(zhuǎn)180度，故不是中心對稱圖形；D、該圖形不能繞一點旋轉(zhuǎn)180度，故不是中心對稱圖形；故選：A．2．（3分）下列式子運算正確的是（）A．x2+x3＝x6 B．x5÷x3＝x2 C．（x3）2＝x9 D．x2?x4＝x8【解答】解：A、x2與x3不是同類項，不能合并；B、x3÷x3＝x2，故選項B符合題意；C、（x4）2＝x6，故選項C不符合題意；D、x5?x4＝x6，故選項D不符合題意．故選：B．3．（3分）如圖是由五個相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從正面看可得到從左往右三列正方形的個數(shù)依次為：2，1，8，故選B．4．（3分）方程的解是（）A．2 B．3 C．4 D．﹣4【解答】解：，方程兩邊同時乘（x﹣1）（x+6），得5（x+3）＝8（x﹣1），去括號，得5x+15＝x﹣3，解得：x＝﹣4，檢驗：將x＝﹣4代入（x﹣7）（x+3）≠0，∴分式方程的解為x＝﹣4．故選：D．5．（3分）某學校將國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽光特色大課間．某同學“抖空竹”的一個瞬間如圖1所示，若將圖1抽象成圖2的數(shù)學問題：AB∥CD，∠EAB＝70°，則∠E的大小是（）A．40° B．30° C．50° D．45°【解答】解：延長DC交AE于點F，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EFC，∵∠EAB＝70°，∴∠EAB＝∠EFC＝70°，∵∠ECD＝110°，∴∠E＝110°﹣70°＝40°．故選：A．6．（3分）如圖，學校種植園是長32米，寬20米的矩形．為便于管理，使種植面積為600平方米．若設(shè)小道的寬為x米，則下面所列方程正確的是（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝600 B．（32﹣x）（20﹣2x）＝600 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（32﹣2x）（20﹣2x）＝600【解答】解：把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊可得矩形的長為（32﹣2x）米，寬為（20﹣x）米，∴可列方程為（32﹣2x）（20﹣x）＝600，故選：C．7．（3分）一輛汽車油箱中剩余的油量y（L）與已行駛的路程x（km）的對應(yīng)關(guān)系如圖所示．如果這輛汽車每千米的耗油量相同，那么該汽車已行駛的路程為（）A．150km B．165km C．125km D．350km【解答】解：當油箱中剩余的油量為35L時，那么該汽車已行駛的路程為：（50﹣35）×（500÷50）＝150（km），故選：A．8．（3分）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，∠B＝50°，AB＝60（）A．60sin50° B．60cos50° C． D．60tan50°【解答】解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，∠B＝50°，∴AD＝AB?isn50°＝60sin50°，∴點A到BC的距離為60sin50°，故選：A．二、填空題（每題3分，共15分）9．（3分）因式分解：2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）．【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣3）＝2（a+2）（a﹣7）．故答案為：2（a+2）（a﹣3）．10．（3分）不等式組的解集是﹣2＜x≤1．【解答】解：由（1）得x＞﹣2，由（2）得x≤1．11．（3分）無論是“輕羅小扇”，還是“羽扇綸巾”，當古詩詞遇上扇子，扇面書畫，扇骨雕琢，當折扇所在扇形的圓心角為120°時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的弧長AB為cm．（結(jié)果保留π）【解答】解：l＝．故答案為：．12．（3分）如圖，在矩形ABCO中，點A在x軸上，反比例函數(shù)的圖象與矩形交于E，當BE＝CE時，則△OEF的面積為4.5．