第七章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二重積分Advancedmathematics高等數學上海財經大學數學學院

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表示以

為底的第

個小曲頂柱體的體積,，一、二重積分的概念把區(qū)域任意分割成個小區(qū)域,,…,，且仍以表示第個小區(qū)域的面積，柱體。分成個小曲頂這樣就把曲頂柱體(2)近似圖7.2一、二重積分的概念在每個小區(qū)域（)上任取一點，并以值為高，為底的平頂柱體的體積作為的近似值(見圖7.2)，即一、二重積分的概念(3)求和這個小平頂柱體的體積相加，就得到所求的曲頂柱體體積的近似值，即(4)取極限當區(qū)域分得越細，則上式右端的和式就越接近于曲頂柱體的體積.用表示小區(qū)域上任意兩點間的最大距離，稱為該小區(qū)域的直徑，令.當時，上述和式的極限存在，則這個極限值就是所求的曲頂柱體的體積，即一、二重積分的概念2.二重積分的定義定義7.1設是定義在有界閉區(qū)域上的有界二元函數，將區(qū)域任意分割成個小區(qū)域，，…，，并仍以表示第個小區(qū)域的面積，為區(qū)域的直徑,,在每個小區(qū)域上任取一點，作乘積（）,并求和當時，這個和式的極限存在，則稱函數在區(qū)域上可積,稱此極限值為函數在區(qū)域上的二重積分，記作

即證明略.一、二重積分的概念3.二重積分的存在性其中，稱為被積函數，“”稱為二重積分符號，稱為積分區(qū)域，稱為面積元素，稱為積分變量.定理7.1如果二元函數在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則二重積分存在，即在區(qū)域上可積.一、二重積分的概念4.二重積分的幾何意義（1）如果在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數，積分的值等于以積分區(qū)域為底，連續(xù)曲面為頂的曲頂柱體的體積，（2）如果在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數，積分區(qū)域積分的值等于以為底，連續(xù)曲面為頂的曲頂柱體的體積的相反數，則二重即則二重即一、二重積分的概念（3）如果在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數既取得正值,又取得負值時，則二重積分的值等于以積分區(qū)域為底，以連續(xù)曲面為頂的曲頂柱體體積的代數和。e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C1.曲頂柱體的體積2.二重積分的定義3.二重積分的存在性4.二重積分的幾何意義一、二重積分的概念目錄/Contents第一節(jié)二重積分的概念與性質二、二重積分的性質第七章二重積分二、二重積分的性質

二重積分與一元函數的定積分具有相似的性質，下面涉及的函數均假定性質7.1若在區(qū)域

上有

，

是

的面積，則性質7.2常數因子可提到積分號外面，即

為常數）.

（在上可積.性質7.3函數的代數和的積分等于各個函數積分的代數和，性質7.4（二重積分的積分區(qū)域可加性）圖7.3若區(qū)域

被一連續(xù)曲線分成二、二重積分的性質和，見圖7.3，即則性質7.5

（比較性質）特別地，由于所以性質7.6（估值定理）設

分別是函數

在有界閉區(qū)域

上的最大值和最小值，若在區(qū)域

上，有

，則

由此，若在區(qū)域

上，有

，則二、二重積分的性質

是

的面積，則性質7.7（二重積分的中值定理）二、二重積分的性質設函數在有界閉區(qū)域上連續(xù)，是區(qū)域的面積，則在上至少存在一點，使得二重積分中值定理的幾何意義是：在區(qū)域上以曲面()為頂的曲頂柱體的體積，等于區(qū)域上以某一點的函數值為高的平頂柱體的體積.（1）設（2）設（3）設【例1】

