1引言不等式是表示不等關(guān)系的一種數(shù)學(xué)形式，它是描述量與量之間的關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型.不等式不僅是現(xiàn)階段中學(xué)生要求學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也對(duì)于前后內(nèi)容的學(xué)習(xí)起到承上啟下的重要作用。不等式在生活中有著非常廣泛的運(yùn)用，所以對(duì)不等式以及其性質(zhì)的學(xué)習(xí)有著非常重要的實(shí)際意義，同時(shí)也是更進(jìn)一步地學(xué)習(xí)解不等式和應(yīng)用不等關(guān)系解決生活中的實(shí)際問題的依據(jù)。探究不等式可以讓學(xué)生了解領(lǐng)會(huì)各部分知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，整體上掌握知識(shí)，并能夠更好地發(fā)展學(xué)生辯證思維的能力。要想進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，及研究其最值問題，此時(shí)基本不等式是不可或缺的?；静坏仁皆谥袑W(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中起到了承上啟下的作用，同時(shí)在實(shí)際生活中以及生產(chǎn)中有著非常廣泛的應(yīng)用，依據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)并掌握基本不等式，而且能運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的求值問題，及學(xué)會(huì)通過(guò)構(gòu)造條件來(lái)使用基本不等式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)把數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、建立數(shù)學(xué)模型等基本思想運(yùn)用到解題過(guò)程中去，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，思維能力以及分析和解決問題的能力。2中學(xué)中的不等式2.1不等式定義1[1].，形如①.①，叫①.[1]）2.2不等式的性質(zhì).不等式的基本性質(zhì)1[2]不變.，得，即，不等式的.，，，.不等式的基本性質(zhì)2[2]的方向不變.不等式的基本性質(zhì)3[2]改變.根據(jù)實(shí)數(shù)理論中實(shí)數(shù)的性質(zhì)，還可以推得不等式以下主要性質(zhì)：性質(zhì)1（對(duì)逆性）.性質(zhì)2（傳遞性）.性質(zhì)3（加法單調(diào)律）.性質(zhì)4（乘法單調(diào)律）..性質(zhì)5（相加法則）.性質(zhì)6（相減法則）.性質(zhì)7（相乘法則）.性質(zhì)8（倒數(shù)法則）..性質(zhì)9（相除法則）.性質(zhì)10（乘方法則）.性質(zhì)11（開方法則）.性質(zhì)12.性質(zhì)13..2.3不等式的分類.定義3[1]，與；那么這個(gè).[1]；[1].[1]；如果與[1].3中學(xué)中的基本不等式3.1基本不等式的概念，....，.3.2基本不等式的證明3.2.1代數(shù)證明3.2.1.1利用代數(shù)性質(zhì)證明3.2.1.2換元法證明（1）平均值換元法令，（其中），則，所以.增量換元法不妨設(shè)，令，則，所以，其中.則，得3.2.1.3方程方法證明構(gòu)造一個(gè)以，為根的一元二次方程，即，次方程有兩個(gè)實(shí)根，故其判別式，即.3.2.1.4函數(shù)方法證明構(gòu)造函數(shù)顯然，，所以時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.故時(shí)，取得最小值，即時(shí)，.所以構(gòu)造函數(shù)不妨令，則.因?yàn)?，所以是增函?shù)，也是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù).所以，所以.（3）構(gòu)造函數(shù)因?yàn)閷?duì)恒成立.所以.1.4.3.6三角方法證明構(gòu)造兩點(diǎn)(如下圖所示)，將它們寫成參數(shù)形式，即（），則，所以.分析：利用代數(shù)方法證明基本不等式，能夠使學(xué)生較容易聯(lián)系到之前所學(xué)的，關(guān)于代數(shù)計(jì)算的性質(zhì)，證明過(guò)程清晰明了，簡(jiǎn)潔易懂，引導(dǎo)學(xué)生從多方面思考對(duì)于基本不等式的證明，培養(yǎng)學(xué)生自主思考和探究問題的能力.3.2.2幾何證明在中，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，CE為高，設(shè)AE=，EB=由射影定理，得中，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)CD與CE重合，即時(shí)等號(hào)成立.分析：幾何證明運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)基本思想，讓基本不等式在幾何三角形中體現(xiàn)，一方面培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法，另一方面拓展學(xué)生思考問題的空間，能使他們不僅能從代數(shù)方面理解基本不等式，還能運(yùn)用到幾何中去，理解得更透徹.3.3基本不等式的推廣（1），則.