勾股定理的應用課程標準學習目標①利用勾股定理解決實際問題；②從實物中抽象出幾何圖形。1．利用勾股定理及逆定理解決生活中的實際問題；2．通過觀察圖形，探索圖形間的關系，發(fā)展學生的空間觀念．3．能夠從實際問題中抽象出直角三角形，并能運用勾股定理進行有關的計算和證明。知識點01勾股定理的應用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論.【即學即練1】1．（23-24八年級下·重慶開州·期中）如圖，今年的冰雪災害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是（

）米A． B．5 C．8 D．7【答案】C【分析】此題主要考查了勾股定理的應用．運用勾股定理直接解答即可求出斜邊，據此求解即可．【詳解】解：米，米，，折斷的部分長為（米），折斷前高度為（米）．故選：C．2．（23-24八年級下·內蒙古呼和浩特·期中）如圖(1)，在某居民小區(qū)內有一塊近似長方形的草坪，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內走出了一條“路”，僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草，如圖(2)，經過測量，，計算僅僅少走了步．(假設米為步)【答案】【分析】本題考查勾股定理的應用，根據勾股定理求出路長，即三角形的斜邊長，再求兩直角邊的和與斜邊的差即可求解．正確應用勾股定理是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意知：，，，∴，∴少走的距離是：，∵米為步，∴米為步，∴僅僅少走了步．故答案為：．知識點02平面展開圖-最短路徑問題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短確定最短路線，構造直角三角形，利用勾股定理求解【即學即練1】1．（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習）（1）如圖1，長方體的長為，寬為，高為．求該長方體中能放入木棒的最大長度；（2）如圖2，長方體的長為，寬為，高為．現有一只螞蟻從點處沿長方體的表面爬到點G處，求它爬行的最短路程；（3）如圖3，若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為，底面周長為，在容器內壁離底部的點處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿與飯粒相對的點A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？【答案】（1）

（2）

（3）【分析】本題考查了平面展開—最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大長度即可．（2）將長方體展開，利用勾股定理解答即可；（3）將容器側面展開，建立關于的對稱點，根據兩點之間線段最短可知的長度即為所求．【詳解】解：（1）由題意得：如圖，該長方體中能放入木棒的最大長度是：；（2）①如圖，，②如圖，，③如圖，，，∴最短路程為；（3）∵高為，底面周長為，在容器內壁離容器底部的點處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與飯粒相對的點處，將容器沿側面展開，作關于的對稱點，，連接，則即為最短距離，∴題型一應用勾股定理解決梯子滑落高度【典例1】（23-24八年級下·甘肅武威·期中）如圖，一架2.5米長的梯子斜靠在豎直的墻上，這時梯子底部B到墻底端的距離為0.7米，考慮爬梯子的穩(wěn)定性，現要將梯子頂部A沿墻下移0.4米到處，問梯子底部B將外移多少米？【答案】梯子底部外移0.8米．【分析】本題考查正確運用勾股定理，在中，根據已知條件運用勾股定理可將的長求出，又知的長可得的長，在中再次運用勾股定理可將求出，的長減去的長即為底部外移的距離．【詳解】解：在中，，，米，又，，在中，米，則米．故：梯子底部外移0.8米．【變式1】（23-24八年級下·廣西柳州·期中）如圖1是籃球架側面示意圖，小明為了測量籃板的長度，設計了如下方案：如圖2，垂直地面于點，線段，表示同一根竹竿，第一次將竹竿的一個端點與點重合，另一端點落在地面的點處，第二次將竹竿的一個端點與點重合，另一端點落在地面的點處．測量得竹竿的長為5米，的長為3米，的長為4米．根據以上測量結果，請你幫助小明求出籃板的長度．【答案】籃板的長度為1米．【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，利用勾股定理分別求出的長即可得到答案．【詳解】解：由題意得，米，，在中，由勾股定理得米，在中，由勾股定理得米，∴米，∴籃板的長度為1米．【變式2】（23-24八年級下·遼寧大連·期中）一架長的梯子，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻．(1)如圖，，，求這架梯子的頂端距地面有多高？(2)如圖，如果梯子靠墻下移，底端向右移動至點處，求它的頂端A沿墻下移多少米？

