2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——函數(shù)逼近與數(shù)值逼近技術考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分。請將正確選項的字母填在括號內）1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最佳一致逼近是指（）。(A)存在多項式P(x)，使得||f(x)-P(x)||?=min_{P∈Π_n}||f(x)-P(x)||?(B)存在多項式P(x)，使得||f(x)-P(x)||∞=min_{P∈Π_n}||f(x)-P(x)||∞(C)存在多項式P(x)，使得∫_a^b[f(x)-P(x)]2dx=min_{P∈Π_n}∫_a^b[f(x)-P(x)]2dx(D)存在多項式P(x)，使得max_{x∈[a,b]}|f(x)-P(x)|=min_{P∈Π_n}max_{x∈[a,b]}|f(x)-P(x)|2.設f(x)在[a,b]上連續(xù)，節(jié)點為a=x?<x?<...<x_n=b，拉格朗日插值余項R_n(x)=f(x)-L_n(x)的表達式為（）。(A)f[x?,x?,...,x_n](x)/n!(B)f'(x)/(n+1)...(x-x_n)(C)[x-x?][x-x?)...[x-x_n]/n!(D)f[x?,x?,...,x_n](x)[x-x?](x-x?)...(x-x_n)3.下列哪種方法屬于用等距基點構造的高階精確的數(shù)值積分公式？（）(A)梯形公式(B)辛普森公式(C)高斯公式(D)中點公式4.使用分段線性插值函數(shù)代替被插函數(shù)f(x)，其誤差主要來源于（）。(A)插值節(jié)點不夠密集(B)插值函數(shù)是線性函數(shù)(C)被插函數(shù)f(x)在區(qū)間內變化劇烈(D)插值節(jié)點選取不合理5.設f(x)在[a,b]上具有連續(xù)的四階導數(shù)，用辛普森求積公式S(n)(n為區(qū)間等分數(shù))計算積分I=∫_a^bf(x)dx的誤差為（）。(A)-[(b-a)3/12]f''(ξ)(B)-[(b-a)?/180]f^(4)(ξ)(C)[(b-a)3/8]f''(ξ)(D)[(b-a)?/2880]f^(4)(ξ)，ξ∈(a,b)二、填空題（每題3分，共15分。請將答案填在橫線上）1.若f(x)在[a,b]上具有n+1階連續(xù)導數(shù)，則f(x)在[a,b]上的n次最佳一致逼近多項式是唯一的。2.設f(x)=x3在[0,1]上的二次拉格朗日插值多項式為L?(x)，則L?(0)=0。3.數(shù)值積分方法本質上是用有限個函數(shù)值構造某種插值函數(shù)，然后用插值函數(shù)的積分近似原函數(shù)的積分。4.切比雪夫多項式T_n(x)在區(qū)間[-1,1]上的n次最佳一致逼近零次多項式是1/2。5.樣條插值函數(shù)S(x)在每個子區(qū)間上都是三次多項式，并且在節(jié)點處具有連續(xù)的一階和二階導數(shù)。三、計算題（每題10分，共40分）1.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的數(shù)據(jù)如下：x:0π/6π/4π/3π/2f(x):0√3/2√2/2√3/21試用拉格朗日插值法求f(π/12)的近似值。2.試用切比雪夫多項式T?(x)構造在區(qū)間[-1,1]上的二次最佳一致逼近多項式P?(x)，使其逼近f(x)=x3。3.利用梯形公式和辛普森公式計算積分I=∫_0^1e^xdx的近似值，并將結果與精確值e-1進行比較（保留四位小數(shù)）。已知梯形公式誤差為-[(b-a)3/12]f''(ξ)，辛普森公式誤差為-[(b-a)?/180]f^(4)(ξ)。4.給定數(shù)據(jù)點(x?,y?)(i=0,1,2,3)如下：x:0123y:1324試用最小二乘法求擬合這組數(shù)據(jù)的一次多項式y(tǒng)=a+bx。四、證明題（每題12分，共24分）1.證明：在區(qū)間[-1,1]上，n次切比雪夫多項式T_n(x)是在所有n次多項式中與零具有最小偏差（即最大偏差最?。┑亩囗検?。2.設f(x)在[a,b]上具有二階連續(xù)導數(shù)，證明梯形公式S_h=(b-a)/2*[f(a)+f(b)]的誤差可以表示為E_S=-(b-a)3/12*f''(ξ)，其中ξ∈(a,b)。試卷答案一、選擇題1.B2.B3.B4.B5.B二、填空題1.一致2.03.插值4.1/25.一階，二階三、計算題1.解析思路：應用拉格朗日插值公式L_n(x)=Σ[f(x?)*l?(x)]，其中l(wèi)?(x)=Π[(x-x_j)/(x?-x_j)](j≠i)。首先構造節(jié)點0,π/6,π/4,π/3,π/2對應的l?(x),l?(x),l?(x),l?(x),l?(x)。然后代入x=π/12和各l?(x)的值計算L?(π/12)。L?(π/12)=f(0)*l?(π/12)+f(π/6)*l?(π/12)+f(π/4)*l?(π/12)+f(π/3)*l?(π/12)+f(π/2)*l?(π/12)（此處省略l?(π/12)的具體計算過程和最終結果）2.解析思路：最佳一致逼近即在[-1,1]上使|f(x)-P?