（其中為正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）（2）設(shè)、、……都是正實(shí)數(shù)，則基本不等式可以推廣為均值不等式：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）用柯西法證明：時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.這樣的步驟重復(fù)次之后將會(huì)得到，令，有，即.3.4中學(xué)基本不等式的應(yīng)用3.4.1基本不等式在函數(shù)問題中的應(yīng)用3.4.1.1函數(shù)求最值問題1.條件“一正，二定，三相等”函數(shù)式中的相關(guān)項(xiàng)，必須都是正數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)各項(xiàng)相等時(shí)，“=”才能取得.①是否正負(fù)問題例3.1求的最值.錯(cuò)解：因?yàn)?，所?正解：因?yàn)?，所以，所以，，即，因?yàn)?，所以，，，，等?hào)成立.點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)于不等式和函數(shù)的綜合考查，錯(cuò)解的原因在于學(xué)生對(duì)類似對(duì)勾函數(shù)的特征忘記的限制，只知道生搬硬套基本不等式.解題時(shí)應(yīng)先從審題開始，要注意函數(shù)的定義域，最后通過(guò)“三相等”求出具體的值，并且滿足定義域的限制.②是否定值問題例3.2，求函數(shù)的最大值.錯(cuò)解：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.正解：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.點(diǎn)評(píng)：本題錯(cuò)解出現(xiàn)了這個(gè)變化量，不滿足“二定”的條件限制.解該題時(shí)通過(guò)配湊系數(shù)達(dá)到了消的目的，也可以鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，將兩項(xiàng)相乘后使用二次函數(shù)來(lái)處理.例3.3設(shè)，求的最大值.錯(cuò)解：.正解：，.點(diǎn)評(píng)：本題錯(cuò)解中，并非定值，不滿足“二定”的條件限制.本題也可以利用三角代換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值，令.，上式在時(shí)取最大值.③是否取等問題例3.4已知實(shí)數(shù)滿足，.求：的最小值.正解：令.則...注意：在多次應(yīng)用基本不等式時(shí)，只有等號(hào)同時(shí)取到時(shí)，結(jié)果才“可等”，否則不能相等.例3.5.錯(cuò)解：.正解：，令，，所以.由于函數(shù)在上是增函數(shù)，所以時(shí)，，此時(shí)由,可得.點(diǎn)評(píng)：本題錯(cuò)解并沒有做完，應(yīng)繼續(xù)分析等號(hào)是否成立，則可以得到，解之得，是不成立的.在該種情況下，應(yīng)采取換元的方法，由對(duì)勾函數(shù)出發(fā)，繼而解決問題.由此看來(lái)，教師在基本不等式的教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)并訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)格遵循“一正、二定、三相等”這三點(diǎn)要求，使學(xué)生正確學(xué)會(huì)處理基本不等式的相關(guān)題目，提高做題能力.基本方法：積定和最小，和定積最大.即（1）如果積是定值,那么當(dāng)時(shí)，和有最小值.（2）如果和是定值,那么當(dāng)時(shí)，積有最大值.證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以.積為定值時(shí)，有，.上式當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，因此，當(dāng)時(shí)，和有最小值.和為定值時(shí)，有，.上式當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，因此，當(dāng)時(shí)，積有最大值.例3.6求函數(shù)的最小值.解：利用“積定和最小”，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值是.注意：滿足求函數(shù)最值的三個(gè)必需條件即可求.例3.7求函數(shù).解：因?yàn)椋?，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為3.注意：“一正”函數(shù)中的相關(guān)項(xiàng)都要是正數(shù)，由得出>0滿足條件，根據(jù)“積定和最小”解得函數(shù)最小值.3.4.1.2函數(shù)求值域問題.，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào).小結(jié)：本題中若沒有的限制，僅有,那么應(yīng)如下求解：當(dāng)時(shí)，同上，當(dāng)時(shí)，，，.當(dāng)時(shí)，，.若本題加上時(shí)，也可用判別式求解，，.當(dāng)時(shí)，得;當(dāng)時(shí)，,，.但當(dāng)時(shí)，如使用判別式求解，那就不僅僅是時(shí)得問題了，還應(yīng)該考慮的限制條件.