【答案】(1)這架梯子的頂端距地面有(2)梯子的頂端沿墻下移【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握利用勾股定理計算是解題的關鍵．（1）根據勾股定理，計算得出答案即可；（2）根據、，結合勾股定理計算，最后根據得出答案即可．【詳解】（1）解：∵于點，∴，在中，根據勾股定理，得，∵，，∴，答：這架梯子的頂端距地面有；（2）解：由題意，得，∴，∵，∴在中，根據勾股定理，得，∴，∴，答：梯子的頂端沿墻下移．【變式3】（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖1，一個梯子長為5米，頂端A靠在墻上，這時梯子下端B與墻角C之間的距離是4米．(1)求梯子的頂端與墻角C之間的距離．(2)如圖2，將梯子的底端B向C方向挪動1米，若在墻的上方點E處須懸掛一個廣告牌，點E與C之間的距離是4.2米，試判斷：此時的梯子的擺放位置能否夠到點E處？【答案】(1)3米(2)不能【分析】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理求邊長；（1）根據勾股定理求邊長即可；（2）先求出底端B向C方向挪動1米后底端到墻角C的距離，再由勾股定理求解梯子的頂端到達的高度，再與E的高度進行比較即可；【詳解】（1）解：由題意知米，，在中，米，梯子的頂端與墻角C之間的距離是3米；（2）不能，理由如下：設B向C方向挪動1米到，此時A向上挪動到，則米，米，米，米，米，在中，米，，，梯子的擺放位置不能夠到點E處；題型二應用勾股定理解決旗桿高度【典例1】（23-24八年級下·河南漯河·期中）如圖①，為直立在水平操場上的旗桿，旗繩自然下垂，發(fā)現旗繩的長度比旗桿的高度多，現在要測量旗桿的高度（不許將旗桿放倒）．(1)第一小組的方法是將旗繩的底端從點B滑動到點C，并使旗繩筆直，如圖②，此時測量得出，請按此方法求出旗繩的長度；(2)第二小組的方法是利用高的標桿，將旗繩的底端與標桿頂端D重合，并移動標桿至旗繩筆直，且標桿垂直于地面，如圖③，請利用（1）中的結論求出標桿和旗桿的水平距離的長度）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵將實際問題轉化為幾何問題．（1）根據題意可知構成直角三角形，設，根據勾股定理即可求得的長度；（2）過點D作，垂足為F，于是構成矩形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得的長，即為標桿和旗桿的水平距離的長度．【詳解】（1）設旗繩的長度為，則旗桿的長為，解得：，即．答：旗繩的長度為．（2）由題意可知：過點D作，垂足為F，則，答：標桿與旗桿的水平距離為．【變式1】（23-24八年級下·湖北荊門·期中）為了測量學校旗桿的高度，某數學興趣小組發(fā)現系在旗桿頂端A的繩子垂到了地面B并多出了一段的長度為1米，把繩子拉直向左走5米后，繩子底端C正好落在地面D處，請通過以上信息求出旗桿的高度．【答案】12米【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，設旗桿的高度為x米，則（米），在中由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：由題意知米，設旗桿的高度為x米，則（米），在中，由勾股定理得，∴，解得，∴米.答；旗桿的高度為12米．【變式2】（23-24八年級下·吉林·階段練習）如圖，數學興趣小組要測量旗桿的高度，同學們發(fā)現系在旗桿頂端的繩子垂到地面多出一段的長度為1米，小迪同學將繩子拉直，測出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米．(1)求旗桿的高度；(2)小迪在C處，用手拉住繩子的末端，伸直手臂(拉繩處E與腳底F的連線與地面垂直)，后退至將繩子剛好拉直為止，測得小迪手臂伸直后離地的高度為2米，且小迪與旗桿的水平距離相等，即．求小迪需要后退的距離的長度(結果保留根號)．【答案】(1)旗桿的高度為米(2)小迪需要后退的距離的長度為米【分析】本題考查勾股定理的實際應用：（1）設旗桿的高度為米，根據系在旗桿頂端的繩子垂到地面多出一段的長度為1米，將繩子拉直，測出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，列出方程進行求解即可；（2）勾股定理求出的長，再用進行計算即可．【詳解】（1）解：設旗桿的高度為米，則繩子的長為米，由勾股定理，得：，解得：；即：旗桿的高度為米；（2）由（1）可知，繩子的長度為米，由題意，得：米，米，∴由勾股定理，得：米，∴米，∴（米）；答：小迪需要后退的距離的長度為米．【變式3】（23-24八年級下·湖北武漢·期中）武漢光谷中央生態(tài)大走廊大草坪上，不僅有空軌旅游專線，而且視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風箏的最佳場所．某校801班的小明和小亮學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度，他們進行了如下操作：①測得水平距離的長為15米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明的身高為1.6米．(1)求風箏的垂直高度；(2)如果小明站在原地想風箏沿方向下降12米，則他應該往回收線多少米？(3)小亮想一邊收線，一邊后退，也使風箏沿方向下降12米，且讓收線的長度和后退的距離相等．試問小亮的想法能否實現，如果能實現，請求出收線的長度；如果不能實現，請說明理由．【答案】(1)21.6米(2)8米(3)4.2米【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟記勾股定理是解題的關鍵．（1）根據勾股定理求出的長即可得出結果；（2）設他應該往回收線米，根據勾股定理得出方程求解即可；（3）設收線的長度為米，根據勾股定理得出方程求解即可．【詳解】（1）解：在中，由勾股定理得，（米），（米）；風箏的垂直高度為21.6米．（2）解：設他應該往回收線米，根據勾股定理得，，解得，答：他應該往回收線8米．（3）解：設收線的長度為米，如圖，則米，（米，米，根據勾股定理得，，解得，答：收線的長度為4.2米．題型三應用勾股定理解決小鳥飛行的距離【典例1】（23-24八年級下·新疆喀什·期中）如圖，一只小鳥旋停在空中點，點到地面的高度米，點到地面點（，兩點處于同一水平面）的距離米．(1)求出的長度；(2)若小鳥豎直下降到達點（點在線段上），此時小鳥到地面點的距離與下降的距離相同，求小鳥下降的距離．【答案】(1)米(2)小鳥下降的距離為米【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，熟練的掌握勾股定理是解題的關鍵．（1）在直角三角形中運用勾股定理即可解答；（2）在中，根據勾股定理即可解答．【詳解】（1）由題意知，∵米，米．在中米，（2）設，到達D點（D點在線段上），此時小鳥到地面C點的距離與下降的距離相同，則，，在中，，，解得，小鳥下降的距離為米．【變式1】（23-24八年級下·浙江臺州·期中）如圖，有兩棵樹，分別記為，．其中一棵樹高12米，另一棵樹高6米，兩棵樹相距8米．若一只小鳥從樹梢A飛到樹梢C，求小鳥飛行的最短距離．【答案】小鳥飛行的最短路程為10米【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，根據“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．解題的關鍵是將現實問題建立數學模型，運用數學知識進行求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，則四邊形是長方形，連接．∵米，米，米，∴米，米，米，在中，(米)，故小鳥飛行的最短路程為10米．【變式2】（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，一只小鳥旋停在空中A點，A點到地面的高度米，A點到地面C點（B，C兩點處于同一水平面）的距離米．(1)求出的長度；(2)若小鳥豎直下降到達D點（D點在線段上），此時小鳥到地面C點的距離與下降的距離相同，求小鳥下降的距離．【答案】(1)15米；(2)米【分析】本題主要考查了勾股定理得實際應用，熟練地掌握勾股定理是解題的關鍵．（1）在直角三角形中運用勾股定理即可解答；（2）在中，根據勾股定理即可解答．【詳解】（1）由題意知，∵米，米．在中米，（2）設，到達D點（D點在線段上），此時小鳥到地面C點的距離與下降的距離相同，則，，在中，，，解得，小鳥下降的距離為米．題型四應用勾股定理解決大樹折斷前的高度【典例1】（23-24八年級下·西藏日喀則·期中）如圖，一次“臺風”過后，一根旗桿被臺風從離地面3米處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部4米處，那么這根旗桿被吹斷裂前至少有多高？【答案】8米【分析】本題考查了勾股定理的應用，據勾股定理，計算，后根據樹高為計算即可．【詳解】如圖：由題意得：，，，∴，∴（米）答：根旗桿被吹斷裂前高為8米．【變式1】（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）《九章算術》是我國古代最重要的數學著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問折者高幾何？”翻譯成數學問題是：在中，，求的長．【答案】【分析】本題考查勾股定理的應用，利用勾股定理建立方程是解題的關鍵．在中利用勾股定理建立方程即可求出．【詳解】解：∵，∴，在中，，，即，解得．【變式2】（22-23八年級上·陜西西安·期中）我國古代的數學名著《九章算術》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部3尺遠．問：原處還有多高的竹子？（丈尺）