計算二重積分故解（1）

是長為6，寬為4的矩形，其面積二、二重積分的性質故故其面積其面積（3）

是由半徑為2和1的兩個同心圓圍成的圓環(huán)，（2）

是第一象限的三角形，

軸，

軸上的截距均為6，二、二重積分的性質【例2】比較二重積分

與

的大小,從而

，解

在積分區(qū)域

內，由于

，所以二、二重積分的性質其中

由直線,與

所圍.故即所以解

在積分區(qū)域

內，被積函數

，二、二重積分的性質估計二重積分

的取值范圍，其中【例3】

積分區(qū)域

的面積為

，e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C學海無涯，祝你成功！高等數學上海財經大學數學學院

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見圖7.4,于是小區(qū)域的面積為（）,

所以在直角坐標系中,

面積元素可寫成,

從而(a)(b)圖7.5一、利用直角坐標計算二重積分若積分區(qū)域可以表示為其中函數、在上連續(xù),

并且穿過內部平行軸正向的直線與區(qū)域的邊界最多交于兩點,

則稱為—型區(qū)域(見圖7.5).圖7.6一、利用直角坐標計算二重積分(a)(b)若積分區(qū)域可以表示為其中函數、在上連續(xù),

并且穿過內部平行軸正向的直線與區(qū)域的邊界最多交于兩點,

則稱為—型區(qū)域(見圖7.6).圖7.7一、利用直角坐標計算二重積分由二重積分的幾何意義,

當時,

二重積分是區(qū)域上的以曲面為頂的曲頂柱體的體積(見圖7.7).首先討論積分區(qū)域為—型區(qū)域的二重積分的計算.在區(qū)間上任取一點,

過作平面平行于面,

則此平面于是有,

右端的積分稱為二次積分.一般寫成,一、利用直角坐標計算二重積分與曲頂柱體的截面是一個以區(qū)間,為底,

曲線（對固定的,

是的一元函數）為曲邊的曲邊梯形（圖7.7陰影部分）,

其面積為根據平行截面面積為已知的立體體積公式,所求曲頂柱體的體積為一、利用直角坐標計算二重積分即當積分區(qū)域為—型區(qū)域時,可以將二重積分化為先對后對的二次積分（累次積分）.這樣,當積分區(qū)域可以表示為時,一般寫成,

有,

,一、利用直角坐標計算二重積分同理,當積分區(qū)域可以表示為（即為—型區(qū)域）時,的定積分；上的定積分.計算其在區(qū)間即:第一次計算積分,計算到把看成常數,把看作的函數,對,再對然后將算得的結果作為第二次積分的被積函數有二次積分一般寫成,一、利用直角坐標計算二重積分即當積分區(qū)域為—型區(qū)域時,可以將二重積分化為先對后對的二次積分（累次積分）.的定積分；上的定積分.計算其在區(qū)間二次積分即：第一次計算積分,計算到把看成常數,把看作的函數,對,再對然后將算得的結果作為第二次積分的被積函數特別地：當積分區(qū)域為矩形時,有或.；

一、利用直角坐標計算二重積分注意：(1)若穿過內部且平行軸(軸)正向的直線與區(qū)域的邊界相交多于兩個點時,則要將分成幾個—型區(qū)域(—型區(qū)域).(2)若穿過內部且平行軸(軸)正向的直線與區(qū)域的邊界相交,邊界方程不同時,也要將分成幾個—型區(qū)域(—型區(qū)域).當積分區(qū)域為矩形且被積函數時,

有.一、利用直角坐標計算二重積分一般在計算二重積分時,應先畫出積分區(qū)域的草圖,再根據被積函數及積分區(qū)域的特點,選擇適當的二次積分次序,最后計算二次積分.【例1】將二重積分,化為直角坐標系下的二次積分(1)由,圍成；

,,,圍成；

由(2)由,,圍成.(3)

