2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——解析幾何與空間幾何考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空5分，共30分）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,-2,3)與點B(-1,2,-1)的距離為_______。2.向量a=(1,2,-1)與向量b=(2,-1,k)垂直，則實數(shù)k的值為_______。3.過點P(1,2,-1)且與平面π:2x-y+3z-6=0平行的平面方程為_______。4.直線L:x=1+t,y=2-t,z=3-2t與z軸的夾角（指方向向量之間的夾角）余弦值為_______。5.方程x2+y2-z2=1表示的曲面是_______（填寫曲面類型）。6.點P(1,2,3)到平面π:x+y+z=1的距離為_______。二、選擇題（每題5分，共20分。請將正確選項的字母填在題后括號內(nèi)）1.已知向量a=(1,1,1),b=(1,0,-1),c=(0,1,1)，則向量a·(b×c)的值為（_______）。A.1B.2C.-1D.-22.平面π?:x+y+z=1與平面π?:x-y+z=2的位置關(guān)系是（_______）。A.平行B.相交且垂直C.相交但不垂直D.重合3.直線L?:x=1,y=2+t,z=t與直線L?:x=t-1,y=3t,z=2t的位置關(guān)系是（_______）。A.平行B.相交C.異面D.重合4.方程z=x2+y2表示的曲面是（_______）。A.橢球面B.雙曲面C.拋物面D.圓柱面三、計算題（每題10分，共40分）1.求過點A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1)三點的平面方程。2.求直線L:x-1=y+2=z-3與平面π:x+y-z=5的交點坐標(biāo)。3.求球面x2+y2+z2-2x+4y-4z+5=0的球心坐標(biāo)和半徑。4.求橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）繞x軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)橢球面的方程。四、證明題（10分）證明：空間中三個平面π?:ax+by+cz+d=0,π?:a'x+b'y+c'z+d'=0,π?:a''x+b''y+c''z+d''=0兩兩相交于三條平行直線的充要條件是：向量（a,b,c）,（a',b',c'）,（a'',b'',c''）共面。試卷答案一、填空題1.√142.-53.2(x-1)-(y-2)+3(z+1)=0或2x-y+3z=34.√10/√5=√25.雙曲面6.√15/√3=√5二、選擇題1.B2.C3.A4.C三、計算題1.解：設(shè)平面方程為Ax+By+Cz+D=0。代入點A(1,1,0)：A+B+D=0代入點B(1,0,1)：A+D=0代入點C(0,1,1)：B+C+D=0聯(lián)立方程組：{A+B+D=0{A+D=0{B+C+D=0解得A=-D,B=-D,C=0。取D=-1，則A=1,B=1,C=0。平面方程為x+y-1=0。2.解：將直線L參數(shù)化為x=1+t,y=-2+t,z=3+2t。代入平面π方程：(1+t)+(-2+t)-(3+2t)=5。解得t=7/2。交點坐標(biāo)為x=1+7/2=9/2,y=-2+7/2=3/2,z=3+7=17/2。即交點坐標(biāo)為(9/2,3/2,17/2)。3.解：方程配方得(x-1)2+(y+2)2+(z-2)2=12。故球心坐標(biāo)為(1,-2,2)，半徑為1。4.解：令y=b√(1-x2/a2)。代入橢圓方程并整理得x2/a2+(b√(1-x2/a2))2/b2=1。即x2/a2+(1-x2/a2)=1。整理得x2/a2+1-x2/a2=1。即x2/a2+y2/b2-y2/a2=1。整理得x2/a2+y2/(b2/a2)=1。所求旋轉(zhuǎn)橢球面方程為x2/a2+y2/(b2/a2)+z2=1。四、證明題證明：必要性：設(shè)π?與π?交于直線L?，π?與π?交于直線L?，π?與π?交于直線L?。由題意L?∥L?∥L?。則向量（a,b,c）×（a',b',c'）與向量（a',b',c'）×（a'',b'',c''）平行。即存在實數(shù)λ使得（a,b,c）×（a',b',c'）=λ（a',b',c'）×（a'',b'',c''）。根據(jù)向量積的混合積性質(zhì)，有（a,b,c）·[（a',b',c'）×（a'',b'',c''）]=0。這表明向量（a,b,c），（a',b',c'），（a'',b'',c''）共面。充分性：若向量（a,b,c），（a',b',c'），（a'',b'',c''）共面，則它們的混合積為0。即（a,b,c）·[（a',b',c'）×（a'',b'',c''）]=0。設(shè)直線L?的方向向量為v?=（a,b,c）×（a',b',c'），直線L?的方向向量為v?=（a',b',c'）×（a'',b'',c''）。由混合積為0知v?⊥v?。又