2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在城市環(huán)境治理中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.在建立城市空氣中污染物濃度的時間變化模型時，若考慮濃度變化率與當(dāng)前濃度成正比，衰減常數(shù)取決于氣象條件，則該模型最可能用到哪種數(shù)學(xué)工具？A.線性規(guī)劃B.非線性規(guī)劃C.一階常微分方程D.多元線性回歸2.某城市為優(yōu)化公共交通線路，需考慮多個起點、終點和途經(jīng)點。描述這種網(wǎng)絡(luò)型優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，最適合使用？A.歐幾里得空間幾何模型B.圖論模型C.隨機過程模型D.離散事件模擬模型3.城市水資源分配問題中，若需在滿足各區(qū)域基本用水需求和環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)的前提下，以最低成本實現(xiàn)總供水量最大化，最適合使用的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是？A.整數(shù)規(guī)劃B.動態(tài)規(guī)劃C.線性規(guī)劃D.非線性規(guī)劃4.利用高斯消元法求解城市區(qū)域綠地覆蓋最優(yōu)布局問題時，該模型通常被表述為？A.微分方程組B.離散優(yōu)化問題C.概率分布模型D.統(tǒng)計回歸模型5.監(jiān)測某城市河流污染物濃度時，發(fā)現(xiàn)濃度隨時間呈現(xiàn)波動變化，并希望預(yù)測未來幾天的峰值。下列哪種統(tǒng)計方法最適用于此場景？A.簡單線性回歸B.時間序列分析C.方差分析D.聚類分析6.在建立城市噪音污染的空間分布模型時，若假設(shè)噪音源是點源，且噪音強度隨距離衰減，則描述該現(xiàn)象的數(shù)學(xué)函數(shù)可能最接近？A.指數(shù)函數(shù)B.對數(shù)函數(shù)C.冪函數(shù)D.拋物線函數(shù)7.分析城市不同區(qū)域的人口遷移流動模式，若關(guān)注的是人口數(shù)量在空間網(wǎng)格上的分布及其隨時間的緩慢變化，適合使用的數(shù)學(xué)工具是？A.標(biāo)量場理論B.向量場理論C.張量分析D.馬爾可夫鏈8.某模型描述城市某區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）與多種污染物濃度、氣象參數(shù)（風(fēng)速、濕度等）的復(fù)雜關(guān)系，該模型最可能屬于？A.線性模型B.非線性模型C.確定性模型D.隨機游走模型9.在評估一項城市環(huán)保政策的長期效果時，研究者建立了一個包含多個子系統(tǒng)（經(jīng)濟、社會、環(huán)境）的反饋系統(tǒng)模型。這種模型最可能用到？A.單變量回歸分析B.多元統(tǒng)計分析C.系統(tǒng)動力學(xué)模型D.因子分析10.為了評估不同城市交通管理策略對緩解擁堵的效果，研究者需要比較各策略下的關(guān)鍵指標(biāo)。若需建立數(shù)學(xué)框架來比較不同策略的“效率”，可能用到的方法是？A.描述性統(tǒng)計B.假設(shè)檢驗C.效率評價理論（如數(shù)據(jù)包絡(luò)分析DEA）D.主成分分析二、填空題1.微分方程是描述城市污染物隨時間擴散過程的基本數(shù)學(xué)工具，其解的穩(wěn)定性通常與擴散系數(shù)和源強有關(guān)。若解呈現(xiàn)指數(shù)衰減趨勢，則表明系統(tǒng)傾向于_______狀態(tài)。2.在使用線性規(guī)劃模型解決城市垃圾收集路線優(yōu)化問題時，目標(biāo)函數(shù)通常表示為最小化總行駛距離，而約束條件則包括_______距離限制、垃圾產(chǎn)生量限制和收集車輛容量限制等。3.為了分析城市不同功能區(qū)（如住宅區(qū)、商業(yè)區(qū)）土地利用的關(guān)聯(lián)性，可以將城市空間劃分為若干網(wǎng)格，利用_______方法計算每個網(wǎng)格的用地類型，并分析其空間分布特征。4.概率統(tǒng)計方法在城市環(huán)境風(fēng)險評估中扮演重要角色，例如，通過分析歷史極端天氣事件數(shù)據(jù)，可以估計未來發(fā)生特定強度事件（如暴雨）的_______。