圖7.8解

（1）區(qū)域如圖7.8所示,

后對①

若把二重積分化為先對的二次積分,則區(qū)域為所以一、利用直角坐標計算二重積分

（寫出兩種積分次序）：②若把二重積分化為先對后對的二次積分,則區(qū)域為.所以（2）區(qū)域如圖7.9所示,

①若把二重積分化為先對后對的二次積分,

所以圖7.9為

則區(qū)域一、利用直角坐標計算二重積分②

若把二重積分化為先對后對的二次積分,則區(qū)域為所以.（3）區(qū)域如圖7.10所示,

①

若把二重積分化為先對后對的二次積分,則區(qū)域為所以.圖7.10一、利用直角坐標計算二重積分的二次積分,則區(qū)域②若把二重積分化為先對后對為

所以.一、利用直角坐標計算二重積分

.【例2】

計算二重積分,其中解由于積分區(qū)域是矩形區(qū)域

(見圖7.11).圖7.11所以

且被積函數一、利用直角坐標計算二重積分

【例3】計算二重積分,其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域．解法一

區(qū)域如圖7.12所示,將它看成一個-型區(qū)域,即圖7.12一、利用直角坐標計算二重積分所以可以－型區(qū)域,即看成是解法二

也可以將于是一、利用直角坐標計算二重積分【例4】計算二重積分,其中是由直線,,及所圍成的閉區(qū)域.圖7.13(a)解畫出區(qū)域的草圖(見圖7.13(a)).是—型區(qū)域.一、利用直角坐標計算二重積分后對

的二次積分,二重積分可化為先對即.

如果采用先對后對的二次積分,則直線

將區(qū)域分割成兩個區(qū)域和(見圖7.13(b)),

都是—型區(qū)域,圖7.13(b)一、利用直角坐標計算二重積分其中即后對的二次積分較先對后對的二次積分要復雜.顯然,先對一、利用直角坐標計算二重積分【例5】計算二重積分,其中是由直線,及所圍成的閉區(qū)域

(見圖7.14).既是—型,也是—型.解如圖7.14所示,區(qū)域圖7.14若把二重積分化為先對后對的二次積分,則區(qū)域為一、利用直角坐標計算二重積分從而

若把二重積分化為先對后對的二次積分,從而則積分區(qū)域一、利用直角坐標計算二重積分的類型,分無法進行。由于函數的原函數不能用初等函數表示,因此,上面這個二次積【例6】計算二重積分,其中是由直線及拋物線所圍成的閉區(qū)域.圖7.15的草圖

(見圖7.15).

解畫出區(qū)域一、利用直角坐標計算二重積分過程簡捷的積分順序.例4,例5說明,二重積分的計算不但要考慮積分區(qū)域而且要結合被積函數選擇一種保證二重積分能計算并使計算積分區(qū)域是—型區(qū)域,.后對的二次積分.先對一、利用直角坐標計算二重積分二重積分可化為即【例7】交換二次積分的次序解由所給的二次積分,可得積分區(qū)域畫出區(qū)域(見圖7.16).的二次積分.此時積分區(qū)域則.圖7.16而后對改變積分次序,即化為先對一、利用直角坐標計算二重積分e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C一、利用直角坐標計算二重積分目錄/Contents第二節(jié)二重積分的計算二、利用極坐標計算二重積分第二節(jié)二重積分的計算三、二重積分的換元法四、廣義二重積分設函數在閉區(qū)域上連續(xù),下面我們討論如何利用極坐標計算二重積分,即將二重積分化為極坐標系下的二次積分.將極點與直角坐標系的原點重合,極軸與軸正方向重合.則兩者的關系為的直角坐標為

極坐標為,見圖7.17,設點圖7.17二、利用極坐標計算二重積分從而函數在點處的函數值用極坐標表示為.圖7.18假定從極點發(fā)出穿過區(qū)域內部的射線與區(qū)域的邊界至多有兩個交點,為中心的同心圓和一族以極點為頂點的射線我們用一族以極點（即原點）

將區(qū)域分割成許多小區(qū)域(見圖7.18)所示.

