第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年福建省莆田市城廂區(qū)礪成中學(xué)九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線y=2x2-3的對(duì)稱軸是（）A.y軸 B.直線x=2 C.直線 D.直線x=-32.已知⊙O的半徑是8cm,則⊙O中最長(zhǎng)弦長(zhǎng)是（）A.6cm B.12cm C.16cm D.20cm3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，3）與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A.（-1，-3） B.（-1，3） C.（1，-3） D.（1，3）4.如圖，AB，AC為⊙O的兩條弦，連接OB，OC，若∠A=45°，則∠BOC的度數(shù)為（）?A.60°

B.75°

C.90°

D.135°

5.若關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.-9 B. C. D.96.某超市1月份的營(yíng)業(yè)額為100萬(wàn)元，第一季度的營(yíng)業(yè)額為y萬(wàn)元，如果每月平均增長(zhǎng)率為x,那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是（）A.y=100（1+x）2 B.y=100+100×2x

C.y=100+100×3x D.y=100[1+（1+x）+（1+x）2]7.如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=50°，則∠D=（）

A.20° B.40° C.50° D.80°8.如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，連接CE，點(diǎn)D恰好落在線段CE上，若CD=3，BC=1，則AD的長(zhǎng)為（）

A. B. C.2 D.9.在“探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的系數(shù)a,b,c與圖象的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）.同學(xué)們分別畫(huà)出了經(jīng)過(guò)這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)圖象，并得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c,則a+b+c的最大值等于（）

A.-5 B. C.2 D.510.已知y是關(guān)于x的二次函數(shù)，部分y與x的對(duì)應(yīng)值如表所示：則當(dāng)0＜x＜3時(shí)，y的取值范圍是（）x…-10123…y…6323m…A.2＜y＜6 B.2≤y＜6 C.3＜y＜6 D.3≤y＜6二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。11.已知一元二次方程x2+kx+6=0有一個(gè)根為-1，則方程的另一根為

.12.將拋物線y=-2x2+3繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后，得到的拋物線解析式為

.13.有一圓柱形木材，埋在墻壁中，其橫截面如圖所示，測(cè)得木材的半徑為15cm，露在墻體外側(cè)的弦長(zhǎng)AB=18cm，其中半徑OC垂直平分AB，則埋在墻體內(nèi)的弓形高CD=

cm．

14.如圖為拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，其對(duì)稱軸為直線x=2，若其與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（6，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是

.

15.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AC+BD=6，∠AOB=45°，則四邊形ABCD面積的最大值為

.

三、解答題：本題共10小題，共90分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題4分)

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上.若∠ADE=70°，則∠AOC=______度.17.(本小題8分)

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蘹2-2x-15=0.18.(本小題8分)

如圖，在正方形網(wǎng)格中（網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)是1），△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問(wèn)題：

（1）作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A1B1C1，并直接寫(xiě)出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；

（2）若△DEF是由△ABC繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.19.(本小題8分)

某校組織“學(xué)生男子籃球比賽”活動(dòng)，比賽采用單循環(huán)賽制（參賽的每?jī)芍蜿?duì)之間都要比賽一場(chǎng)），共安排了28場(chǎng)比賽，問(wèn)：共有多少支球隊(duì)參加比賽？20.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0．

（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α，β，且α+2β=5，求m的值．21.(本小題8分)

已知△ABC，以AB為直徑的⊙O分別交AC于D，BC于E，連接ED，若ED=EC．

（1）求證：AB=AC；

（2）若BC=5，CD=3，求AB的長(zhǎng)．22.(本小題10分)

如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（-2，0），C（0，-2）.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，線段PC交x軸于點(diǎn)D，△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo).23.(本小題10分)

某商家銷(xiāo)售甲、乙兩種商品，經(jīng)調(diào)查，甲每月的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與成本x（萬(wàn)元）滿足，乙每月的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與成本x（萬(wàn)元）滿足.

（1）今年一月初，商家對(duì)甲、乙兩種商品投入相同的成本a（a＞0）萬(wàn)元，一個(gè)月后兩商品的利潤(rùn)相等，求a的值；

（2）該商家在（1）的條件下，將今年一月份甲、乙商品的全部利潤(rùn)追加25%后作為二月份這兩種商品的成本，當(dāng)甲、乙兩種商品二月份成本分別為多少萬(wàn)元時(shí)，二月份的利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn).24.(本小題12分)

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°.，點(diǎn)D始終在AC的上方，且∠CAD=α（0°＜α＜180°），點(diǎn)E為射線AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，直線FB交直線AD于點(diǎn)M.

（1）如圖1，當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，求證BM⊥AE；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q為AC邊的中點(diǎn)時(shí)，連接MQ，求MQ的最大值；

（3）如圖2，若α=105°，AE=2時(shí)，求△BCF的面積.

