2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——數(shù)學收斂理論在信號處理中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.設函數(shù)項級數(shù){s<0xE2><0x82><0x99>}<0xE1><0xB5><0xA3>在區(qū)間I上一致收斂于S(x)，則下列說法正確的是（）。(A)若{s<0xE2><0x82><0x99>}<0xE1><0xB5><0xA3>中每個s<0xE2><0x82><0x99>(x)都在I上連續(xù)，則S(x)在I上連續(xù)。(B)若{s<0xE2><0x82><0x99>}<0xE1><0xB5><0xA3>中每個s<0xE2><0x82><0x99>(x)都在I上可積，則S(x)在I上可積。(C)若{s<0xE2><0x82><0x99>}<0xE1><0xB5><0xA3>中每個s<0xE2><0x82><0x99>(x)都在I上可導，則S(x)在I上可導。(D)一致收斂保證了S(x)在I上Riemann可積。2.級數(shù)∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>∞(x+1)<0xE1><0xB5><0xA3>/n<0xE1><0xB5><0xA3>在x=0處收斂，在x=-2處發(fā)散，則該級數(shù)在x=1處（）。(A)收斂(B)發(fā)散(C)收斂且絕對收斂(D)條件收斂3.函數(shù)f(x)=sin(1/x)在區(qū)間(0,1]上有定義，下列說法正確的是（）。(A)lim<0xE1><0xB5><0xA3>→0<0xE2><0x82><0x86>f(x)存在。(B)f(x)在(0,1]上連續(xù)。(C)f(x)在(0,1]上可以原函數(shù)。(D)極限∫<0xE1><0xB5><0xA3>=0<0xE2><0x82><0x82>1f(x)dx存在。4.設f(x)是以2π為周期的奇函數(shù)，其傅里葉級數(shù)展開式為∑<0xE1><0xB5><0xA3>=0<0xE2><0x82><0x82>b<0xE1><0xB5><0xA3>sin(nx)，則a<0xE1><0xB5><0xA3>=0且b<0xE1><0xB5><0xA3>=()。(A)(2/π)∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0f(x)sin(nx)dx(B)(2/π)∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0f(x)cos(nx)dx(C)∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0f(x)sin(nx)dx(D)∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0f(x)cos(nx)dx5.設信號x(t)的傅里葉變換為X(jω)，則信號y(t)=x(2t-5)的傅里葉變換Y(jω)為（）。(A)(1/2)X(jω/2)e<0xE2><0x82><0x82>j5ω(B)2X(jω/2)e<0xE2><0x82><0x82>j5ω(C)(1/2)X(jω/2)(D)X(jω/2)e<0xE2><0x82><0x82>j5ω二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上。）6.級數(shù)∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>∞[(-1)<0xE1><0xB5><0xA3>/(2<0xE1><0xB5><0xA3>+1)]收斂性為________。7.冪級數(shù)∑<0xE1><0xB5><0xA3>=0<0xE2><0x82><0x82>a<0xE1><0xB5><0xA3>(x-1)<0xE1><0xB5><0xA3>在x=2處收斂，則其收斂半徑R=________。8.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)的傅里葉級數(shù)在該區(qū)間上________收斂于f(x)。9.已知信號f(t)的傅里葉變換F(jω)=π[u(ω+1)-u(ω-1)]，其中u(ω)是單位階躍函數(shù)，則f(t)=________。10.根據(jù)采樣定理，一個頻帶限制在(0,B)Hz內(nèi)的連續(xù)時間信號，可以不失真地由其每隔Ts采樣的離散時間序列表示，只要滿足________條件。三、計算題（每小題8分，共24分。）11.判斷級數(shù)∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>∞(lnn)<0xE1><0xB5><0xA3>/n<0xE1><0xB5><0xA3>的收斂性。12.求函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[-π,π]上的傅里葉級數(shù)展開式（只寫出系數(shù)表達式）。13.