【答案】【分析】竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺．利用勾股定理解題即可．【詳解】解：設竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，根據勾股定理得：，解得：，故原處還有尺高的竹子．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是利用題目信息構造直角三角形，從而運用勾股定理求解．【變式3】（23-24八年級上·河北保定·期中）如圖，一根直立的旗桿高，因刮大風旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為．

(1)求旗桿在距地面多高處折斷（即求的長度）．(2)工人在修復的過程中，發(fā)現在折斷點C的下方的點D處，有一條明顯的裂痕，將旗桿C處修復后，若下次大風將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部米處是否有被砸傷的風險？【答案】(1)(2)有危險，見解析【分析】本題考查了勾股定理的應用，（1）根據題意，，結合，代入計算即可．（2）根據，，得到，求得，根據勾股定理求出的長，比較后判斷即可．【詳解】（1）根據題意，，，∵，∴，解得，故的長度為3米．（2）根據(1)得，，∴，∴，∴，∵，，且，∴，故有危險．題型五應用勾股定理解決水杯中的筷子問題【典例1】（23-24八年級下·陜西延安·期中）如圖，圓柱形茶杯內部底面的直徑為，若將長為的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度為，則筷子露在茶杯口外的部分的最短長度是多少？【答案】筷子露在茶杯口外的部分的最短長度是【分析】本題考查的是勾股定理的應用，根據題意畫出圖形，根據筷子露在杯子口外的最短長度以及筷子的長度，求出筷子插入茶杯的最大長度，根據勾股定理求出的長度是解答此題的關鍵．【詳解】解：由題意，得，，，由勾股定理，得，∴，∴筷子露在茶杯口外的部分的最短長度是．【變式1】（23-24八年級下·廣東汕尾·階段練習）如圖，有一個水池，其底面是邊長為16尺的正方形，一根蘆葦生長在它的正中央，高出水面部分的長為2尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦的頂部B恰好碰到岸邊的，則這根蘆葦的長是多少尺？【答案】這根蘆葦的長是17尺．【分析】本題主要考查勾股定理的應用，熟悉數形結合的解題思想是解題關鍵．如圖所示，設蘆葦長尺，則水深尺，根據題意得到尺，根據勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦的長．【詳解】解：如圖所示，設蘆葦長尺，則水深尺，因為尺，所以尺在中，，解得：，∴尺．∴蘆葦長17尺．【變式2】（23-24八年級下·云南昭通·階段練習）《九章算術》中有一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦生長在它的中央，高出水面部分為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦的頂部恰好碰到岸邊．求水深和蘆葦長各是多少尺？【答案】水深尺，蘆葦長尺【分析】此題主要考查了勾股定理的應用．我們可以將其轉化為數學幾何圖形，如圖所示，根據題意，可知的長為尺，則尺，設出尺，表示出水深，根據勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦的長和水深．【詳解】解：依題意畫出圖形，設蘆葦長尺，則水深尺，

因為尺，所以尺，在中，，解之得，即水深尺，蘆葦長尺．【變式3】（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，一個直徑為（即）的圓柱形杯子，在杯子底面的正中間點E處豎直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），當筷子倒向杯壁時（筷子底端不動），筷子頂端正好觸到杯壁D，求筷子的長度．

【答案】【分析】設杯子的高度是，則筷子的高度為，根據勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，根據勾股定理列出方程是解題的關鍵．【詳解】解：設杯子的高度是，則筷子的高度為，

∵杯子的直徑為，∴，在中，由勾股定理得：，解得，∴筷子．答：筷子的長度為．題型六應用勾股定理解決航海問題【典例1】（23-24八年級下·安徽安慶·階段練習）一艘輪船從港向南偏西方向航行到達島，再從島沿方向航行到達島，港到航線的最短距離是．(1)若輪船速度為小時，求輪船從島沿返回港所需的時間．(2)島在港的什么方向？【答案】(1)從島返回港所需的時間為3小時(2)島在港的北偏西【分析】本題考查了勾股定理的應用，方向角問題，是基礎知識比較簡單．（1）中，利用勾股定理求得的長度，則；然后在中，利用勾股定理來求的長度，則時間間路程速度；（2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定義作答．【詳解】（1）由題意，中，，得．．．．（小時）．答：從島返回港所需的時間為3小時．（2），．．．島在港的北偏西．【變式1】（23-24七年級上·遼寧朝陽·期中）如圖，一艘輪船先從A地出發(fā)行駛到B地，又從B地行駛到C地，B地在A地南偏西的方向，距離A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距離B地100海里．

(1)表示出B地相對于C地的位置；(2)求A，C兩地之間的距離．【答案】(1)B地在C地南偏東的方向，距離C地100海里(2)海里【分析】本題考查了方向角，勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．（1）結合圖形觀察即可求解；（2）判斷，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，

