2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——變分法在數(shù)學(xué)與物理中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)字母填在括號(hào)內(nèi)）1.泛函∫[a,b]F(x,y(x),y'(x))dx的變分δJ滿(mǎn)足δJ=0的幾何意義是曲線y(x)[]。(A)是一條直線(B)是泛函J的一個(gè)臨界點(diǎn)(C)是泛函J的一個(gè)極小值點(diǎn)(D)是曲線族中使得泛函J值最小的一條2.微分ΔS=dS在無(wú)窮小范圍內(nèi)可寫(xiě)成ΔS≈δS，其中δS是指[]。(A)面積元的高階無(wú)窮小(B)面積元的線性主部(C)面積元的變分(D)面積元的平方3.對(duì)于泛函J[y]=∫[a,b](y'^2-y^2)dx，若y=x是其極值曲線，則滿(mǎn)足的歐拉-拉格朗日方程是[]。(A)y''-y=0(B)y''+y=0(C)y''-y'=0(D)y''+y'=04.在使用拉格朗日乘子法求解等式約束泛函∫F(x,y,z,y',z')dx的變分問(wèn)題時(shí)，引入乘子λ后，需要求解的方程組數(shù)量是[]。(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)5.最小作用量原理∫[t1,t2]L(q,q',t)dt→min描述的物理量是[]。(A)動(dòng)量(B)角動(dòng)量(C)動(dòng)能(D)作用量二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在橫線上）6.若泛函J[y]=∫[a,b](y'^3+2xy)dx在y=x時(shí)取極值，則必有δy(x)|_{x=a}=________，δy(x)|_{x=b}=________。7.歐拉-拉格朗日方程?F/?x-d/dx(?F/?y')=0適用于求解________型泛函的極值曲線。8.對(duì)于泛函J[y]=∫[a,b](y'^2+y^2)dx，其歐拉-拉格朗日方程的積分因子為_(kāi)_______。9.在哈密頓原理作用下，經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡是作用量S=∫Ldt取________的路徑。10.若F=F(x,y,y'),且不含x依賴(lài)項(xiàng)，即?F/?x=0，則其對(duì)應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程的積分形式為_(kāi)_______。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）11.求解泛函J[y]=∫[0,1](y'^2-2y)dx的極值曲線。12.求解泛函J[y]=∫[1,2](y'^2+xy)dx在邊界條件y(1)=1,y(2)=2下的極值曲線。13.求解泛函J[y]=∫[0,π/2](y'^2+y^2)dx在約束條件y(0)=0,y(π/2)=1下的極值曲線。四、證明題（每小題15分，共30分）14.證明：若F=F(y',y"),則泛函J[y]=∫Fdx的歐拉-拉格朗日方程為d/dx(?F/?y')-?F/?y=0。15.證明：對(duì)于泛函J[y]=∫[a,b](y'^2+λy^2)dx(λ為常數(shù))，其歐拉-拉格朗日方程為y''+λy=0。五、應(yīng)用題（每小題20分，共40分）16.用變分法證明在給定兩點(diǎn)之間，連接這兩點(diǎn)的所有曲線中，直線段具有最短的長(zhǎng)度。17.考慮一個(gè)在重力場(chǎng)中僅受重力作用（勢(shì)能V=mgh，h為高度）的無(wú)摩擦質(zhì)點(diǎn)沿z軸正方向運(yùn)動(dòng)，試用哈密頓原理（最小作用量原理）推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程（設(shè)作用量S=∫Ldt，L=T-V，T為動(dòng)能）。---試卷答案一、選擇題1.B2.C3.A4.C5.D二、填空題6.0；07.不顯含x8.y9.極小值10.∫(?F/?y')ydx=C三、計(jì)算題11.解：設(shè)y=y(x)，L=y'^2-2y歐拉-拉格朗日方程為：d/dx(?L/?y')-?L/?y=0即d/dx(2y')-(-2y)=0得y''+y=0通解為y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)極值曲線通過(guò)原點(diǎn)(0,0)，代入y(0)=0得C1=0極值曲線為y(x)=C2sin(x)由于邊界點(diǎn)未指定，或可寫(xiě)為y(x)=Asin(x)，A為常數(shù)。12.