【解答】解：如圖，過點E作ED⊥x軸于點D，∵四邊形ABCO是矩形，∴∠ODE＝∠OAF＝90，∴，∴S△OGE＝S梯形AFGD，∴S△OEF＝S梯形AFED，設(shè)BE＝CE＝a，則BC＝2a，∴，，∴，，∴，故答案為：5.5．13．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，連接AE，點F為CD的中點，OE＝3，OA＝42．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，∴AE＝＝＝5，∴BE＝AE＝4，∴BO＝8，∴BC＝＝＝4，∵點F為CD的中點，BO＝DO，∴OF＝BC＝2，故答案為：2．三、解答題（共61分）14．（5分）計算：．【解答】解：＝＝2．15．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝3．【解答】解：＝（）÷＝（）×＝，當x＝3時，原式＝．16．（8分）2022年4月15日是第七個全民國家安全教育日．為增強師生的國家安全意識，我區(qū)某中學組織了“國家安全知識競賽”，根據(jù)學生的成績劃分為A、B、C、D四個等級根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（1）參加知識競賽的學生共有40人；（2）扇形統(tǒng)計圖中，m＝10，C等級對應(yīng)的圓心角為144度；（3）小永是四名獲A等級的學生中的一位，學校將從獲A等級的學生中任選2人，參加區(qū)舉辦的知識競賽，求小永被選中參加區(qū)知識競賽的概率．【解答】解：（1）參加知識競賽的學生共有：12÷30%＝40（人）；故答案為：40；（2）m%＝×100%＝10%；C等級對應(yīng)的圓心角為：360°×（1﹣20%﹣10%﹣30%）＝144°；故答案為：10，144；（3）小永用A表示，其他2名同學分別用B、C，根據(jù)題意畫圖如下：共有12種等可能的情況數(shù)，其中小永被選中參加區(qū)知識競賽的有6種，則小永被選中參加區(qū)知識競賽的概率是＝．17．（10分）中考在即，羅曉在文教店用1200元購進了甲、乙兩種品牌碳素筆．已知甲種碳素筆進價為每支12元，乙種碳素筆進價為每支10元．文教店在銷售時甲種碳素筆售價為每支15元，全部售完后共獲利270元．（1）求這個文教店購進甲、乙兩種碳素筆各多少支？（2）若該文教店以原價再次購進甲、乙兩種碳素筆，且購進甲種碳素筆的數(shù)量不變，而購進乙種碳素筆的數(shù)量是第一次的2倍，而甲種碳素筆降價銷售，當兩種碳素筆銷售完畢時，甲種碳素筆最低售價每支應(yīng)為多少元？【解答】解：（1）設(shè)這個文教店購進甲種碳素筆x支，乙種碳素筆y支，根據(jù)題意得：，解得：，答：這個文教店購進甲種碳素筆50支，乙種碳素筆60支；（2）設(shè)甲種碳素筆售價每支應(yīng)為m元，根據(jù)題意得：50（m﹣12）+（12﹣10）×60×2≥340，解得：m≥14，∴m的最小值為14．答：甲種碳素筆最低售價每支應(yīng)為14元．18．（10分）如圖，P為⊙O外一點，PA，A，B為切點，點C在⊙O上，OC，AC．（1）求證：∠AOC＝2∠PAC；（2）連接OB，若AC∥OB，⊙O的半徑為5，求AP的長．【解答】（1）證明：過O作OH⊥AC于H，∴∠OHA＝90°，∴∠AOH+∠OAC＝90°，∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°，∴∠OAC+∠PAC＝90°，∴∠AOH＝∠PAC，∵OA＝OC，∴∠AOC＝2∠AOH，∴∠AOC＝2∠PAC；（2）解：連接OB，延長AC交PB于E，∵PA，PB是⊙O的切線，∴OB⊥PB，PA＝PB，∵AC∥OB，∴AC⊥PB，∴四邊形OBEH是矩形，∴OH＝BE，HE＝OB＝2，∵OH⊥AC，OA＝OC，∴AH＝CH＝AC＝2，∴OH＝＝7，∴BE＝OH＝4，AE＝AH+HE＝8，∵PA2＝AE2+PE2，∴PA3＝82+（PA﹣5）2，∴PA＝10．19．（10分）圖①所示的室外吊床因其輕便易于攜帶且舒適度高成為了人們戶外露營的一種熱門選擇．【問題背景】小明與家人利用周末到戶外露營，聰明的小明發(fā)現(xiàn)吊床的高度會隨吊床的承重發(fā)生變化而改變，于是他想深入探究吊床最低點距離地面的高度與吊床承重的關(guān)系【數(shù)學建?！繛榱朔奖阌嬎?，小明將圖①現(xiàn)實問題抽象成圖②所示的平面圖；吊床搭建在樹AB和樹CD（兩樹與地面垂直），兩端的懸掛高度相等．