二、利用極坐標計算二重積分將區(qū)域分成個小閉區(qū)域,而分別為它們的是所有小區(qū)域直徑中的最大值,在每個小區(qū)域中任意取面積,.對任意一個小閉區(qū)域有,一點二、利用極坐標計算二重積分由二重積分的定義有其中,表示小閉區(qū)域邊界所在的兩個相鄰圓弧和的半徑的平均值.即上式是將直角坐標系下的二重積分化為極坐標系下的二重積分的計算.公式.二、利用極坐標計算二重積分,我們令該上取上的一點在小閉區(qū)域,點的直角坐標即為就是極坐標系下的面積元素,即其中于是有為計算極坐標系下的二重積分,根據則圖7.19二、利用極坐標計算二重積分在區(qū)域的外部.見圖7.19.（1）極點積分區(qū)域的具體特點分以下幾種情形：的邊界上.在區(qū)域(2)極點則圖7.20見圖7.20.二、利用極坐標計算二重積分(3)極點在區(qū)域的內部.見圖7.21.則圖7.21由二重積分的性質1,閉區(qū)域的面積可以表示為二、利用極坐標計算二重積分

圖7.22【例8】利用極坐標計算二重積分,其中解積分區(qū)域的極坐標形式(見圖7.22)為則二、利用極坐標計算二重積分【例9】利用極坐標計算二重積分,其中(見圖7.23).

圖7.23區(qū)域

的極坐標形式為

,的極坐標方程是解(法一)

圓所以二、利用極坐標計算二重積分解

(法二)由于積分區(qū)域關于軸對稱,被積函數關于是偶函數,所以二、利用極坐標計算二重積分【例10】計算二重積分,其中為圓和圓與直線,所圍區(qū)域在第I象限內的那部分

(見圖7.24).圖7.24

解區(qū)域的極坐標形式為所以二、利用極坐標計算二重積分如果二元函數的積分區(qū)域是無界的,則類似于一元函數,可以定義二元函數的廣義積分.

解因為是偶函數,所以,,即設二重積分,其中【例11】計算積分圖7.25即積分區(qū)域是平面直角坐標系中的第一象限(見圖7.25)

設二、利用極坐標計算二重積分下面舉例說明.則

在極坐標系下,設則二、利用極坐標計算二重積分而所以

即,所以利用本例的結果,可得到概率統(tǒng)計中標準正態(tài)分布的密度函數

的重要性質:

二、利用極坐標計算二重積分【例12】求由曲面與平面所圍立體的體積圖7.26解

此立體如圖7.26所示,它的體積可以看成是一個圓柱體體積曲頂柱體的頂是,底為區(qū)域所以其體積為因此所求立體的體積為二、利用極坐標計算二重積分

圓柱體的體積是

減去一個曲頂柱體體積．【例13】計算圓柱面所圍的空間區(qū)域被球面所截部分的立體的體積．解

如圖7.27所示,根據對稱性,只要計算出此立體在第一卦限的體積,此立體在第一卦限的部分可以看成是以坐標面上的半圓區(qū)域為底,以曲面為頂的曲頂柱體．二、利用極坐標計算二重積分圖7.27

就可以得到立體體積.其體積為圖

7.28區(qū)域在極坐標系下可以表示為如圖7.28所示．故所求立體的體積為所以二、利用極坐標計算二重積分e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C一、利用直角坐標計算二重積分目錄/Contents第二節(jié)二重積分的計算二、利用極坐標計算二重積分第二節(jié)二重積分的計算三、二重積分的換元法四、廣義二重積分三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C一、利用直角坐標計算二重積分目錄/Contents第二節(jié)二重積分的計算二、利用極坐標計算二重積分第二節(jié)二重積分的計算三、二重積分的換元法四、廣義二重積分四、廣義二重積分四、廣義二重積分四、廣義二重積分四、廣義二重積分四、廣義二重積分四、廣義二重積分四、廣義二重積分e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C學海無涯，祝你成功！高等數學上海財經大學數學學院

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