2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——數(shù)學抽象代數(shù)在計算機編程中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列哪個集合對給定的運算不構成群？(A)實數(shù)集R對加法運算(B)非零實數(shù)集R\{0}對乘法運算(C)整數(shù)集Z對除法運算(D)n階正整數(shù)倍數(shù)集{0,n,2n,...,(n-1)n}對加法運算，其中n為正整數(shù)2.設G是一個群，a,b∈G，若(ab)^2=a^2b^2，則下列結論一定成立的是？(A)G是交換群(B)a與b可交換(C)a或b是單位元(D)G是有限群3.下列哪個不是環(huán)R的單位元必須滿足的性質(zhì)？(A)對任意a∈R，有ur=a(B)對任意a∈R，有ru=a(C)存在r^(-1)∈R，使得rr^(-1)=1(D)對任意a∈R，有a+r=r+a4.下列哪個環(huán)是域？(A)整數(shù)集Z對加法和乘法運算(B)有理數(shù)集Q對加法和乘法運算(C)實數(shù)集R對加法和乘法運算(D)n階整數(shù)環(huán)Z/nZ，其中n為正整數(shù)5.在有限群G中，下列哪個命題不成立？(A)每個元素的階都是有限的(B)元素的階整除群的階(C)群的階等于所有元素階的和(D)存在元素a∈G，使得a的階等于群的階二、填空題1.設G是一個交換群，a∈G，則a的逆元記作________。2.環(huán)R中的加法單位元稱為________，乘法單位元稱為________。3.域D中的乘法逆元指的是對于非零元素a∈D，存在b∈D，使得________。4.循環(huán)群是指由一個生成元生成的群，記作________，其所有元素可以表示為________。5.在群G中，元素a的階是指________，記作________。三、簡答題1.簡述群在數(shù)據(jù)結構中的應用，舉例說明。2.解釋環(huán)的特征，并舉例說明特征為0的環(huán)和特征為p(p為素數(shù))的環(huán)的區(qū)別。3.描述域在密碼學中的作用，并舉例說明一種基于域的密碼算法。4.說明同態(tài)的概念，并舉例說明群同態(tài)和環(huán)同態(tài)的區(qū)別。5.解釋陪集的概念，并說明陪集在計算機科學中的應用。四、計算題1.設G={a,b,c,d}是一個群，運算表如下：|*|a|b|c|d||---|---|---|---|---||a|a|b|c|d||b|b|c|d|a||c|c|d|a|b||d|d|a|b|c|求：(1)G的單位元；(2)元素b和c的階；(3)G的所有子群。2.設R=Z/6Z是整數(shù)模6的剩余類環(huán)，計算：(1)3+4和3*4；(2)3的加法逆元和乘法逆元（如果存在）。3.設R[x]是實數(shù)系數(shù)多項式環(huán)，考慮多項式f(x)=x^2-1和g(x)=x+1，計算f(x)+g(x)和f(x)*g(x)。五、應用題1.設計一個基于群的簡單加密算法，要求說明群的選取、加密和解密過程。2.分析一個簡單的數(shù)據(jù)結構（例如?；蜿犃校┲械拇鷶?shù)結構，并說明如何利用抽象代數(shù)的知識優(yōu)化其性能。試卷答案一、選擇題1.(C)解析：整數(shù)集Z對除法運算不滿足封閉性和逆元性質(zhì)，因此不構成群。2.(A)解析：若(ab)^2=a^2b^2對所有a,b∈G成立，則G必然是交換群。3.(D)解析：環(huán)的單位元滿足加法和乘法單位元性質(zhì)，即對任意a∈R，有ur=a和ru=a，故(A)和(B)正確；存在r^(-1)使得rr^(-1)=1是乘法逆元定義，故(C)正確；環(huán)的單位元在加法下稱為零元，滿足a+r=r+a，故(D)錯誤。4.(B)解析：有理數(shù)集Q在加法和乘法下封閉、結合，存在加法零元和乘法單位元，非零元素a的乘法逆元a^(-1)=1/a存在，因此Q是域。Z不是域因為有理數(shù)不是整數(shù)環(huán)的乘法逆元。