∵C地在B地北偏西的方向，距離B地100海里∴B地在C地南偏東的方向，距離C地100海里；（2）解：根據題意，得，∴海里，即A，C兩地之間的距離海里．【變式2】（23-24八年級上·江蘇泰州·期中）一輛轎車從地以的速度向正東方向行駛，同時一輛貨車以速度從地向正北方向行駛，2小時后兩車同時到達走向公路上的兩地．(1)求兩地的距離；(2)若要從地修建一條最短新路到達公路，求的距離．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了方位角、勾股定理的應用等知識，解題的關鍵是：（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）根據等面積法求解即可．【詳解】（1）解：根據題意，得，，，∴，即兩地的距離為；（2）解：根據等面積法知：，即，∴，即的距離為【變式3】如圖，甲，乙兩條輪船同時從港口A出發(fā)，甲輪船以每小時30海里的速度向東北方向航行，乙船以每小時15海里的速度沿著北偏東方向航行，1小時后，甲船接到命令要與乙船會合，于是甲船在B處改變航向，沿南偏東方向航行，結果甲，乙兩船在小島C處相遇．假設乙船的速度和航向保持不變，求：（結果保留根號）

(1)港口A與小島C之間的距離；(2)甲船從B處行至小島C的速度．【答案】(1)海里(2)海里/時【分析】（1）自B作，垂足為M，根據題意知，可推知，，分別在與中依據已知的特殊角、已知邊，可逐一求出的長，于是的長度可求出．（2）先依據的距離與乙船航行的速度可求得乙船航行的時間，然后求出甲船從B處行至小島C的時間，最后求得甲船此段航行的速度．【詳解】（1）如圖，過點B作，垂足為M，

由題意得，，°，設指示南北方向，點N在線段上，則，∴．由題意知，，∴在中，海里，∴海里，海里，在中，，∴海里，∴海里，答：港口A與小島C之間的距離為海里；（2）在中，海里，∴（海里），∴乙船行駛的時間為小時，∴甲船從B處行至小島C的時間為（小時）．∴甲船從B處行至小島C的速度為（海里/時），答：甲船從B處行至小島C的速度為海里/時．【點睛】本題主要考查了與方向角有關的計算題，涉及勾股定理的應用、含30°角的直角三角形等知識點，解題的關鍵是準確理解“方向角”．題型七應用勾股定理解決河的寬度【典例1】（23-24八年級下·河北唐山·期中）如圖，池塘邊有兩點，點是與方向成直角的方向上一點，測得長為米，長為米．求兩點間的距離（取）．【答案】米．【分析】本題考查了勾股定理的應用，利用勾股定理直接計算即可求解，掌握勾股定理的應用是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得，∵米，米，∴米，答：兩點間的距離為米．【變式1】（23-24八年級下·廣東東莞·期中）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點A處偏離欲到達地點B處，結果他在水中實際游的路程比河的寬度多．求該河的寬度的長．【答案】米【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．設米，則米，根據勾股定理得出，求出即可得出答案．【詳解】解：根據題意可知：設米，則米，在中，，，即，解得：，即米，答．該河的寬度為75米．【變式2】（22-23八年級下·陜西延安·期末）如圖，湖的兩岸有兩棵景觀樹，在與垂直的方向上取一點，測得米，米．求兩棵景觀樹之間的距離．