最低點P離地面豎直高度為h（單位：cm），家人體重為m（單位：kg），小明收集了一些數(shù)據(jù)：【數(shù)據(jù)收集】數(shù)據(jù)如下：爸爸媽媽小明弟弟妹妹m（kg）8056403220h（厘米）4060.47073.677.5【任務(wù)一】描點：①請你將以上表格中的數(shù)據(jù)在如下直角坐標系中描出；感知：②小明猜想h與m的關(guān)系式可能為b．（只填字母）a．一次函數(shù)b．二次函數(shù)c．反比例函數(shù)【任務(wù)二】在任務(wù)一的猜想下，當小明平躺在吊床正中間時，請你求出吊床最低點P相較于自然狀態(tài)（無承重）【解答】解：任務(wù)一：①描點如下：②由①圖可知h與m的關(guān)系式是二次函數(shù)，∴小明猜想h與m的關(guān)系式可能為b，故答案為：b；任務(wù)二：設(shè)最低點P離地面豎直高度為h（單位：cm）與家人體重為m的解析式為h＝am2+bm+c，把（40，70），77.5），40）代入得，，解得，∴h＝﹣5.00625m2+80，當m＝0時，h＝80cm，∴當小明平躺在吊床正中間時，吊床最低點P相較于自然狀態(tài)時下降的高度為80﹣70＝10cm．20．（12分）定義：把一組對角相等且一組對邊相等的四邊形稱為“美好四邊形”．例如：在圖1中，四邊形ABCD中，AB＝CD，像這樣的四邊形ABCD為“美好四邊形”．特例探索（1）如圖2，請判斷平行四邊形ABCD是（填‘是”或“不是”）美好四邊形；歸納證明（2）如圖3，若四邊形ABCD是“美好四邊形”，∠B＝∠D＝45°，猜想∠ACB與∠CAD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在△ABC中，∠B＝60°，點E為AB中點，連接CE．①請在圖4和備用圖中分別畫出以AB為等邊的所有“美好四邊形”ABCD；（溫馨提示：不限作圖工具，不要求寫作法及證明，請在圖上標明字母）②在（3）的條件下，將射線CE繞點C旋轉(zhuǎn)60°交直線AD于點F，請直接寫出DF的長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，∴平行四邊形ABCD是美好四邊形；故答案為：是；（2）∠ACB＝∠CAD或∠ACB+∠CAD＝180°；理由如下：當AB∥CD時，如圖3.1，則“美好四邊形”ABCD是平行四邊形，∴∠ACB＝∠CAD；當AB與CD不平行時，如圖4.2，平移線段AB至EC，連接AE，∴AB＝EC，AB∥EC，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴∠AEC＝∠B＝45°，AE∥BC，∴∠ACB＝∠CAE，∵AB＝EC，AB＝CD，∴EC＝CD，∴∠CDE＝∠CED，∵∠B＝∠ADC＝45°，∴∠ADC＝∠AEC，∴A，C，E，D四點共圓，∴∠CED+∠CAD＝180°，∠CAE＝∠CDE，∴∠ACB＝∠CAE＝∠CDE＝∠CED，∴∠ACB+∠CAD＝180°；∴綜上所述，∠ACB＝∠CAD或∠ACB+∠CAD＝180°；（3）①以AC為邊向右構(gòu)造等邊△ACG，作△ACG的外接圓，AB長為半徑畫圓1、D6，連接AD1、CD1、AD6、CD2，如圖4：∵△ACG是等邊三角形，∴∠AGC＝60°，由作圖可得，CD8＝CD2＝AB，∠AD1C＝∠AD2C＝∠AGC＝60°，∵∠B＝60°，∴∠AD1C＝∠AD2C＝∠B，∴四邊形ABCD5和四邊形ABCD2都是“美好四邊形”，∴以AB為等邊的所有“美好四邊形”ABCD即為所求；②DF的長為或．理由如下：當AB∥CD時，則“美好四邊形”ABCD是平行四邊形，如圖5，四邊形ABCD為平行四邊形，CN⊥AD于點N，∴AD∥BC，∠D＝∠B＝60°，AD＝BC＝10，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝120°，∵CM⊥AB，CN⊥AD，∴∠CMB＝∠CMA＝∠CNA＝∠CND＝90°，∴∠CMA+∠CNA＝180°，∴∠MCN+∠MAN＝180°，∴∠MCN＝180°﹣∠MAN＝180°﹣120°＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠MCN＝∠ECF，∴∠MCN﹣∠ECN＝∠ECF﹣∠ECN，即∠MCE＝∠NCF，∵在Rt△BCM中，，，∴，，∵平行四邊形ABCD的面積為，∴，∴，，∵點E為AB中點，∴，∴，∵∠CME＝