2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)最優(yōu)控制理論的基本原理考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列哪個量不屬于最優(yōu)控制問題的基本要素？A.控制變量B.狀態(tài)變量C.目標(biāo)函數(shù)D.狀態(tài)方程2.極值原理是由哪位科學(xué)家提出的？A.貝爾曼B.龐特里亞金C.勒讓德D.馮·諾依曼3.最優(yōu)控制問題的目標(biāo)函數(shù)通常要求達(dá)到什么？A.最大值B.最小值C.平均值D.方差4.在最優(yōu)控制問題中，約束條件通常包括哪兩種類型？A.狀態(tài)約束和目標(biāo)約束B.狀態(tài)約束和控制約束C.目標(biāo)約束和初始約束D.控制約束和終端約束5.變分法主要用于求解哪種類型的最優(yōu)控制問題？A.離散時間最優(yōu)控制問題B.連續(xù)時間最優(yōu)控制問題C.隨機(jī)最優(yōu)控制問題D.非線性最優(yōu)控制問題6.最優(yōu)估計算法通常用于解決哪種類型的問題？A.最優(yōu)控制問題B.最優(yōu)設(shè)計問題C.最優(yōu)決策問題D.最優(yōu)估計問題7.動態(tài)規(guī)劃原理是由誰提出的？A.貝爾曼B.龐特里亞金C.勒讓德D.馮·諾依曼8.最優(yōu)控制理論在哪個領(lǐng)域應(yīng)用廣泛？A.經(jīng)濟(jì)學(xué)B.社會學(xué)C.生物學(xué)D.物理學(xué)9.最優(yōu)控制理論的基本定理不包括以下哪一項？A.極值原理B.動態(tài)規(guī)劃原理C.海森矩陣原理D.最優(yōu)性原理10.在最優(yōu)控制問題中，狀態(tài)變量通常代表什么？A.控制系統(tǒng)的輸入B.控制系統(tǒng)的輸出C.控制系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)D.控制系統(tǒng)的外部環(huán)境二、填空題1.最優(yōu)控制問題的目標(biāo)函數(shù)通常稱為________函數(shù)。2.極值原理的核心思想是________。3.動態(tài)規(guī)劃原理的核心思想是________。4.最優(yōu)控制問題中，控制變量通常用________表示。5.最優(yōu)控制問題中，狀態(tài)變量通常用________表示。6.最優(yōu)控制問題中，目標(biāo)函數(shù)的極值點稱為________。7.最優(yōu)控制問題中，約束條件通常用________表示。8.變分法的基本思想是________。9.最優(yōu)估計算法的目的是尋找最優(yōu)的________。10.最優(yōu)控制理論在航天領(lǐng)域的一個典型應(yīng)用是________。三、計算題1.考慮如下的最優(yōu)控制問題：\[\begin{cases}\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)\\x(0)=1\\J=\int_0^1[x(t)^2+u(t)^2]\,dt\end{cases}\]其中，控制變量\(u(t)\)無約束。試用變分法求解該問題的最優(yōu)控制\(u(t)\)和最優(yōu)軌線\(x(t)\)。2.考慮如下的最優(yōu)控制問題：\[\begin{cases}\dot{x}(t)=x(t)+u(t)\\x(0)=0\\J=x(1)\end{cases}\]其中，控制變量\(u(t)\)滿足約束\(|u(t)|\leq1\)。試用動態(tài)規(guī)劃方法求解該問題的最優(yōu)控制\(u(t)\)和最優(yōu)軌線\(x(t)\)。3.考慮如下的最優(yōu)控制問題：\[\begin{cases}\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)\\x(0)=0\\x(1)=1\\J=\int_0^1u(t)^2\,dt\end{cases}\]其中，控制變量\(u(t)\)無約束。試用極值原理求解該問題的最優(yōu)控制\(u(t)\)和最優(yōu)軌線\(x(t)\)。四、證明題證明：在最優(yōu)控制問題中，如果目標(biāo)函數(shù)\(J\)和約束條件都是二次函數(shù)，那么最優(yōu)控制\(u(t)\)是一個常數(shù)。五、簡答題1.簡述最優(yōu)控制問題的基本要素。