【答案】兩棵景觀樹之間的距離是12米【分析】根據勾股定理：在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方計算即可．【詳解】解：在Rt中，由勾股定理，得：，（米）．答：兩棵景觀樹之間的距離是12米．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應用，解題關鍵是熟練應用勾股定理．【變式3】（22-23八年級下·湖南長沙·階段練習）如圖，某渡船從點B處沿著與河岸垂直的路線橫渡，由于受水流的影響，實際沿著航行，上岸地點C與欲到達地點A相距70米，結果發(fā)現比河寬多10米．(1)求該河的寬度；（兩岸可近似看作平行）(2)設實際航行時，速度為每秒5米，從C回到A時，速度為每秒4米，求航行總時間．【答案】(1)米(2)航行總時間為67.5秒【分析】（1）根據題意可知為直角三角形，根據勾股定理就可求出直角邊的距離．（2）根據時間路程速度，求出行駛的時間即可．【詳解】（1）解：設米，則米，在中，根據勾股定理得：，解得：，答：河寬240米．（2）解：（秒），（秒），（秒），答：航行總時間為67.5秒．【點睛】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理，列出方程是解題的關鍵．題型八應用勾股定理解決臺階上地毯長度【典例1】（23-24八年級上·山東棗莊·階段練習）某會展中心在會展期間準備將高、長、寬的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要多少元？【答案】1020【分析】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即與的和，在直角中，根據勾股定理即可求得的長，地毯的長與寬的積就是面積，再乘地毯每平方米的單價即可求解．【詳解】解：由勾股定理得，則地毯總長為，則地毯的總面積為（平方米），所以鋪完這個樓道至少需要（元）．故答案為：1020．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，正確理解地毯的長度的計算是解題的關鍵．【變式1】（23-24八年級上·河南南陽·階段練習）如圖，在一個高米，長米的樓梯表面鋪地毯，則該地毯的長度至少是米．【答案】【分析】本題考查勾股定理的應用，解題的關鍵是知道求地毯長度即求在直角三角形中，已知，，根據勾股定理即可求得的值，根據題意求地毯長度即求得即可．【詳解】解：將水平地毯下移，豎直地毯右移即可發(fā)現：地毯長度為直角三角形的兩直角邊之和，即，根據勾股定理可得米，故地毯長度為米，故答案為：．【變式2】（22-23八年級下·安徽宣城·期中）為慶?！包h的二十大”勝利召開，市活動中心組建合唱團進行合唱表演，欲在如圖所示的階梯形站臺上鋪設紅色地毯，已知這種地毯每平方米售價為30元，站臺寬為，則購買這種地毯至少需要元．【答案】2100【分析】利用勾股定理求出水平的直角邊長，然后求出需要地毯的總長度，進而可得需要地毯的總面積，然后可得答案．【詳解】解：由勾股定理得，水平的直角邊，所以地毯水平部分的和是水平邊的長，豎直部分的和是豎直邊的長，所以需要地毯的總長度為，所以需要地毯的總面積為，所以購買這種地毯至少需要元，故答案為：2100．【點睛】本題考查了勾股定理，平移的應用，解題的關鍵是結合圖形分析得出地毯水平部分的和是水平邊的長，豎直部分的和是豎直邊的長．【變式3】（21-22八年級下·重慶九龍坡·期末）如圖有一個四級臺階，它的每一級的長、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺階表面8個矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級臺階的高為多少分米？(2)A和C是這個臺階上兩個相對的端點，臺階角落點A處有一只螞蟻，想到臺階頂端點C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為多少分米？【答案】(1)每一級臺階的高為2分米．(2)螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為30分米．【分析】（1）設每一級臺階的高為x分米，根據題意列方程即可得到結論；（2）先將圖形平面展開，再用勾股定理根據兩點之間線段最短進行解答．【詳解】（1）解：設每一級臺階的高為x分米，根據題意得，18×（4＋x）×4＝432，解得x＝2，答：每一級臺階的高為2分米；（2）四級臺階平面展開圖為長方形，長為18分米，寬為（2＋4）×4＝24分米，則螞蟻沿臺階面從點A爬行到C點最短路程是此長方形的對角線長．由勾股定理得：AC＝（分米），答：螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為30分米．【點睛】本題考查了平面展開?最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據題意判斷出長方形的長和寬即可解答．題型九應用勾股定理解決汽車是否超速問題【典例1】（23-24八年級下·廣東廣州·期中）某段公路限速是．“流動測速小組”的小王在距離此公路的A處觀察，發(fā)現有一輛可疑汽車在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測距儀，可疑汽車從處行駛后到達處，測得，若．求出速度并判斷可疑汽車是否超速？【答案】，超速了【分析】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．先根據勾股定理求出，再根據速度公式求出速度，即可解答．【詳解】解：∵，，，∴根據勾股定理可得：，∴該汽車的速度為，∵，∴可疑汽車超速了．【變式1】（23-24八年級下·廣西玉林·期中）某路段限速標志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過，如圖，一輛小汽車在該筆直路段上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀的正前方的點處，后小汽車行駛到點處，測得此時小汽車與車速檢測儀間的距離為，．(1)求的長．(2)這輛小汽車超速了嗎？并說明理由．【答案】(1)(2)這輛小汽車不超速，理由見解析【分析】本題考查了勾股定理的應用，由勾股定理求出的長是解題的關鍵．（1）由勾股定理求出的長即可；（2）求出這輛小汽車的速度，即可解決問題．【詳解】（1）解：根據題意得：，，，，答：的長為；（2）解：這輛小汽車不超速，理由如下：該小汽車的速度為，這輛小汽車不超速．【變式2】（23-24八年級上·廣東佛山·期中）某段公路限速是100km/h．“流動測速小組”的小王在距離此公路400m的A處觀察，發(fā)現有一輛可疑汽車在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測距儀，可疑汽車從C處行駛10s后到達B處，測得，若．(1)求BC的長度；(2)求出速度判斷可疑汽車是否超速？【答案】(1)m；(2)可疑汽車已經超速．【分析】本題考查的是勾股定理的應用．（1）根據勾股定理求出敵方汽車行駛的距離；（2）根據速度的計算公式計算即可．【詳解】（1）解：由題意得，m，m，由勾股定理得，m；（2）解：km/h，，答：可疑汽車已經超速．【變式3】（23-24八年級下·河北廊坊·階段練習）“為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某路段上限速60千米小時，為了檢測車輛是否超速，在公路旁設立了觀測點C，從觀測點C測得一小車從點A到達點B行駛了5秒，已知，米，米．

(1)請求出觀測點C到公路的距離；(2)此車超速了嗎？請說明理由．（參考數據：）【答案】(1)觀測點C到公路的距離為米(2)此車沒有超速，理由見解析【分析】此題主要考查了勾股定理的應用；熟練掌握勾股定理是解決問題的關鍵．（1）過點C作于H，先求出的長，再用勾股定理求解即可；（2）先求出的長，再求出的長，進而求出汽車的速度，即可得出答案．【詳解】（1）過點C作于H，在中，，．米米米即觀測點C到公路的距離為米．