解：設(shè)y=y(x)，L=y'^2+xy歐拉-拉格朗日方程為：d/dx(?L/?y')-?L/?y=0即d/dx(2y')-x=0得y''-x=0通解為y(x)=C1x^2/2+C2x+C3代入邊界條件y(1)=1：C1/2+C2+C3=1代入邊界條件y(2)=2：2C1+2C2+C3=2解得C1=0,C2=3/2,C3=-1/2極值曲線為y(x)=3x/2-1/213.解：設(shè)y=y(x)，L=y'^2+y^2歐拉-拉格朗日方程為：d/dx(?L/?y')-?L/?y=0即d/dx(2y')-2y=0得y''-y=0通解為y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)代入約束條件y(0)=0：C1cos(0)+C2sin(0)=0=>C1=0代入約束條件y(π/2)=1：C2sin(π/2)=1=>C2=1極值曲線為y(x)=sin(x)四、證明題14.證明：設(shè)y=y(x)，F(xiàn)=F(y',y")泛函J[y]=∫Fdx歐拉-拉格朗日方程?F/?x-d/dx(?F/?y')=0因?yàn)镕不顯含x，所以?F/?x=0則方程化為-d/dx(?F/?y')=0積分得d/dx(?F/?y')=C(常數(shù))將C改寫(xiě)為-?F/?y，得d/dx(?F/?y')-?F/?y=0。15.證明：設(shè)y=y(x)，L=y'^2+λy^2歐拉-拉格朗日方程為：d/dx(?L/?y')-?L/?y=0?L/?y'=2y'd/dx(?L/?y')=2y''?L/?y=2λy方程化為：2y''-2λy=0即y''-λy=0。五、應(yīng)用題16.解：設(shè)連接點(diǎn)(0,0)和(1,1)的曲線為y=y(x)，0≤x≤1。曲線長(zhǎng)度泛函為J[y]=∫[0,1]√(1+y'^2)dx。令L=√(1+y'^2)。歐拉-拉格朗日方程為d/dx(?L/?y')-?L/?y=0。?L/?y'=(1+y'^2)^(-1/2)*y'd/dx(?L/?y')=[(1+y'^2)^(-1/2)*y']'=-y'(1+y'^2)^(-3/2)*2y''+(1+y'^2)^(-1/2)?L/?y=0方程化為：-y'(1+y'^2)^(-3/2)*2y''+(1+y'^2)^(-1/2)=0整理得y''=0通解為y=C1x+C2代入邊界條件y(0)=0：C1*0+C2=0=>C2=0代入邊界條件y(1)=1：C1*1+0=1=>C1=1極值曲線為y=x。要證明y=x具有最短長(zhǎng)度，可計(jì)算泛函在y=x時(shí)的值J[y=x]=∫[0,1]√(1+1^2)dx=∫[0,1]√2dx=√2。對(duì)任意其他連接(0,0)和(1,1)的曲線y=y(x)，其長(zhǎng)度L=∫[0,1]√(1+y'^2)dx。由柯西不等式(ab≤a^2+b^2)/2，有√(1+y'^2)≥1。因此L≥∫[0,1]1dx=1。所以L≥√2。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)y'=1，即y=x。故直線段y=x具有最短長(zhǎng)度。17.解：質(zhì)點(diǎn)僅在重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)量為m，速度為v，高度為z，取z軸正方向向上。勢(shì)能V=mgh=mgz。動(dòng)能T=1/2*mv^2=1/2*m*(dz/dt)^2。拉格朗日量L=T-V=1/2*m*(dz/dt)^2-mgz。作用量S=∫[t1,t2]Ldt=∫[t1,t2][1/2*m*(dz/dt)^2-mgz]dt。應(yīng)用哈密頓原理?S/?z|_(t1,t2)=0，計(jì)算變分：δS=∫[t1,t2][?L/?z*δz+(?L/?(dz/dt))*δ(dz/dt)]dt?L/?z=-mg，?L/?(dz/dt)=m*(dz/dt)δS=∫[t1,t2][-mg*δz+m*(dz/dt)*δ(dz/dt)]dt=∫[t1,t2][-mg*δz+m*(dz/dt)*d(δz)]dt=∫[t1,t2][-mg*δz+m*(dz/dt)*δz/dt]dt=[-mg*∫[t1,t2]δzdt+m*∫[t1,t2](dz/dt)δz/dt]dt=[-mg*∫[t1,t2]δzdt+m*∫[t1,t2]d(δz)]dt=[-mg*Z[t1,t2]*δz|_(t=t2)-(t=t1)+m*(δz|_(t=t2)*(dz/dt)|_(t=t2)-δz|_(t=t1)*(dz/dt)|_(t=t1))]dt由于δz|_(t=t1)=δz|_(t=t2)=0(固定端點(diǎn))δS=-mg*[0-0]+m*[(δz|_(t=t2)*(dz/dt)|_(t=t2)-0)]=m*(dz/dt)|_(t=t2)*δz|_(t=t2)要使δS=0對(duì)任意變分δz|_(t=t2)成立，必有(dz/dt)|_(t=t2)=0。同理，在t=t1端點(diǎn)，有