已知信號x(t)=e<0xE2><0x82><0x82>tu(-t)+e<0xE2><0x82><0x82>^-tu(t)，求其傅里葉變換X(jω)。四、證明題（每小題10分，共20分。）14.證明：若函數(shù)項級數(shù){s<0xE2><0x82><0x99>}<0xE1><0xB5><0xA3>在區(qū)間I上一致收斂，且每個s<0xE2><0x82><0x99>(x)都在I上連續(xù)，則其和函數(shù)S(x)在I上連續(xù)。15.設f(x)是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)，且其傅里葉系數(shù)為a<0xE1><0xB5><0xA3>和b<0xE1><0xB5><0xA3>。證明Parseval定理：∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0|f(x)|^2dx=(π/2)[a<0xE1><0xB5><0xA3>^2+∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>∞(b<0xE1><0xB5><0xA3>^2+a<0xE1><0xB5><0xA3>^2)]。試卷答案一、選擇題1.(A)2.(B)3.(D)4.(A)5.(A)二、填空題6.發(fā)散7.18.絕對9.(2/π)sin(πt)10.采樣頻率大于等于信號最高頻率三、計算題11.解析思路：考察正項級數(shù)比較判別法或極限判別法。觀察通項(lnn)^n/n^n，指數(shù)n遠大于對數(shù)n，考慮使用比值判別法或根值判別法。使用根值判別法更直接：lim<0xE1><0xB5><0xA3>→∞√<0xE1><0xB5><0xA3>[(lnn)^n/n^n]=lim<0xE1><0xB5><0xA3>→∞(lnn)/n=0。由于極限小于1，根據(jù)根值判別法，級數(shù)收斂。（或考慮(lnn/n)^n≈e^(nln(lnn/n))=e^(nln(1/n))=e^(-nlnn)，指數(shù)部分趨于負無窮，故冪級數(shù)形式發(fā)散，原級數(shù)收斂。）答案：收斂。12.解析思路：求傅里葉級數(shù)展開式。由于f(x)=x^2在[-π,π]上是偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)只含余弦項（a<0xE1><0xB5><0xA3>，b<0xE1><0xB5><0xA3>=0）。a<0xE1><0xB5><0xA3>=(1/π)∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>πx^2cos(nx)dx使用分部積分法兩次求解a<0xE1><0xB5><0xA3>。設u=x^2,dv=cos(nx)dx=>du=2xdx,v=(1/n)sin(nx)∫x^2cos(nx)dx=(x^2/n)sin(nx)-∫(2x/n)sin(nx)dx繼續(xù)對∫(2x/n)sin(nx)dx使用分部積分：設u=2x/n,dv=sin(nx)dx=>du=(2/n)dx,v=-(1/n)cos(nx)∫(2x/n)sin(nx)dx=-(2x/n^2)cos(nx)+∫(2/n^2)cos(nx)dx=-(2x/n^2)cos(nx)+(2/n^3)sin(nx)將結(jié)果代回：∫x^2cos(nx)dx=(x^2/n)sin(nx)-[-(2x/n^2)cos(nx)+(2/n^3)sin(nx)]=(x^2/n)sin(nx)+(2x/n^2)cos(nx)-(2/n^3)sin(nx)在[-π,π]上積分，由于sin(nπ)=sin(-nπ)=0,cos(nπ)=(-1)^n：a<0xE1><0xB5><0xA3>=(1/π)[(π^2/n)sin(nπ)+(2π/n^2)cos(nπ)-(2/n^3)sin(nπ)]-(1/π)[((-π)^2/n)sin(-nπ)+(2(-π)/n^2)cos(-nπ)-(2/n^3)sin(-nπ)]=(1/π)[(2π/n^2)(-1)^n-(2/n^3)(0)]-(1/π)[(2π/n^2)(-1)^n-(2/n^3)(0)]=(4π/n^2)(-1)^n-(4π/n^2)(-1)^n=0a<0xE1><0xB5><0xA3>=(2π/n^2)(-1)^nb<0xE1><0xB5><0xA3>=0故展開式為x^2=∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>(2π/n^2)(-1)^ncos(nx)。答案：x^2=∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>(2π/n^2)(-1)^ncos(nx)。13.解析思路：求傅里葉變換。信號x(t)=e<0xE2><0x82><0x82>tu(-t)+e<0xE2><0x82><0x82>^-tu(t)。利用傅里葉變換的線性性質(zhì)和時移特性。令f1(t)=e<0xE2><0x82><0x82>tu(-t)，f2(t)=e<0xE2><0x82><0x82>^-tu(t)。