（2）米，米米∴車速為米/秒千米/小時米秒，∴此車沒有超速．題型十應用勾股定理解決是否受臺風影響問題【典例1】（23-24八年級下·四川瀘州·期中）年7月五號臺風“杜蘇芮”登陸，使我國很多地區(qū)受到嚴重影響．據報道，這是今年以來對我國影響最大的臺風，風力影響半徑（即以臺風中心為圓心，為半徑的圓形區(qū)域都會受臺風影響）．如圖，線段是臺風中心從市向西北方向移動到市的大致路線，是某個大型農場，且．若，之間相距，，之間相距．(1)判斷農場是否會受到臺風的影響，請說明理由．(2)若臺風中心的移動速度為，則臺風影響該農場持續(xù)時間有多長？【答案】(1)會受到臺風的影響，理由見解析；(2)臺風影響該農場持續(xù)時間為．【分析】（）勾股定理求出，過點作，垂足為，根據面積法求出，判斷即可；（）假設臺風在線段上移動時，會對農場造成影響，得，，由勾股定理，可得的長度，再除以速度即可得到時間；此題考查了勾股定理的應用，應用勾股定理解決實際問題，正確理解題意確定直角三角形利用勾股定理進行計算是解題的關鍵．【詳解】（1）會受到臺風的影響，理由：如圖，過點作，垂足為，因為在中，，，，所以，因為，所以，所以，因為，所以農場會受到臺風的影響；（2）如圖，假設臺風在線段上移動時，會對農場造成影響，所以，，由勾股定理，可得，因為臺風的速度是，所以受臺風影響的時間為，答：臺風影響該農場持續(xù)時間為．【變式1】（2024·湖南永州·模擬預測）如圖某貨船以海里的速度將一批重要的物資由處運往正西方向的處，經的航行到達，到達后必須立即卸貨．此時，接到氣象部門的通知，一臺風中心、以海里的速度由處向北偏西方向移動，距臺風中心海里以內的圓形區(qū)域會受到影響．（）問：(1)處是否會受到臺風的影響？請說明理由．(2)如果處受到臺風影響，那么求出影響的時間．【答案】(1)會受臺風影響，理由見解析(2)小時【分析】本題主要考查含30度直角三角形的性質及勾股定理解三角形，解題的關鍵是理解題意，靈活運用相關知識．（1）處是否會受到臺風影響，其實就是到的垂直距離是否超過海里，如果超過則不會影響，反之受影響，過點作交于點，求出即可求解；（2））結合題意可得在點右側相同的距離內點也受影響，即可求出時間；將實際問題轉化為數學問題，構造出與實際問題有關的直角三角形是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖1，過點作交于點，在中，，，海里，海里，，會受臺風影響；（2）如圖2，如圖，海里，在中，海里，同時在點右側相同的距離內點也受影響，小時，影響的時間為小時．【變式2】（23-24八年級下·云南昭通·期中）6號臺風“煙花”風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線上的兩點A、B的距離分別為，，又，經測量，距離臺風中心及以內的地區(qū)會受到影響．(1)海港C受臺風影響嗎?為什么?(2)若臺風中心的移動速度為20千米/時，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長?【答案】(1)會受到影響，理由見解析(2)小時【分析】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直角三角形，再利用勾股定理解答．（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，進而得出的度數；利用三角形面積得出的長，進而得出海港是否受臺風影響；（2）利用勾股定理得出以及的長，進而得出臺風影響該海港持續(xù)的時間．【詳解】（1）海港受臺風影響，理由：，，，，是直角三角形，；過點作于，是直角三角形，，，，以臺風中心為圓心周圍以內為受影響區(qū)域，海港受臺風影響；（2）如圖，當，時，正好影響港口，，，臺風的速度為20千米小時，（小時）．答：臺風影響該海港持續(xù)的時間為10小時．【變式3】（23-24八年級下·內蒙古鄂爾多斯·期中）如圖，公路和公路在點P處交匯，且，在A處有一所中學，米，此時有一輛消防車在公路上沿方向以每秒5米的速度行駛，假設消防車行駛時周圍100米以內有噪音影響．(1)學校是否會受到影響？請說明理由．(2)如果受到影響，則影響時間是多長？【答案】(1)學校受到噪音影響．理由見解析(2)學校受影響的時間為32秒．【分析】本題主要考查了含直角三角形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識點，正確作出輔助線、構造直角三角形成為解題的關鍵．（1）如圖：作于B，根據含直角三角形的性質可得，然后與比較即可；（2）如圖：以點A為圓心，為半徑作交于C、D，由等腰三角形的性質可得，再運用勾股定理求得，即，最后求出影響時間即可．【詳解】（1）解：學校受到噪音影響．理由如下：如圖：作于B，∵，∴，∵，∴消防車在公路上沿方向行駛時，學校受到噪音影響．（2）解：如圖：以點A為圓心，為半徑作交于C、D，∵，∴，在中，，∴，∴，∵消防車的速度，∴消防車在線段上行駛所需要的時間（秒），∴學校受影響的時間為32秒．題型十一應用勾股定理解決選扯距離相離問題【典例1】（23-24八年級下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，在筆直的鐵路上A、B兩點相距，C，D為兩村莊，于A，于B．現要在上建一個中轉站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求的長．【答案】的長為【分析】本題考查的是勾股定理，比較簡單，需要熟練掌握勾股定理的基礎知識．先設，則，再根據勾股定理計算即可得出答案．【詳解】解：設，則，由勾股定理得：在中，，在中，，由題意可知：，所以，解得：即的長為．【變式1】（23-24八年級下·湖北荊州·階段練習）如圖，直線l為一條公路，A，D兩處各有一個村莊，于點B，于點C，千米，千米，千米．現需要在上建立一個物資調運站E，使得E到A，D兩個村莊距離相等，請求出E到C的距離．【答案】E到C的距離為千米【分析】本題考查了勾股定理的應用，設千米，則千米，由根據勾股定理可得關于的方程，解方程即得結果．【詳解】如圖，設千米，則千米，在中，根據勾股定理，，在中，根據勾股定理，，∵，∴，即，解得：，即E到C的距離為千米．【變式2】（23-24八年級下·重慶開州·階段練習）如圖，開州大道上兩點相距為兩商場，于于．已知．現在要在公路上建一個土特產產品收購站，使得兩商場到站的距離相等，

(1)求站應建在離點多少處？(2)若某人從商場以的速度勻速步行到收購站，需要多少小時？【答案】(1)站應建在離站處(2)需要2小時【分析】本題考查了勾股定理的應用，利用勾股定理正確建立方程是解題關鍵．（1）先根據垂直的定義可得，再根據勾股定理可得，，從而可得，設，則，據此建立方程，解方程即可得；（2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出時間．【詳解】（1）解：∵使得兩村到站的距離相等，∴，∵，，∴，∴，，∴，設，則，∵，∴，解得：，∴，答：站應建在離站處；（2）解：，（小時）答：需要2小時．【變式3】（23-24七年級上·山東淄博·期中）為推進鄉(xiāng)村振興，把家鄉(xiāng)建設成為生態(tài)宜居、交通便利的美麗家園，某地大力修建嶄新的公路如圖所示，現從A地分別向C、D、B三地修了三條筆直的公路和，C地、D地、B地在同一筆直公路上，公路和公路互相垂直，又從D地修了一條筆直的公路與公路在H處連接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．(1)求公路的長度；(2)若修公路每千米的費用是200萬元，請求出修建公路的總費用．【答案】(1)千米(2)600萬元【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．（1）根據勾股定理得出千米，再求出千米即可得出答案；（2）根據面積相等得出，求出即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，千米，千米，∴千米，∵千米，∴千米；（2）解：∵，∴，∴千米∴修建公路的費用為（萬元）．題型十二應用勾股定理解決幾何圖形中最短路徑問題【典例1】（23-24八年級下·山東聊城·期中）綜合與實踐【問題情境】數學綜合與實踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為20、3、2，A和B是一個臺階兩個相對的端點．【探究實踐】老師讓同學們探究：如圖①，若A點處有一只螞蟻要到B點去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到B點的最短路程是多少？（1）同學們經過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為20，寬為15的長方形，連接，經過計算得到長度為______，就是最短路程．【變式探究】（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30cm，高是8cm，若螞蟻從點A出發(fā)沿著玻璃杯的側面到點B，則螞蟻爬行的最短距離為______．【拓展應用】（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm，底面周長為16cm，在杯內壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計）【答案】（1）25；（2）17cm；（3）B處到內壁A處所爬行的最短路程是10cm【分析】本題考查勾股定理最短路徑問題：（1）直接利用勾股定理進行求解即可；（2）將圓柱體展開，利用勾股定理求解即可；（3）將玻璃杯側面展開，作關于的對稱點，根據兩點之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：（1）由勾股定理，得：；故答案為：25；（2）將圓柱體展開，如圖，由題意，得：，，由勾股定理得：；故答案為：17cm．（3）如圖，將玻璃杯側面展開，作關于的對稱點，作，交延長線于點，連接，

