2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)優(yōu)化在工業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列關(guān)于線性規(guī)劃問題的說法中，正確的是（）。A.線性規(guī)劃問題的可行域一定是一個(gè)凸多邊形B.線性規(guī)劃問題一定存在最優(yōu)解C.線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)一定在可行域的頂點(diǎn)上達(dá)到最優(yōu)值D.線性規(guī)劃問題的約束條件可以是非線性的2.在單純形法中，選擇進(jìn)基變量的標(biāo)準(zhǔn)是（）。A.對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)最大的變量B.對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)最小的變量C.對(duì)應(yīng)的變量系數(shù)最小的變量D.對(duì)應(yīng)的變量系數(shù)最大的變量3.下列關(guān)于對(duì)偶問題的說法中，正確的是（）。A.對(duì)偶問題的對(duì)偶問題就是原問題B.對(duì)偶問題的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)是原問題的約束條件的右端項(xiàng)C.對(duì)偶問題的約束條件的右端項(xiàng)是原問題的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)D.對(duì)偶問題的最優(yōu)解與原問題的最優(yōu)解相同4.下列關(guān)于梯度下降法的說法中，正確的是（）。A.梯度下降法適用于所有優(yōu)化問題B.梯度下降法總是能找到最優(yōu)解C.梯度下降法的收斂速度與學(xué)習(xí)率有關(guān)D.梯度下降法只適用于線性規(guī)劃問題5.在生產(chǎn)計(jì)劃與調(diào)度問題中，常用的優(yōu)化目標(biāo)是（）。A.最小化生產(chǎn)成本B.最大化生產(chǎn)效率C.最小化生產(chǎn)周期D.以上都是二、填空題1.線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型中，所有約束條件都是__________。2.單純形法的迭代過程是在可行域的__________之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。3.非線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)是__________。4.動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用于解決__________問題。5.在資源分配問題中，通常需要考慮的資源包括__________、__________和__________。三、計(jì)算題1.用單純形法求解下列線性規(guī)劃問題：$\maxz=3x_1+5x_2$s.t.$x_1+x_2\leq4$$2x_1+x_2\leq6$$x_1,x_2\geq0$2.用梯度下降法求解下列非線性規(guī)劃問題：$\minf(x,y)=x^2+y^2$其中，初始點(diǎn)為$(1,1)$，學(xué)習(xí)率為$0.1$。3.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，需要消耗兩種資源。已知每種產(chǎn)品的資源消耗量、生產(chǎn)利潤(rùn)和資源限制如下表所示：|產(chǎn)品|資源A|資源B|利潤(rùn)||---|---|---|---||產(chǎn)品1|2|1|3||產(chǎn)品2|1|2|4|資源A的總供應(yīng)量為8，資源B的總供應(yīng)量為6。問如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能使工廠獲得最大利潤(rùn)？四、應(yīng)用題某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，需要經(jīng)過兩道工序。每件產(chǎn)品經(jīng)過第一道工序需要1小時(shí)，經(jīng)過第二道工序需要2小時(shí)。公司每天有8小時(shí)的第一道工序時(shí)間和12小時(shí)的第二道工序時(shí)間。已知每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本和銷售價(jià)格如下表所示：|產(chǎn)品|生產(chǎn)成本|銷售價(jià)格||---|---|---||產(chǎn)品1|10|15||產(chǎn)品2|12|20|公司希望確定每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的數(shù)量，以使公司的總利潤(rùn)最大。請(qǐng)建立該問題的數(shù)學(xué)模型，并說明模型中包含的決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。五、論述題討論數(shù)學(xué)優(yōu)化在物流配送中的應(yīng)用，并分析其面臨的挑戰(zhàn)和機(jī)遇。試卷答案一、選擇題1.A2.A3.B4.C5.D二、填空題1.等式2.頂點(diǎn)3.非線性函數(shù)4.多階段決策5.人力、設(shè)備、原材料三、計(jì)算題1.解：引入松弛變量$x_3,x_4\geq0$，將問題化為標(biāo)準(zhǔn)型：$\maxz=3x_1+5x_2$s.t.$x_1+x_2+x_3=4$$2x_1+x_2+x_4=6$$x_1,x_2,x_3,x_4\geq0$初始單純形表：||$x_1$|$x_2$|$x_3$|$x_4$|$b$||---|-------|-------|-------|-------|----|||3|5|1|0|0||$x_3$|1|1|1|0|4||$x_4$|2|1|0|1|6|||-3|-5|0|0|0|選擇$x_2$進(jìn)基，$x_4$離基，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)算：||$x_1$|$x_2$|$x_3$|$x_4$|$b$||---|-------|-------|-------|-------|----|||-1|0|1|5|20||$x_3$|1/2|0|1|-1|2||$x_2$|2|1|0|1|6|||-1/2|0|0|5|30|所有檢驗(yàn)數(shù)$\leq0$，最優(yōu)解為$x_1=0,x_2=6,x_3=2,x_4=0$，最大值為$z=30$。2.解：$f_x=2x,f_y=2y$迭代公式：$x_{k+1}=x_k-0.1\cdot2x_k=0.8x_k$,$y_{k+1}=y_k-0.1\cdot2y_k=0.8y_k$迭代兩次：$x_1=0.8,y_1=0.8$$x_2=0.64,y_2=0.64$繼續(xù)迭代，$x_k$和$y_k$將趨近于0。3.解：引入決策變量$x_1,x_2\geq0$，表示兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量。目標(biāo)函數(shù)：$\maxz=3x_1+4x_2$約束條件：$2x_1+x_2\leq8$(資源A)$x_1+2x_2\leq6$(資源B)$x_1,x_2\geq0$四、應(yīng)用題解：引入決策變量$x_1,x_2\geq0$，表示兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量。目標(biāo)函數(shù)：$\maxz=(15-10)x_1+(20-12)x_2=5x_1+8x_2$約束條件：$x_1+x_2\leq8$(第一道工序)$2x_1+2x_2\leq12$(第二道工序，簡(jiǎn)化為$x_1+x_2\leq