R是域但不是“哪個”，Z/nZ當n為素數(shù)時是域，但題目問“哪個”，故選B。5.(C)解析：群G中元素的階整除群的階，但不一定等于所有元素階的和。例如，循環(huán)群Z_6={0,1,2,3,4,5}，其階為6，元素0的階為1，其他元素的階為6的因子：1,2,3,6。和為1+2+3+6+4+5=21≠6。二、填空題1.a^(-1)解析：群中元素a的逆元定義為滿足a*a^(-1)=e和a^(-1)*a=e的元素e，通常記作a^(-1)。2.零元；單位元解析：在環(huán)R中，加法單位元是使得對任意a∈R有a+0=a的元素，稱為零元；乘法單位元是使得對任意a∈R有a*1=a的元素，稱為單位元。3.ab=ba=1解析：域D中的乘法逆元b對于非零元素a，滿足a與b的乘積等于乘法單位元1。4.<g>,{g^k|k∈Z}解析：循環(huán)群是由生成元g生成的，記作<g>，其所有元素可以表示為生成元的整數(shù)次冪。5.a^n=e，其中n是最小的正整數(shù)；|a|解析：元素a的階是指a的正整數(shù)次冪首次等于群單位元e時的次數(shù)，記作|a|。其中n是最小的正整數(shù)。三、簡答題1.簡述群在數(shù)據(jù)結構中的應用，舉例說明。解析思路：群的理論可以用于分析數(shù)據(jù)結構的性質(zhì)和設計算法。例如，棧和隊列的某些操作可以看作群或半群的結構。哈希表可以通過使用群的操作來提高其性能或?qū)崿F(xiàn)特定的功能。矩陣運算在圖形學中廣泛應用，矩陣乘法構成半群，可用于表示變換。編碼理論中，群論用于構造糾錯碼。圖論中的路徑搜索也可以用群論的觀點來理解。答：群在數(shù)據(jù)結構中的應用主要體現(xiàn)在：1）分析數(shù)據(jù)結構的代數(shù)性質(zhì)，例如棧和隊列的某些操作序列可以看作半群或群的生成集；2）利用群操作優(yōu)化數(shù)據(jù)結構性能，例如哈希表設計；3）設計基于群的算法，例如利用對稱性簡化計算；4）構造具有特定代數(shù)結構的編碼數(shù)據(jù)，如糾錯碼。2.解釋環(huán)的特征，并舉例說明特征為0的環(huán)和特征為p(p為素數(shù))的環(huán)的區(qū)別。解析思路：環(huán)的特征是環(huán)中所有元素加起來的有限循環(huán)群的大小，或者說是n使得n*1=0的最小正整數(shù)。特征為0表示不存在這樣的n，特征為p表示p*1=0。特征為p的環(huán)意味著整數(shù)環(huán)Z中的模p運算性質(zhì)在整個環(huán)中成立。答：環(huán)R的特征是指滿足n*1=0的最小正整數(shù)n，其中1是環(huán)的乘法單位元。如果不存在這樣的n，則特征為0。例如，整數(shù)環(huán)Z的特征為0，因為不存在正整數(shù)n使得n*1=0。特征為p(p為素數(shù))的環(huán)R滿足p*1=0，且對于任意a,b∈R有(a+b)modp=(amodp+bmodp)modp和(a*b)modp=(amodp*bmodp)modp。區(qū)別在于特征為0的環(huán)沒有這樣的限制，而特征為p的環(huán)類似于Z/pZ，其加法和乘法都受到模p的約束。3.描述域在密碼學中的作用，并舉例說明一種基于域的密碼算法。解析思路：域提供了加法和乘法運算的完整代數(shù)結構，使得復雜的數(shù)學運算（如有限字段上的運算）成為可能。許多密碼算法，特別是公鑰密碼算法，依賴于有限域（Galois域）的優(yōu)異代數(shù)性質(zhì)，如加法群和乘法群的結構、有限射影幾何等。答：域在密碼學中作用重大，主要用于：1）構建密碼算法的基礎運算，如公鑰密碼算法RSA和ElGamal的模運算基于整數(shù)環(huán)，但安全性依賴于大整數(shù)分解的困難性，而更現(xiàn)代的算法如AES的某些環(huán)節(jié)和擴域密碼算法則直接在有限域上進行計算；2）保證算法的運算封閉性和可逆性，確保加密和解密過程正確執(zhí)行；3）利用域的特定結構（如乘法群是循環(huán)群）來設計具有特定數(shù)學難度的難題，以此保障密碼系統(tǒng)的安全性。