由題意得：，，∵底面周長為，，，由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內壁處所走的最短路程為，【變式1】（23-24八年級下·江西新余·期中）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為，底面周長為，在容器內壁離容器底部的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，求螞蟻吃到飯粒器爬行的最短路徑的長【答案】【分析】本題考查了軸對稱的性質、平面展開－最短路徑問題，勾股定理的應用等，正確利用側面展開圖、熟練運用相關知識是解題的關鍵．將容器側面展開，作點關于的對稱點，根據兩點之間線段最短可知的長度即為所求，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，高為，底面周長為，在容器內壁離容器底部的點處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與飯粒相對的點處，將容器側面展開，作關于的對稱點，連接，則即為最短距離，，，即螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑的長是．【變式2】（23-24八年級下·遼寧鐵嶺·階段練習）如圖所示，一個實心長方體盒子，長，寬，高，一只螞蟻從頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點處，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？（點撥：分三種情況討論解答）【答案】把長方體沿展開，螞蟻沿著的路線爬行的路程最短，最短距離為5．【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，把長方體沿展開，把長方體沿展開，把長方體沿展開，三種情況利用勾股定理求出對應的最短距離即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，把長方體沿展開，則螞蟻沿著的路線爬行的路程最短，由題意得，，∴由勾股定理得；如圖所示，把長方體沿展開，則螞蟻沿著的路線爬行的路程最短，由題意得，，∴由勾股定理得；如圖所示，把長方體沿展開，則螞蟻沿著的路線爬行的路程最短，由題意得，，∴由勾股定理得；∵，∴把長方體沿展開，螞蟻沿著的路線爬行的路程最短，最短距離為5．【變式3】（23-24八年級下·河北滄州·期中）【閱讀材料】如圖1，有一個圓柱，它的高為，底面圓的周長為，在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點A相對的點B處的食物，螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？【方法探究】對于立體圖形中求最短路程問題，應把立體圖形展開成平面圖形，再確定A，B兩點的位置，依據“兩點之間線段最短”，結合勾股定理，解決相應的問題．如圖2，在圓柱的側面展開圖中，點A，B對應的位置如圖所示，利用勾股定理即可求出螞蟻爬行的最短路程線段的長．【方法應用】（1）如圖3，圓柱形玻璃容器的高為，底面周長為，在外側距下底的點S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側距開口處的點F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長度．（2）如圖4，長方體的棱長，，假設昆蟲甲從盒內頂點開始以的速度在盒子的內部沿棱向下爬行，同時昆蟲乙從盒內頂點A以相同的速度在盒內壁的側面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時間才能捕捉到昆蟲甲？【答案】（1）34cm；（2）秒．【分析】題目主要考查圓柱及棱柱的展開圖，勾股定理解三角形，最短距離等問題，理解題意，熟練掌握運用勾股定理是解題關鍵．（1）根據題意將圓柱展開，然后利用勾股定理求解即可；（2）設昆蟲甲從頂點沿棱向頂點C爬行的同時，昆蟲乙從頂點A按路徑爬行，爬行捕捉到昆蟲甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，這是圓柱形玻璃容器的側面展開圖，線段就是蜘蛛走的最短路線．由題意可得在中，，，，∴，∴蜘蛛所走的最短路線的長度為34cm．（2）設昆蟲甲從頂點沿棱向頂點C爬行的同時，昆蟲乙從頂點A按路徑爬行，爬行捕捉到昆蟲甲需x秒．如圖2，在中，∵長方體的棱長，，∴，，，，∴，解得．答：昆蟲乙至少需要秒才能捕捉到昆蟲甲．一、單選題1．（24-25九年級上·安徽·假期作業(yè)）如圖，一棵樹在離地面6米處斷裂，樹的頂部落在離底部8米處，樹折斷之前的高度是（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．16米【答案】D【分析】此題考查了勾股定理的應用，根據圖形，可以知道兩直角邊的長度，從而構造直角三角形，根據勾股定理就可求出斜邊的長，即可得解．【詳解】解：由題意得：米，米，，∴米，（米．樹折斷之前有16米．故選：D．2．（23-24八年級下·浙江臺州·期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（

）米．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應用，過C點作于E，連接，則四邊形是矩形，得，則，再由勾股定理求出的長即可．【詳解】解：如圖，過C點作于E，連接，則是矩形，設大樹高為，小樹高為，，在中，由勾股定理得：即小鳥至少飛行，故選：C．3．（23-24八年級下·河南安陽·階段練習）一艘輪船以海里/時的速度從港口出發(fā)向東北方向航行，另一艘輪船以海里/時的速度同時從港口出發(fā)向東南方向航行，離開港口小時后，兩船相距（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的運用，熟練運用勾股定理是解題的關鍵；根據兩艘輪船出發(fā)的方向，可以得到，結合勾股定理求解即可．【詳解】根據題意，如圖所示，可知，，，，在中，，，解得：，故兩船相距海里故選：A4．（23-24八年級下·安徽馬鞍山·期末）將一根長為的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度為，則的取值的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵．如圖，當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短；當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最長．然后分別利用已知條件根據勾股定理即可求出的取值范圍．【詳解】解：如圖1所示，當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最長，，如圖2所示，當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在中，，，，此時，的取值范圍是．故選：B．5．（23-24八年級下·河北廊坊·階段練習）如圖，在學校工地的一根空心鋼管外表面距離左側管口2cm的點M處有一只小蜘蛛，它要爬行到鋼管內表面距離右側管口5cm的點N處覓食，已知鋼管橫截面的周長為18cm，長為15cm，則小蜘蛛需要爬行的最短距離是（