對f1(t)進行傅里葉變換F1(jω)：F1(jω)=∫<0xE2><0x82><0x82>∞e<0xE2><0x82><0x82>t(-e<0xE1><0xB5><0xA3>ωt)dt=∫<0xE2><0x82><0x82>0e^(-jωt)dt=[e^(-jωt)/(-jω)]<0xE2><0x82><0x82>0=(1/-jω)[1-lim<0xE1><0xB5><0xA3>→∞e^(-jωt)]。由于lim<0xE1><0xB5><0xA3>→∞e^(-jωt)=0(ω≠0)，F(xiàn)1(jω)=1/(-jω)=j/(ω)。注意f1(t)是實偶函數(shù)，其傅里葉變換F1(jω)也是實偶函數(shù)，故F1(jω)=j/ω。對f2(t)進行傅里葉變換F2(jω)：F2(jω)=∫<0xE2><0x82><0x82>0e<0xE2><0x82><0x82>^-te<0xE1><0xB5><0xA3>ωtdt=∫<0xE2><0x82><0x82>0e^(-t(1-jω))dt=[e^(-t(1-jω))/(-(1-jω))]<0xE2><0x82><0x82>0=(1/(1-jω))[1-lim<0xE1><0xB5><0xA3>→∞e^(-t(1-jω))]。由于lim<0xE1><0xB5><0xA3>→∞e^(-t(1-jω))=0(1-jω)≠0)，F(xiàn)2(jω)=1/(1-jω)。注意f2(t)是實偶函數(shù)，其傅里葉變換F2(jω)也是實偶函數(shù)，故F2(jω)=1/(1-jω)。利用傅里葉變換的時移特性：若f(t)<->F(jω)，則f(at)<->(1/|a|)F(j(ω/a))。對于f1(t)和f2(t)，a=1。因此，F(xiàn)1(jω)=j/ω(ω≠0)，F(xiàn)2(jω)=1/(1-jω)。x(t)=f1(t)+f2(t)，其傅里葉變換X(jω)=F1(jω)+F2(jω)=j/ω+1/(1-jω)。合并：X(jω)=j/ω+(1-jω)/((1-jω)(1+jω))=j/ω+(1-jω)/(1-ω^2)X(jω)=(j(1-ω^2)+ω(1-jω))/(ω(1-ω^2))=(j-jω^2+ω-jω^2)/(ω(1-ω^2))X(jω)=(j+ω-2jω^2)/(ω(1-ω^2))=(jω+1-2jω^2)/(ω(1-ω^2))答案：X(jω)=(jω+1-2jω^2)/(ω(1-ω^2))。四、證明題14.證明思路：證明連續(xù)性。利用一致收斂的定義和連續(xù)性保持定理。設{s<0xE2><0x82><0x99>}<0xE1><0xB5><0xA3>在I上一致收斂于S(x)，則?ε>0,?N>0,當m,n≥N時，對所有x∈I，有|s<0xE2><0x82><0x99>(x)-s<0xE2><0x82><0x9B>(x)|<ε/3。又因為每個s<0xE2><0x82><0x99}(x)都在I上連續(xù)，取n=N，則?x∈I,有|s<0xE2><0x82><0x99}(x)-s<0xE2><0x82><0x9B>(x)|<ε/3。所以?x∈I,|s<0xE2><0x82><0x99}(x)-S(x)|≤|s<0xE2><0x82><0x99}(x)-s<0xE2><0x82><0x9B>(x)|+|s<0xE2><0x82><0x9B}(x)-S(x)|<ε/3+ε/3=2ε/3。再取m=N，則?x∈I,|s<0xE2><0x82><0x9B}(x)-S(x)|<ε/3。所以?x∈I,|s<0xE2><0x82><0x99}(x)-S(x)|≤|s<0xE2><0x82><0x99}(x)-s<0xE2><0x82><0x9B>(x)|+|s<0xE2><0x82><0x9B}(x)-S(x)|<ε/3+ε/3=2ε/3。結(jié)合以上兩點，?x∈I,|s<0xE2><0x82><0x99}(x)-S(x)|<ε/3+2ε/3=ε。因此，S(x)在I上連續(xù)。證畢。15.證明思路：利用傅里葉級數(shù)收斂定理（Dirichlet條件）和Parseval定理的離散形式。由狄利克雷收斂定理，f(x)的傅里葉級數(shù)在x點收斂于[f(x+0)+f(x-0)]/2。由于f(x)在[0,2π]上連續(xù)，f(x+0)=f(x-0)=f(x)。故級數(shù)在每點收斂于f(x)。Parseval定理（離散形式）指出：∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0|f(x)|^2dx=(π/2)[a<0xE1><0xB5><0xA3>^2+∑<0xE1><0xB5><0xA3>=1<0xE2><0x82><0x82>∑<0xE1><0xB5><0xA3>=0<0xE2><0x82><0x82>b<0xE1><0xB5><0xA3>^2*N<0xE1><0xB5><0xA3><0xE1><0xB5><0xA3>]其中N<0xE1><0xB5><0xA3><0xE1><0xB5><0xA3>是第k個傅里葉系數(shù)c<0xE1><0xB5><0xA3>的歸一化因子。對于標準傅里葉系數(shù)a<0xE1><0xB5><0xA3>和b<0xE1><0xB5><0xA3>，歸一化因子N<0xE1><0xB5><0xA3><0xE1><0xB5><0xA3>=1/2π。Parseval定理（離散形式簡化）可以寫作：2π∫<0xE2><0x82><0x81><0xE2><0x82><0x82>0|f(x)|^2dx=π[a<0xE1><0xB5>