2.簡述最優(yōu)控制理論的應(yīng)用領(lǐng)域。試卷答案一、選擇題1.D2.B3.B4.B5.B6.D7.A8.A9.C10.C二、填空題1.成本2.控制變量在最優(yōu)軌線上的變分滿足一個微分方程3.將最優(yōu)控制問題分解為一系列子問題，逐個求解4.u(t)5.x(t)6.最優(yōu)解7.等式或不等式8.通過求目標(biāo)函數(shù)的變分來尋找最優(yōu)控制9.估計值10.軌道優(yōu)化三、計算題1.解：*拉格朗日函數(shù)：\(L=x^2+u^2+\lambda(-x+u)\)*歐拉-拉格朗日方程：\(\dot{\lambda}-\frac{\partialL}{\partialx}=0\)和\(\frac{\partialL}{\partialu}=0\)*由\(\frac{\partialL}{\partialu}=2u+\lambda=0\)得\(\lambda=-2u\)*代入歐拉-拉格朗日方程\(\dot{\lambda}+x=0\)得\(\ddot{u}-2u=0\)*解微分方程得\(u(t)=C_1e^{\sqrt{2}t}+C_2e^{-\sqrt{2}t}\)*由邊界條件\(u(t)\)無約束，無法確定常數(shù)，通常取\(u(t)=0\)（使得成本最小）*代入狀態(tài)方程\(\dot{x}(t)=-x(t)\)，解得\(x(t)=e^{-t}\)*最優(yōu)控制：\(u(t)=0\)，最優(yōu)軌線：\(x(t)=e^{-t}\)2.解：*設(shè)\(V(x,k)=\max_{u\in[-1,1]}\{x+u\midx(0)=0,x(k)=x\}\)*遞歸關(guān)系：\(V(x,k)=\max_{u\in[-1,1]}\{x+u+V(x+u,k-1)\}\)*當(dāng)\(x\geq1\)時，最優(yōu)控制\(u^*=1\)，\(V(x,k)=x+1+V(x+1,k-1)\)*當(dāng)\(x\leq-1\)時，最優(yōu)控制\(u^*=-1\)，\(V(x,k)=x-1+V(x-1,k-1)\)*當(dāng)\(-1<x<1\)時，最優(yōu)控制\(u^*=\text{sign}(x)\)，\(V(x,k)=x+V(x+u^*,k-1)\)*通過遞歸計算，可以得到\(V(x,1)=x+1\)，最優(yōu)控制\(u^*(t)=1\)，最優(yōu)軌線\(x(t)=t\)3.解：*拉格朗日函數(shù)：\(L=u^2+\lambda(-x+u)\)*歐拉-拉格朗日方程：\(\dot{\lambda}+x-\lambda=0\)和\(\frac{\partialL}{\partialu}=2u+\lambda=0\)*由\(\frac{\partialL}{\partialu}=0\)得\(\lambda=-2u\)*代入歐拉-拉格朗日方程\(\dot{\lambda}+x+2u=0\)得\(\ddot{u}-2u=-x\)*代入狀態(tài)方程\(\dot{x}=-x+u\)得\(\ddot{x}-x=0\)*解微分方程得\(x(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}\)*由邊界條件\(x(0)=0\)和\(x(1)=1\)得\(C_1=1/2\)，\(C_2=-1/2\)*所以\(x(t)=\frac{1}{2}(e^t-e^{-t})=\sinh(t)\)*代入狀態(tài)方程\(\dot{x}=-x+u\)得\(u(t)=\dot{x}(t)+x(t)=\cosh(t)+\sinh(t)=e^t\)*最優(yōu)控制：\(u(t)=e^t\)，最優(yōu)軌線：\(x(t)=\sinh(t)\)四、證明題證明：*設(shè)目標(biāo)函數(shù)\(J=\frac{1}{2}\int_0^T[x(t)^2+u(t)^2]\,dt\)，約束條件\(\dot{x}(t)=f(x(t),u(t))\)，\(x(0)=x_0\)，\(x(T)=x_T\)*構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：\(L=\frac{1}{2}[x(t)^2+u(t)^2]+\lambda(t)[f(x(t),u(t))]\)*歐拉-拉格朗日方程：\(\dot{\lambda}(t)-\frac{\partialL}{\partialx(t)}=0\)*\(\dot{\lambda}(t)-x(t)=0\)，解得\(\lambda(t)=\int_0^tx(s)\,ds+C\)