）

A．5cm B．4cm C．cm D．15cm【答案】C【分析】本題考查勾股定理，理解幾何體側面展開圖等．根據題意先畫出幾何體的側面展開圖，利用勾股定理即可得到本題答案．【詳解】解：如下圖，畫出鋼管的側面展開圖，作點關于右側關口的對稱點，連接，

∵鋼管橫截面的周長為18cm，∴，∵由題意得：，∴，∴小蜘蛛需要爬行的最短距離為cm．故選：C．二、填空題6．（23-24八年級下·湖北宜昌·期中）如圖，學校教學樓前有一塊長為4米，寬為3米的長方形草坪，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內走出了一條“徑路”，卻踩傷了花草．算一算他們僅僅少走了步（假設2步為1米）．【答案】4【分析】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關鍵．分別計算走拐角的路程和走“徑路”的路程，相減即可求解．【詳解】走拐角的路程：（米），走“徑路”的路程：（米），走“徑路”比走拐角少走的路程：（米），少走的步數：（步）故答案為：4．7．（23-24八年級下·河北滄州·期中）如圖，淇淇由A地沿北偏東方向騎行至B地，然后再沿北偏西方向騎行至C地，則A，C兩地之間的距離為．【答案】10【分析】本題考查方位角，勾股定理，根據題意畫出圖形，證明是直角三角形是解題的關鍵．根據題意畫出圖形，易證是直角三角形，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，根據題意，得，，，，，∴，∴，∴，故答案為：10．8．（23-24八年級下·福建廈門·期中）我國古代數學著作《九章算術》中的一個問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？這道題的意思是：有一個正方形的池塘，池塘的邊長為一丈，有一棵蘆葦生長在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有一尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，則蘆葦的高度為尺（丈和尺是長度單位，1丈尺，1尺=米）．【答案】13【分析】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數學的關鍵．找到題中的直角三角形，設水深為x尺，根據勾股定理解答．【詳解】解：1丈尺設水深為x尺，則蘆葦長為尺，根據勾股定理得：，解得：，蘆葦的長度（尺），故答案為：13．9．（23-24八年級下·四川南充·期中）如圖，圓柱形紙杯高為，底面周長為，在杯內壁底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處爬行到內壁處的最短距離為（杯壁厚度不計）．【答案】【分析】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．將杯子側面展開，作A關于的對稱點，連接，則即為最短距離，利用勾股定理進行計算即可．【詳解】如圖，將杯子側面展開，作A關于的對稱點，連接，則即為最短距離，∴，∴∴螞蟻從外壁處爬行到內壁處的最短距離為故答案為：．10．（23-24八年級下·山東濰坊·期中）將矩形紙片折疊，如圖所示，已知，，，則螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程是．【答案】26【分析】本題考查平面展開—最短路徑問題，兩點之間線段最短，勾股定理，要注意培養(yǎng)空間想象能力，解題的關鍵是熟練掌握兩點之間線段最短．根據題意畫出矩形紙片的平面展開圖，根據兩點之間線段最短連接即可．【詳解】如圖，根據題意可得：展開圖中的，．在中，由勾股定理可得：，即螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程是．故答案為：26．三、解答題11．（22-23八年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，公路上A、B兩站相距25km，在公路附近有C、D兩所學校，于點A，于點B．已知，現要在公路上建設一個青少年活動中心E，要使得C、D兩所學校到E的距離相等，則E應建在距點A多遠處？【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應用，利用勾股定理正確建立方程是解題關鍵．先根據垂直的定義可得，再根據勾股定理可得，，從而可得，設，則，據此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：∵使得兩村到站的距離相等，∴，∵，，∴，∴，，∴，設，則，∵，，∴，解得：，∴，答：站應建在離站處．12．（23-24八年級下·廣西崇左·期中）如圖，琪琪在離水面高度的岸邊C處，用繩子拉停在B處的小船靠岸，開始時繩子的長為．

(1)開始時，小船距岸A的距離為_______；(2)若琪琪收繩后，船到達D處，求小船向岸A移動的距離的長．【答案】(1)12(2)【分析】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是學握從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．（1）在中，利用勾股定理計算出長；（2）根據題意可得長，然后再次利用勾股定理計算出長，再利用可得長．【詳解】（1）解：在中，，，故答案為：12；（2）∵琪琪收繩后，船到達處，，，．13．（23-24八年級下·重慶南川·期中）如圖，要在河邊修一個水泵站，分別向A、B兩村送水，已知A、B兩村到江邊的距離分別為和，且A、B兩村相距．(1)水泵站應修建在何處，可使所用水管最短，請在圖中設計出水泵站P的位置；(2)若鋪設水管的費用為每千米4000元，為了使鋪設水管費用最節(jié)省，請求出最節(jié)省鋪設水管的費用為多少元？【答案】(1)見解析(2)60000元【分析】本題考查最短路線問題，作出輔助線，構造出最短路線為斜邊的直角三角形是解題的關鍵．（1）作點關于河邊所在直線的對稱點，連接交直線于，則點為水泵站的位置；（2）利用了軸對稱的性質，勾股定理，兩點之間線段最短的性質即可求解．【詳解】（1）解：作點關于河邊所在直線的對稱點，連接交直線于，則點為水泵站的位置，此時，的長度之和最短，即所鋪設水管最短；（2）過點作直線的垂線，過作直線的平行線，設這兩線交于點，則．過作于，依題意：，，，（負值已舍去），由題意得：，，，，（負值已舍去），，，答：最節(jié)約鋪設水管的費用為60000元．14．（23-24八年級上·云南文山·期末）如圖，經過村和村的筆直公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現需要在處進行爆破．已知處與村的距離為900米，處與村的距離為1200米，且．(1