2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——概率論在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某城市交通部門統(tǒng)計(jì)，在高峰時(shí)段，某條主干道上的事故發(fā)生率是每分鐘0.02次。假設(shè)事故的發(fā)生是隨機(jī)的，服從泊松分布。求在高峰時(shí)段的10分鐘內(nèi)，該主干道上發(fā)生至少3次事故的概率。二、一個(gè)盒子里有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，它們除了顏色外完全相同。從中不放回地依次抽取兩個(gè)球，求第二次抽到紅球的概率。三、設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3，且其概率分布為P(X=1)=a，P(X=2)=2a，P(X=3)=3a。求常數(shù)a的值，并計(jì)算X的期望E(X)。四、已知連續(xù)型隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為λ=2的指數(shù)分布。求Y的期望E(Y)和方差D(Y)。五、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。求隨機(jī)變量Z=3X-2Y的期望E(Z)和方差D(Z)。六、某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，次品率P(次品)=0.1?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，求抽到的次品件數(shù)X的期望E(X)和方差D(X)。七、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2=4?，F(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為n=16的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值為x?。求樣本均值x?的數(shù)學(xué)期望E(x?)和方差D(x?)。八、根據(jù)中心極限定理，假設(shè)一個(gè)班級(jí)有100名學(xué)生的身高近似服從正態(tài)分布N(170cm,102cm2)。求該班級(jí)身高在160cm到180cm之間的學(xué)生大約有多少人？九、某人進(jìn)行一項(xiàng)有風(fēng)險(xiǎn)的投資，投資成功時(shí)獲利10000元，失敗時(shí)損失3000元。已知投資成功的概率為0.3，求該投資的期望收益E(X)。十、設(shè)事件A和事件B相互獨(dú)立，P(A)=0.6，P(B)=0.7。求P(A∪B)和P(A|B)。試卷答案一、P(X≥3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-(e^(-λ)*λ^0/0!)-(e^(-λ)*λ^1/1!)-(e^(-λ)*λ^2/2!)=1-e^(-λ)-λe^(-λ)-(λ^2/2)e^(-λ)λ=0.02*10=0.2=1-e^(-0.2)-0.2e^(-0.2)-(0.2^2/2)e^(-0.2)=1-0.8187-0.2*0.8187-(0.04/2)*0.8187=1-0.8187-0.16374-0.016374=1-0.998814=0.001186二、方法一：利用全概率公式P(第二次紅)=P(第一次紅,第二次紅)+P(第一次白,第二次紅)=(5/8*4/7)+(3/8*5/7)=20/56+15/56=35/56=5/8方法二：利用對(duì)立事件P(第二次紅)=1-P(第二次白)=1-[P(第一次紅,第二次白)+P(第一次白,第二次白)]=1-[(5/8*3/7)+(3/8*2/7)]=1-[15/56+6/56]=1-21/56=1-3/8=5/8三、由概率分布性質(zhì)：ΣP(X=x)=1a+2a+3a=16a=1a=1/6E(X)=Σx*P(X=x)=1*(1/6)+2*(2/6)+3*(3/6)=1/6+4/6+9/6=14/6=7/3四、若Y~Exp(λ)，則E(Y)=1/λ,D(Y)=1/λ2λ=2E(Y)=1/2D(Y)=1/(22)=1/4五、由X,Y獨(dú)立同N(0,1)分布：E(Z)=E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=3*0-2*0=0D(Z)=D(3X-2Y)=32D(X)+(-2)2D(Y)=9*1+4*1=13六、X~B(n=3,p=0.1)E(X)=np=3*0.1=0.3D(X)=np(1-p)=3*0.1*(1-0.1)=3*0.1*0.9=0.27七、由抽樣分布性質(zhì)：E(x?)=E(μ)=μD(x?)=D(μ)/n=σ2/n=4/16=1/4八、由中心極限定理，X~N(μ=170,σ2=1002)P(160≤X≤180)≈P(160≤μ±zσ≤180)=P(160≤170±10z≤180)=P(170-10z≤180)且P(160≤170+10z)=P(-10z≤10)且P(-10≤10z)=P(-1≤z≤1)且P(-1≤z≤1)=2*P(0≤z≤1)≈2*[Φ(1)-Φ(0)]≈2*(0.8413-0.5)=2*0.3413=0.6826學(xué)生人數(shù)≈100*0.6826=68.26≈68人九、定義隨機(jī)變量X：X=10000(成功),P(X=10000)=0.3X=-3000(失敗),P(X=-3000)=0.7E(X)=10000*0.3+(-3000)*0.7=3000-2100=900十、P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=P(A)+P(B)