(x)|最大值最小的P?(x)。利用切比雪夫多項式的性質，n次最佳一致逼近零的n次多項式為T_n(x)。對于f(x)=x3，其在[-1,1]上的n次最佳一致逼近多項式P_n(x)可以表示為P_n(x)=c?+c?T?(x)+...+c_nT_n(x)。因為f(x)是奇函數(shù)，其關于原點對稱，所以最佳一致逼近多項式也應為奇函數(shù)，即P?(x)=aT?(x)+bT?(x)。利用T?(x)=x,T?(x)=2x2-1，計算系數(shù)a,b使得P?(x)最小化max_{x∈[-1,1]}|x3-(aT?(x)+bT?(x))|。通常采用切比雪夫節(jié)點x_k=cos((2k+1)π/(2n+2))(k=0,1,...,n)計算。最終得到P?(x)=-x/2-x2/2。3.解析思路：梯形公式S_h=(b-a)/2*[f(a)+f(b)]。計算S_h(1)=(1-0)/2*[e^0+e^1]=(1+e)/2≈1.3591。辛普森公式S(n=2)=(b-a)/6*[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]。計算S(2)(1)=(1-0)/6*[e^0+4e^1/2+e^1]=(1+2√e+e)/6≈1.3889。精確值I=e-1≈1.7183。比較：S_h(1)≈1.3591，S(2)(1)≈1.3889，均小于精確值，且辛普森結果更接近。4.解析思路：最小二乘法擬合一次多項式y(tǒng)=a+bx，需最小化誤差平方和Q=Σ(y?-(a+bx?))2。求a,b使得?Q/?a=0和?Q/?b=0。得到正規(guī)方程組：n*a+Σx?*b=Σy?；Σx?*a+Σ(x?)2*b=Σ(x?*y?)。代入數(shù)據(jù)計算：n=4,Σx?=6,Σy?=10,Σx?2=14,Σ(x?*y?)=18。方程組為：4a+6b=10；6a+14b=18。解此線性方程組得a=1/2,b=3/4。擬合函數(shù)為y=1/2+3/4*x。四、證明題1.證明思路：利用切比雪夫多項式的性質T_n(x)=cos(n*arccos(x))在[-1,1]上取值于[-1,1]，且在節(jié)點x_k=cos((2k+1)π/(2n+2))(k=0,1,...,n)處取到極值±1。設P(x)是任意一個n次多項式。考慮函數(shù)R(x)=f(x)-P(x)。若R(x)不是常數(shù)，則在[-1,1]上存在點x?使得|R(x?)|>0。由于T_n(x)在切比雪夫節(jié)點處取極值，可以構造一個n次多項式Q(x)=T_n(x)-(f(x?)/|R(x?)|)T_n(x?)，則Q(x)在切比雪夫節(jié)點處取值為±1-(f(x?)/|R(x?)|)，且Q(x?)=0。因此，多項式S(x)=R(x)-(f(x?)/|R(x?)|)Q(x)仍然是一個n次多項式，且在所有切比雪夫節(jié)點處R(x)-S(x)≥0，即|S(x)|≤|R(x)|。從而||f(x)-P(x)||∞≥||f(x)-S(x)||∞。取P(x)為n次最佳一致逼近多項式，則||f(x)-P(x)||∞=min_{P∈Π_n}||f(x)-P(x)||∞≤||f(x)-S(x)||∞。由于S(x)也是n次多項式，故P(x)=S(x)。2.證明思路：利用泰勒展開和積分余項。梯形公式S_h=(b-a)/2*[f(a)+f(b)]?？紤]f(x)在[a,b]上的二次泰勒展開：f(a)=f(x)-f'(x)(a-x)+f''(ξ?)(a-x)2/2(ξ?∈(a,x))f(b)=f(x)-f'(x)(b-x)+f''(ξ?)(b-x)2/2(ξ?∈(x,b))S_h=(b-a)/2*[f(x)-f'(x)(a-x)+f''(ξ?)(a-x)2/2+f(x)-f'(x)(b-x)+f''(ξ?)(b-x)2/2]S_h=(b-a)/2*[2f(x)-f'(x)(a+b-x)+f''(ξ?)(a-x)2/2+f''(ξ?)(b-x)2/2]S_h=f(x)*(b-a)-f'(x)*(b-a)*(a+b-x)/2+f''(ξ?)(b-a)2(a-x)2/4+f''(ξ?)(b-a)2(b-x)2/4積分I=∫_a^bf(x)dx=∫_a^b[f(x)-f'(x)(a+b-x)/2+f''(ξ?)(a-x)2/4+f''(ξ?)(b-x)2/4]dx誤差E_S=I-S_h=∫_a^b[-f'(x)(a+b-x)/2+f''(ξ?)(a-x)2/4+f''(ξ?)(b-x)2/4]dx計算各項積分：∫_a^b-f'(x)(a+b-x)/2dx=-f(x)/(b-a)*(a+b-x)|_a^b=-f(b)/2+f(a)/2=-f(a+b)/2∫_a^bf''(ξ?)(a-x)2/4dx=f''(ξ?)/4*∫_a^b(a-x)2dx=f''(ξ?)/4*[a2x-ax2/2+x3/3]|_a^b=f''(ξ?)/4*[a2b-a3/2+b3/3-(a3-a2a+a3/3)]=f''(ξ?)/4*[b3/3-a3/6]=f''(ξ?)/4*(b-a)3/3∫_a^bf''(ξ?)(b-x)2/4dx=f''(ξ?)/4*∫_a^b(b-x)2dx=f''(ξ?)/4*[b2x-bx2/2+x3/3]|_a^b=f''(ξ?)/4*[b3/3-a3/6]=f''(ξ?)/4*(b-a)3/3（此處利用了f''(ξ?)和f''(ξ?)