5.建立城市能源消耗預(yù)測模型時，若考慮季節(jié)性因素和長期增長趨勢，可以使用_______模型來整合時間序列數(shù)據(jù)。三、計算題1.某城市區(qū)域污染物濃度C（mg/m3）隨時間t（小時）的變化符合如下一階常微分方程：dC/dt=-kC，其中k為衰減系數(shù)，k=0.1/h。假設(shè)初始時刻（t=0）該區(qū)域污染物濃度為C?=50mg/m3。請推導(dǎo)出污染物濃度C隨時間t變化的表達式，并計算4小時后該區(qū)域的污染物濃度。2.假設(shè)某城市簡化的交通網(wǎng)絡(luò)包含3個交叉口（A,B,C），車輛從A到C有兩條路徑：A→B→C和A→C。已知路徑A→B→C的總行駛時間為3分鐘，路徑A→C的總行駛時間為5分鐘。請建立一個線性方程組，表示在交通流量均衡（即進入交叉口的車輛數(shù)等于離開的車輛數(shù)）的條件下，交叉口A、B、C的車輛流量關(guān)系（設(shè)流量分別為x,y,z）。3.某城市計劃在兩個備選地點（地點1，地點2）建設(shè)一個新的污水處理廠，需要考慮處理能力（單位：萬噸/日）和建設(shè)成本（單位：萬元）。處理能力與建設(shè)規(guī)模有關(guān)，假設(shè)地點1的單位處理能力成本為100萬元/萬噸日，地點2為120萬元/萬噸日。根據(jù)預(yù)測，該區(qū)域每日總污水量為30萬噸。若要求污水處理能力至少滿足需求，且建設(shè)總成本最低，請建立該問題的線性規(guī)劃模型（包括決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件）。四、綜合應(yīng)用題1.假設(shè)城市某區(qū)域空氣中的PM2.5濃度（μg/m3）受到兩個主要交通干道排放的影響，可以用如下模型近似描述：C(x,y)=10*exp(-0.1x)*exp(-0.2y)，其中x和y分別表示距離兩條干道的水平距離（單位：公里）。請分析：(1)當(dāng)距離某條干道多遠時，PM2.5濃度會下降到初始值的1/10？(2)在一個正方形區(qū)域內(nèi)（0≤x≤2，0≤y≤2），PM2.5的總積分值（即該區(qū)域的總平均濃度）大致是多少？請說明其物理意義。(3)如果要在該區(qū)域內(nèi)設(shè)立一個空氣質(zhì)量監(jiān)測站，從監(jiān)測PM2.5總量的角度考慮，應(yīng)選擇哪個位置（x,y）的代表性更好？請簡要說明理由（無需計算最優(yōu)解）。2.某城市面臨水資源短缺問題，需要從兩個水庫（水庫A，水庫B）調(diào)水供應(yīng)城市。水庫A的水量是有限的，每月可供水量為100萬立方米，但水質(zhì)較差，每立方米需處理費用為10元。水庫B的水量較豐富，每月可供水量為200萬立方米，水質(zhì)較好，每立方米處理費用為6元。城市每月總需水量至少為150萬立方米。若城市希望以最低的總處理費用滿足用水需求，并且要求水庫A的利用不低于其總可供水量的40%。請建立該問題的數(shù)學(xué)模型（包括決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件），并說明模型中各部分的含義。---試卷答案一、選擇題1.C2.B3.C4.B5.B6.B7.A8.B9.C10.C二、填空題1.平衡2.邊界3.聚類分析/地理信息系統(tǒng)（GIS）空間分析4.概率/概率密度5.時間序列/ARIMA/指數(shù)平滑（或其他具體模型名稱也可）三、計算題1.解：由微分方程dC/dt=-kC，分離變量得dC/C=-kdt，積分得ln|C|=-kt+C?，即C=C?*e^(-kt)。代入初始條件C?=50,k=0.1，得C(t)=50*e^(-0.1t)。t=4小時時，C(4)=50*e^(-0.1*4)=50*e^(-0.4)≈50*0.6703≈33.525mg/m3。答案：C(t)=50*e^(-0.1t)，4小時后濃度約為33.525mg/m3。2.解：設(shè)A、B、C三個交叉口的車輛流量分別為x（A到B）、y（B到C）、z（A到C）。根據(jù)流量守恒：輸入A=輸出A，即x+z=總輸入到A（假設(shè)總輸入為I，則x+z=I）輸入B=輸出B，即x=y（因為只有一條從A到B，一條從B到C，且沒有其他流入流出B）輸入C=輸出C，即y+z=總輸入到C（假設(shè)總輸入為J，則y+z=J）若假設(shè)總輸入到A和C的總流量為總需求D（即I+J=D），則I=D-J。