13.3.2三角形的外角人教版（2024）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十三章三角形1．理解三角形的外角的概念．2．掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，并利用這一性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題，發(fā)展空間觀念、幾何直觀和推理能力．學(xué)習(xí)目標(biāo)

如圖，在證明三角形的內(nèi)角和定理時(shí)，我們用過(guò)這樣的方法.回顧想一想：圖形中除了出現(xiàn)△ABC的三個(gè)內(nèi)角外，還出現(xiàn)了什么樣的角？這樣的角又有什么樣的特點(diǎn)呢？BACABABCl如圖，把△ABC的一邊BC延長(zhǎng)，得到∠ACD．試著說(shuō)出這個(gè)角有什么特征．問(wèn)題1（1）角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；（2）角的一邊是三角形的一邊；（3）角的另一邊是三角形某一邊的延長(zhǎng)線．像∠ACD這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫作三角形的外角．BCDA如圖，你能畫出△ABC的所有外角嗎？觀察這些外角，試著說(shuō)出你的發(fā)現(xiàn)．問(wèn)題2BCA如圖，你能畫出△ABC的所有外角嗎？觀察這些外角，試著說(shuō)出你的發(fā)現(xiàn)．問(wèn)題2BCA向兩個(gè)方向延長(zhǎng)三角形的各邊，可以畫出所有外角；三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角；外角和與它同頂點(diǎn)的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角；……歸納（1）三角形的一個(gè)外角和與它同頂點(diǎn)的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角．（2）向兩個(gè)方向延長(zhǎng)三角形的各邊，可以畫出這個(gè)三角形所有的外角：三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角，所以一個(gè)三角形有6個(gè)外角，其中有三個(gè)與另外三個(gè)分別相等．如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°．∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，能由∠A，∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A，∠B有什么關(guān)系？問(wèn)題3B70°A60°CD解：能．∠ACD＝∠A＋∠B．解：由三角形內(nèi)角和定理，得

∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－70°－60°＝50°，

∴

∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－50°＝130°，

∴

∠ACD＝∠A＋∠B．B70°A60°CD任意一個(gè)三角形的一個(gè)外角與和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角是否都有這種關(guān)系？思考BACD試著寫出完整的證明過(guò)程BACD已知：∠ACD是△ABC的一個(gè)外角．求證：∠ACD＝∠A＋∠B．證明：∵

∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴

∠ACB＝180°－∠A－∠B．∵

∠ACB＋∠ACD＝180°，∴

∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝∠A＋∠B．思考?xì)w納一般地，由三角形內(nèi)角和定理可以推出下面的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．推論是由定理直接推出的結(jié)論，和定理一樣，推論可以作為進(jìn)一步推理的依據(jù)．

例如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？

ABCEFD123

解法1：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得

∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2．

所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．

由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°．還有其他解法嗎？ABCEFD123

解法2：由∠1＋∠BAE＝180°，

∠2＋∠CBF＝180°，∠3＋∠ACD＝180°，

得

∠1＋∠2＋∠3＋∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°．

又

∠1＋∠2＋∠3＝180°，

得

∠BAE＋∠CBF＋∠ACD

＝540°－180°＝360°．ABCEFD123歸納三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們相等，所以每個(gè)頂點(diǎn)處只取一個(gè)外角，把它們的和叫作三角形的外角和．三角形的外角和等于360°．1．下列說(shuō)法正確的是（）．A．三角形的外角大于它的內(nèi)角B．三角形的一個(gè)外角等于它兩個(gè)內(nèi)角的和C．三角形的一個(gè)內(nèi)角小于和它不相鄰的外角D．三角形的外角和為180°C

2.說(shuō)出下列各圖形中∠1和∠2的度數(shù)．∠1＝40°∠2＝140°∠1＝110°∠2＝70°∠1＝50°∠2＝140°（1）（2）（3）∠1＝55°∠2＝70°∠1＝80°∠2＝40°∠1＝60°∠2＝30°

2.說(shuō)出下列各圖形中∠1和∠2的度數(shù)．（4）（5）（6）歸納應(yīng)用三角形外角性質(zhì)的注意事項(xiàng)（1）應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)時(shí)，不能忽視“不相鄰