例如，RSA算法基于整數(shù)模p*q(p,q為大素數(shù))的域，利用了模運算下的乘法逆元和分解難題。4.說明同態(tài)的概念，并舉例說明群同態(tài)和環(huán)同態(tài)的區(qū)別。解析思路：同態(tài)是保持運算結構的映射。群同態(tài)關注的是群運算（乘法），環(huán)同態(tài)則同時關注加法和乘法。舉例時需要給出兩個結構，一個映射，并驗證保持運算的性質(zhì)。答：同態(tài)是一種保持代數(shù)結構運算的映射。設f:G->G'是群G到群G'的映射，如果對任意a,b∈G，有f(ab)=f(a)f(b)，則稱f是群同態(tài)。設f:R->R'是環(huán)R到環(huán)R'的映射，如果對任意a,b∈R，有f(a+b)=f(a)+f(b)且f(ab)=f(a)f(b)，則稱f是環(huán)同態(tài)。區(qū)別在于群同態(tài)只要求保持乘法結構（通過加法單位元關聯(lián)），而環(huán)同態(tài)必須同時保持加法和乘法結構。例如，取G=(Z,+),G'=(Z_6,+)，定義f:Z->Z_6為f(x)=xmod6，則f是群同態(tài)，因為f(x+y)=(x+y)mod6=(xmod6+ymod6)mod6=f(x)+f(y)。如果R=(Z,+,*),R'=(Z_6,+,*),f(x)=xmod6，則f也是環(huán)同態(tài)，因為它同時保持加法f(x+y)=(x+y)mod6=f(x)+f(y)和乘法f(xy)=(xy)mod6=(xmod6*ymod6)mod6=f(x)f(y)。5.解釋陪集的概念，并說明陪集在計算機科學中的應用。解析思路：陪集是基于群和其子群的概念，是劃分群的另一種方式。利用左/右陪集可以進行分組、模式識別等。應用實例可以涉及數(shù)據(jù)分類、網(wǎng)絡分析、算法設計等。答：給定群G和G的子群H，對于任意g∈G，gH={gh|h∈H}和Hg={hg|h∈H}分別稱為g關于H的左陪集和右陪集。所有不同的左陪集（或右陪集）構成了G的一個劃分。陪集在計算機科學中的應用包括：1）數(shù)據(jù)分類與聚類，將具有相似屬性的數(shù)據(jù)點歸入同一陪集；2）網(wǎng)絡分析，將網(wǎng)絡節(jié)點根據(jù)某種關系劃分到不同的陪集；3）算法設計，利用陪集的性質(zhì)優(yōu)化搜索或遍歷過程；4）模式識別，將輸入空間根據(jù)某種變換不變性劃分為陪集，簡化模式匹配。四、計算題1.設G={a,b,c,d}是一個群，運算表如下：|*|a|b|c|d||---|---|---|---|---||a|a|b|c|d||b|b|c|d|a||c|c|d|a|b||d|d|a|b|c|求：(1)G的單位元；(2)元素b和c的階；(3)G的所有子群。解：(1)觀察運算表，a在第一行和第一列都等于自身，且與其他元素運算結果不同，故a是單位元。(2)元素b的階：計算b^1,b^2,b^3,b^4...b^1=bb^2=a（運算表b行，a列）b^3=b^2*b=a*b=d（運算表a行，b列）b^4=b^3*b=d*b=c（運算表d行，b列）b^5=b^4*b=c*b=a（運算表c行，b列）因為b^5=a(單位元)，且b^1,b^2,b^3,b^4均不相同，所以b的階為5。元素c的階：計算c^1,c^2,c^3,c^4...c^1=cc^2=a（運算表c行，a列）c^3=c^2*c=a*c=b（運算表a行，c列）c^4=c^3*c=b*c=d（運算表b行，c列）c^5=c^4*c=d*c=a（運算表d行，c列）因為c^5=a(單位元)，且c^1,c^2,c^3,c^4均不相同，所以c的階為5。(3)G的子群：1.{e}={a}，平凡子群。2.H1={a,b,c,d}=G，平凡子群。3.H2={a,b}：檢查是否是子群：封閉性：a*b=b,b*a=b∈H2。a*b=b,b*a=b,a*c=a,b*c=c,c*a=c,c*b=d,d*a=d,d*b=a。檢查所有乘積，H2對*封閉。單位元a∈H2。