方程組為：(1)x+z=D-J(2)x-y=0(3)y+z=J（注：題目未給總輸入量，方程組有無限解，表達了流量關(guān)系）3.解：決策變量：x?：在地點1建設(shè)的處理能力（萬噸/日）x?：在地點2建設(shè)的處理能力（萬噸/日）目標(biāo)函數(shù)（最小化總成本）：MinZ=100x?+120x?約束條件：(1)x?+x?≥30（總處理能力至少滿足需求）(2)0≤x?≤100（地點1最大處理能力限制）(3)0≤x?≤（地點2最大處理能力，題目未給，可設(shè)為M，則0≤x?≤M）（注：題目未給地點2最大能力M，模型為不完全形式）四、綜合應(yīng)用題1.解：(1)令C(x,y)=C?/10，即10*exp(-0.1x)*exp(-0.2y)=10*C?*exp(-0.1x)*exp(-0.2y)。則exp(-0.1x)*exp(-0.2y)=exp(-0.1x)*exp(-0.2y)。exp(-0.1x-0.2y)=exp(-1)。-0.1x-0.2y=-1。0.1x+0.2y=1。x+2y=10。距離某條干道的垂直距離（設(shè)為y）滿足2y=10-x，當(dāng)x趨于無窮大時，y趨于5。距離某條干道10/√5≈4.47公里處，濃度下降到初始值的1/10。（也可理解為沿垂直于干道方向，距離干道10/√(0.12+0.22)≈4.47公里處）(2)PM2.5總積分值?_RC(x,y)dxdy，其中R為區(qū)域0≤x≤2,0≤y≤2。∫[fromy=0to2](∫[fromx=0to2]10*exp(-0.1x)*exp(-0.2y)dx)dy=10*exp(-0.2y)*∫[fromx=0to2]exp(-0.1x)dx=10*exp(-0.2y)*[-10*exp(-0.1x)]_[fromx=0to2]=10*exp(-0.2y)*[-10*exp(-0.2)+10]=100*(1-exp(-0.2))*exp(-0.2y)_[fromy=0to2]=100*(1-exp(-0.2))*[exp(-0.4)-1]≈100*(1-0.8187)*(0.6703-1)≈100*0.1813*(-0.3297)≈-5.96。由于結(jié)果為負，說明積分計算或模型假設(shè)可能存在問題，或表示該模型不適用于計算總積分（物理意義可能不是總質(zhì)量）。更合理的解釋是計算過程有誤，應(yīng)重新審視積分計算。若按∫[fromx=0to2]∫[fromy=0to2]Cdxdy=40*∫[fromx=0to2]exp(-0.1x)dx*∫[fromy=0to2]exp(-0.2y)dy計算：=40*[-10(exp(-0.2)-1)]*[-5(exp(-0.4)-1)]=40*10*5*(1-exp(-0.2))*(1-exp(-0.4))=2000*(1-0.8187)*(1-0.6703)=2000*0.1813*0.3297≈119.6。物理意義為該正方形區(qū)域內(nèi)PM2.5濃度的近似平均值乘以區(qū)域面積。(3)從監(jiān)測PM2.5總量角度看，應(yīng)選擇使C(x,y)*A(x,y)（濃度乘以面積微元）積分值最大的位置，其中A(x,y)是微元面積。由于區(qū)域R是正方形，面積相等。等高線C(x,y)=constant是一族以干道中點為圓心的橢圓族。濃度最大點在干道中點交點(1,1)。但從總量積分角度看，可能需要考慮整個區(qū)域。若假設(shè)區(qū)域無限大，則總量與源強成正比。若區(qū)域有限，積分值最大的位置與源強分布和區(qū)域形狀有關(guān)。在此簡化模型下，源強集中在干道中點，總積分值與區(qū)域形狀和范圍有關(guān)。若區(qū)域包含更多源強，總量可能更大。若僅比較給定正方形區(qū)域，積分值與源強分布和區(qū)域覆蓋關(guān)系有關(guān)。選擇(1,1)點可能使?jié)舛戎递^高，但不一定使總積分值最大。更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治鲂枰嬎惴e分值比較。簡要理由：總積分值取決于整個區(qū)域的濃度分布，與源強位置和區(qū)域形狀相關(guān)。點(1,1)是模型濃度分布的最高點，但不必然是總積分最大點。2.解：決策變量：x?：從水庫A調(diào)取的水量（萬立方米/月）x?：從水庫B調(diào)取的水量（萬立方米/月）目標(biāo)函數(shù)（最小化總處理費用）：MinZ=10x?+6x?約束條件：(1)