25.(本小題14分)

如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)B（3，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)A.

（1）求拋物線的解析式；

（2）D為拋物線的頂點(diǎn).P為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，連接PC、BD交于點(diǎn)E，若BE=CE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)Q為x軸上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn).直線AQ、BQ分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M、N.以下兩個(gè)結(jié)論：①GM+GN為定值；②GM-GN為定值.請(qǐng)找出正確的結(jié)論，并求出該定值.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】-6

12.【答案】y=2x2-3

13.【答案】3

14.【答案】-2＜x＜6

15.【答案】

16.【答案】140

17.【答案】解：x2-2x-15=0，

（x-5）（x+3）=0，

x-5=0或x+3=0，

所以x1=5，x2=-3．

18.【答案】（1，2）

19.【答案】解：設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，

根據(jù)題意得：x（x-1）=28，

整理得：x2-x-56=0，

解得：x1=8，x2=-7（不符合題意，舍去）．

答：共有8支隊(duì)伍參加比賽．

20.【答案】（1）證明：∵a=1，b=-2，c=-3m2，

∴Δ=（-2）2-4×1?（-3m2）

=4+12m2＞0，

∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：由題意得：

，

解得：，

∵αβ=-3m2，

∴-3m2=-3，

∴m=±1，

∴m的值為±1．

21.【答案】（1）證明：∵ED=EC，

∴∠EDC=∠C，

∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，

∴∠EDC=∠B，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）方法一：

解：連接AE，

∵AB為直徑，

∴AE⊥BC，

由（1）知AB=AC，

∴BE=CE=BC=，

∵∠B=∠C，∠EDC=∠C，

∴∠EDC=∠B，

∵∠C=∠C，

∴△CDE∽△CBA，

∴，

∴CE?CB=CD?CA，

∴×5=3CA，

∴CA=，

∵AB=AC，

∴AB=．

方法二：

解：連接BD，

∵AB為直徑，

∴BD⊥AC，

設(shè)AB=a，

由（1）知AC=AB=a，

則AD=a-3，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得：

BD2=CB2-CD2=52-32=42=16，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得：

AB2=BD2+AD2，

∴a2=42+（a-3）2，

整理得：a=，

即：AB=．

22.【答案】解：（1）由題意，將A（-2，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c得

∴

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+x-2．

（2）由題意，設(shè)P（m,n）（m＜0，n＞0），

又△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，

∴，．

∴．

又CO=2，

∴n=2CO=4．

由m2+m-2=4，

∴m1=-3，m2=2（舍去）．

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-3，4）．

23.【答案】解：（1）由題意，得，

整理得a2-18a=0，

解得a1=18，a2=0

（舍去），

∴a=18；

（2）由（1）可得一月份的利潤(rùn)為（萬(wàn)元），

∴（萬(wàn)元），

設(shè)投入乙商品的成本x萬(wàn)元，則投入甲商品的成本（18-x）萬(wàn)元，二月份獲利W萬(wàn)元，

由題意得，

∴當(dāng)x=9時(shí)，W取得最大值，18-9=9（萬(wàn)元），

∴當(dāng)投入甲、乙兩種商品的成本均為9萬(wàn)元時(shí)，二月份獲利最大，最大值利潤(rùn)為萬(wàn)元．

24.【答案】（1）證明：設(shè)BC、AD交于點(diǎn)O，

∵將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，

∴CE=CF，∠ECF=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCF=∠ACE，

∵CB=CA，

∴△CBF≌△CAE（SAS），

∴∠CBF=∠CAE，

∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=BOM，

∴∠CBF+∠BOM=90°，

∴∠AMB=90°，

∴BM⊥AE；

（2）解：當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，MQ有最大值，

如圖，取AB的中點(diǎn)N，連接NQ，MN，

∵∠ACB=90°，CB=CA=4，

∴AB==8，∠BAC=45°，

由（1）知BM⊥AE，

∴MN=AB=4，

∵Q為AC邊的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，

∴QN=BC=2，

由三角形的三邊關(guān)系得MQ＞MN+QN，

∴當(dāng)M、N、Q三點(diǎn)共線時(shí)，MQ的最大值為MN+QN=4+2，

即MQ的最大值為4+2；

（3）解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BM于G，作CH⊥AM于H，

∵BM⊥AE，

∴四邊形MHCG是矩形，

∴∠HCG=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACH=∠BCG，

∵∠AHC=∠BGC，CB=CA=4，

∴△ACH≌△BCG（AAS），

∴CG=CH，BG=AH，

∴四邊形MHCG是正方形，

∴MH=MG=AM+AH，

∴BM=MG+BG=AM+AH+