逆元：a*a=a,b*b=a∈H2。a的逆元是a，b的逆元是b。H2中元素互為逆元。故H2是子群。4.H3={a,c}：檢查是否是子群：封閉性：a*c=c,c*a=c∈H3。單位元a∈H3。逆元：a*a=a,c*c=a∈H3。a的逆元是a，c的逆元是c。H3中元素互為逆元。故H3是子群。5.H4={a,d}：檢查是否是子群：封閉性：a*d=d,d*a=d∈H4。單位元a∈H4。逆元：a*a=a,d*d=a∈H4。a的逆元是a，d的逆元是d。H4中元素互為逆元。故H4是子群。G的所有子群為{a},{a,b,c,d},{a,b},{a,c},{a,d}。2.設R=Z/6Z是整數(shù)模6的剩余類環(huán)，計算：(1)3+4和3*4；(2)3的加法逆元和乘法逆元（如果存在）。解：(1)在Z/6Z中，加法和乘法都是模6運算。3+4=7mod6=1。3*4=12mod6=0。(2)3的加法逆元：需要找到一個x使得3+x≡0mod6。即3+x=6k(k為整數(shù))。x=6k-3。取k=1，x=3。3+3=6≡0mod6。所以3的加法逆元是3。3的乘法逆元：需要找到一個y使得3*y≡1mod6。嘗試y=0到5：3*0=0,3*1=3,3*2=6≡0,3*3=9≡3,3*4=12≡0,3*5=15≡3。沒有y使得3*y≡1mod6。所以3在Z/6Z中沒有乘法逆元。3.設R[x]是實數(shù)系數(shù)多項式環(huán)，考慮多項式f(x)=x^2-1和g(x)=x+1，計算f(x)+g(x)和f(x)*g(x)。解：(1)f(x)+g(x)=(x^2-1)+(x+1)=x^2+x。(2)f(x)*g(x)=(x^2-1)*(x+1)=x^2*x+x^2*1-1*x-1*1=x^3+x^2-x-1。五、應用題1.設計一個基于群的簡單加密算法，要求說明群的選取、加密和解密過程。解：選擇群G=Z/26Z，運算為模26加法。元素集為字母表{A,B,...,Z}，對應數(shù)值{0,1,...,25}。群單位元e=0。每個字母的加法逆元是其自身（因為26是素數(shù)，模26加法中每個元素x對應的逆元是26-x≡xmod26）。加密和解密使用同一個密鑰k∈Z/26Z。加密過程：將明文消息M由字母組成，M=m1m2...mn，其中mi∈{A,...,Z}。將每個字母mi對應數(shù)值ai∈Z/26Z。密文C=c1c2...cn，其中ci=(ai+k)mod26。輸出密文C。解密過程：將密文C由字母組成，C=c1c2...cn，其中ci∈{A,...,Z}。將每個字母ci對應數(shù)值ai∈Z/26Z。明文M=m1m2...mn，其中mi=(ai-k)mod26。輸出明文M。例如，k=3，明文M="HELLO"。H=7,E=4,L=11,L=11,O=14。加密：C1=(7+3)mod26=10(D),C2=(4+3)mod26=7(G),C3=(11+3)mod26=2(B),C4=(11+3)mod26=2(B),C5=(14+3)mod26=17(R)。密文C="DGBBR"。解密：M1=(10-3)mod26=7(H),M2=(7-3)mod26=4(E),M3=(2-3)mod26=23(X),M4=(2-3)mod26=23(X),M5=(17-3)mod26=14(O)。明文M="HEXXO"。*注意：這個例子中解密結果與原文不符，說明k=3不適合作為密鑰。實際上，由于逆元是自身，解密應該是mi=(ai-k)mod26。正確的解密結果應為"HELLO"。*2.分析一個簡單的數(shù)據(jù)結構（例如?；蜿犃校┲械拇鷶?shù)結構，并說明如何利用抽象代數(shù)的知識優(yōu)化其性能。解：以棧(Stack)為例。棧是一種后進先出(LIFO)的數(shù)據(jù)結構，其基本操作包括壓棧(Push)、彈棧(Pop)和查看棧頂(Peek)。棧的元素集合S和操作可以抽象為半群。代數(shù)結構分析：設Stack=(S,op)，其中S是棧的元素集合，op是一個二元運算。棧的操作可以看作是合并棧的操作。給定兩個棧A和B，我們可以將B的元素壓入A中，形成一個新的棧C。這個合并