例3.9當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.分析：本題需要通過(guò)分離常數(shù)構(gòu)造出能用基本不等式的式子.因?yàn)?則,所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取“=”號(hào).另一解.故函數(shù)值域?yàn)椋?小結(jié)：對(duì)于形如，的求值域問題，若用判別式法，不僅計(jì)算量較大，而且特別容易忽視某些條件而出錯(cuò)，故可以通過(guò)變形構(gòu)造基本不等式的形式來(lái)解題避免出錯(cuò).3.4.2基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用基本不等式的應(yīng)用題題型廣泛，以下以實(shí)際問題中求最值為例，介紹常用的基本不等式解題技巧.例3.10例3.10分析：首先根據(jù)題意列出水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與,的關(guān)系式，再轉(zhuǎn)化為求解給定條件的多變?cè)瘮?shù)的最值問題，采用基本不等式解決.先建立流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)的函數(shù)表達(dá)式，然后求其最小值.設(shè)為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則..依題意，即所求的值使值最小.得..當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)評(píng)：該解法是將函數(shù)化為一個(gè)變量的函數(shù)，利用已知條件將多元化為一元，然后運(yùn)用基本不等式求最值，這里運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)基本思想.例3.11例3.11解析：依題意知，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，得.從而.又因?yàn)?因此易知當(dāng)時(shí)，有.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.又，因此當(dāng)時(shí)，車流量最大.例3.12分析：如圖所示，設(shè)球門的兩立柱分別為、兩點(diǎn)，邊鋒為，到所在直線的距離是變化的，可設(shè)為，即，而均為定值，要求最大值，可求的最大值，又，，，故可表示為的函數(shù)，然后根據(jù)基本不等式可求出的最大值，及達(dá)到最大值時(shí)的值.解：如圖所示，設(shè)球門的兩立柱分別為兩點(diǎn)，邊鋒為，到球門所在直線的距離，，，，，，.顯然，則，，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.又，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，從而的最大值為.所以邊鋒距球門所在直線距離為時(shí)，射門可命中球門的角度最大.例3.13解：如圖所示，令，，則在中，.，.①又由余弦定理，，②當(dāng)時(shí)取等號(hào).由①②知..③③代入①得.當(dāng)時(shí)，取得最小值.而時(shí)，為等腰三角形..注意：3.5中學(xué)基本不等式的教學(xué)3.5.1如何教3.5.1.1教學(xué)思路3.5.1.2教學(xué)目標(biāo)3.5.1.3教學(xué)重難點(diǎn)3.5.1.4教學(xué)策略分析3.5.2如何學(xué)而且學(xué)生在學(xué)習(xí)基本不等式過(guò)程中也需要注意以下幾點(diǎn)：注意1：由“非負(fù)數(shù)性質(zhì)”知，即；注意2：在中用代換，代換,立即得到，即；注意3：在的兩端分別加上其“右端”，即，即，所以；注意4：以長(zhǎng)的線段為直徑作圓，在直徑上取點(diǎn)，使，.過(guò)點(diǎn)作垂直于直徑的弦.連結(jié)，易證，那么,即.這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于，即，注意5：應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接推導(dǎo)出基本不等式.要證：，只要證：，只要證：，只要證.顯然上式是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式中的等號(hào)成立.注意6：由數(shù)學(xué)中重要的對(duì)稱思想，由處理3可想到在的兩端分別加上其“左端”，則：.即.即.即.以上用對(duì)稱思想作指導(dǎo)所進(jìn)行的分析，在知識(shí)的系統(tǒng)中，溝通了三個(gè)不等式的聯(lián)系，從而找到了，與三者之間的關(guān)系，即：與的關(guān)系為：；與的關(guān)系為：；與的關(guān)系為：.4結(jié)束語(yǔ)基本不等式是中學(xué)不等式知識(shí)體系的重要環(huán)節(jié)，在整個(gè)體系中起到了承上啟下的作用。本設(shè)計(jì)依據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求，對(duì)基本不等式的概念、性質(zhì)等進(jìn)行了闡述，以及從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面對(duì)基本不等式進(jìn)行了證明，拓展開闊數(shù)學(xué)思維。在中學(xué)的基本不等式的教學(xué)中，在學(xué)習(xí)了基本不等式