2025年大學《數(shù)理基礎(chǔ)科學》專業(yè)題庫——切線空間在光學成像中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共30分。請將正確選項的代表字母填在答題紙上。）1.設(shè)M是光滑流形，p∈M，T_pM表示p處的切空間。下列哪個說法是錯誤的？A.T_pM是定義在p點鄰域內(nèi)的所有可能的切向量的集合。B.T_pM中的元素可以看作是M在p點的切向量場在該點的值。C.T_pM是一個向量空間，其維數(shù)等于M在p點的切平面所在的歐幾里得空間的維數(shù)。D.T_pM中的元素可以與M在p點的切平面上的任何向量進行線性組合。2.設(shè)f:M→N是光滑映射，p∈M。下列哪個說法是錯誤的？A.df_p:T_pM→T_{f(p)}N是一個線性映射。B.df_p將p處的切向量映射到f(p)處的切向量。C.df_p的維數(shù)等于M在p處的切空間T_pM的維數(shù)。D.df_p可以用來描述f在p處的局部行為。3.設(shè)M是光滑流形，p∈M。下列哪個說法是正確的？A.T_pM中的元素是常向量。B.T_pM中的元素是M上定義的向量場。C.T_pM中的元素是M在p點鄰域內(nèi)的所有可能的切向量的集合。D.T_pM中的元素是M在p點鄰域內(nèi)的所有可能的切向量場的集合。4.設(shè)M是n維光滑流形，p∈M。下列哪個說法是正確的？A.T_pM是一個n維向量空間。B.T_pM的維數(shù)小于n。C.T_pM的維數(shù)大于n。D.T_pM的維數(shù)不確定。5.設(shè)M是光滑流形，p∈M。下列哪個說法是正確的？A.T_pM中的元素可以與M在p點鄰域內(nèi)的任何向量進行線性組合。B.T_pM中的元素只能與M在p點鄰域內(nèi)的切向量進行線性組合。C.T_pM中的元素不能與M在p點鄰域內(nèi)的任何向量進行線性組合。D.T_pM中的元素與M在p點鄰域內(nèi)的任何向量之間沒有關(guān)系。6.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么稱x為X在p處的切向量。下列哪個說法是錯誤的？A.x是T_pM中的一個元素。B.x可以用來描述M在p點鄰域內(nèi)的局部變化。C.x是M在p點鄰域內(nèi)的一個固定向量。D.x可以與M在p點鄰域內(nèi)的任何向量進行線性組合。7.設(shè)M是n維光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么X在p處的值x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。下列哪個說法是錯誤的？A.x^i是一個實數(shù)。B.x^i可以用來描述M在p點鄰域內(nèi)的局部變化。C.x^i是M在p點鄰域內(nèi)的一個固定向量。D.x^i可以與M在p點鄰域內(nèi)的任何向量進行線性組合。8.設(shè)M是n維光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么X在p處的值x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。下列哪個說法是正確的？A.x^1,x^2,...,x^n是線性無關(guān)的。B.x^1,x^2,...,x^n是線性相關(guān)的。C.x^1,x^2,...,x^n的線性組合可以表示T_pM中的任何向量。D.x^1,x^2,...,x^n的線性組合只能表示M在p點鄰域內(nèi)的一個固定向量。9.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么X在p處的值x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。下列哪個說法是正確的？A.x^1,x^2,...,x^n的線性組合可以表示T_pM中的任何向量。B.x^1,x^2,...,x^n的線性組合只能表示M在p點鄰域內(nèi)的一個固定向量。C.x^1,x^2,...,x^n是線性無關(guān)的。D.x^1,x^2,...,x^n是線性相關(guān)的。10.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么X在p處的值x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。下列哪個說法是正確的？A.x^1,x^2,...,x^n的線性組合可以表示T_pM中的任何向量。B.x^1,x^2,...,x^n的線性組合只能表示M在p點鄰域內(nèi)的一個固定向量。C.x^1,x^2,...,x^n是線性無關(guān)的。D.x^1,x^2,...,x^n是線性相關(guān)的。二、填空題（每小題4分，共40分。請將答案填在答題紙上。）1.設(shè)M是光滑流形，p∈M，T_pM表示p處的切空間。如果M的維數(shù)為n，那么T_pM的維數(shù)為________。2.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。如果x^1=1，x^2=2，...,x^n=n，那么x=________。3.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。如果x^1=1，x^2=2，...,x^n=n，那么X在p處的值可以表示為________。4.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么X在p處的值x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。如果x^1=1，x^2=2，...,x^n=n，那么X在p處的值可以表示為________。5.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么X在p處的值x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。如果x^1=1，x^2=2，...,x^n=n，那么X在p處的值可以表示為________。6.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么X在p處的值x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。如果x^1=1，x^2=2，...,x^n=n，那么X在p處的值可以表示為________。7.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么X在p處的值x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。如果x^1=1，x^2=2，...,x^n=n，那么X在p處的值可以表示為________。8.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么X在p處的值x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。如果x^1=1，x^2=2，...,x^n=n，那么X在p處的值可以表示為________。9.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么X在p處的值x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。如果x^1=1，x^2=2，...,x^n=n，那么X在p處的值可以表示為________。10.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。如果x是M上定義的向量場X在p處的值，即x=X_p，那么X在p處的值x可以用局部坐標表示為x=(x^1,x^2,...,x^n)，其中x^i是X在p處的第i個分量。如果x^1=1，x^2=2，...,x^n=n，那么X在p處的值可以表示為________。三、計算題（每小題10分，共30分。請將答案寫在答題紙上。）1.設(shè)M是二維光滑流形，用局部坐標(u,v)表示。M上定義了一個向量場X=(u^2,v^2)。求X在點(1,1)處的值，并用局部坐標表示。2.設(shè)M是三維光滑流形，用局部坐標(x,y,z)表示。M上定義了一個向量場Y=(y*z,x*z,x*y)。求Y在點(1,2,3)處的值，并用局部坐標表示。3.設(shè)M是二維光滑流形，用局部坐標(u,v)表示。M上定義了一個向量場Z=(-v,u)。求Z在點(0,1)處的值，并用局部坐標表示。四、證明題（每小題15分，共30分。請將證明過程寫在答題紙上。）1.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x,y∈T_pM。證明：T_pM在加法和數(shù)乘運算下是一個向量空間。2.設(shè)M是光滑流形，p∈M，x∈T_pM。證明：存在M上定義的向量場X，使得X在p處的值為x。試卷答案一、選擇題1.D2.C3.C4.A5.B6.C7.D8.C9.A10.A二、填空題1.n2.(1,2,...,n)3.∑(i=1ton)x^i*d/dx^i4.∑(i=1ton)x^i*d/dx^i5.∑(i=1ton)x^i*d/dx^i6.∑(i=1ton)x^i*d/dx^i7.∑(i=1ton)x^i*d/dx^i8.∑(i=1ton)x^i*d/dx^i9.∑(i=1ton)x^i*d/dx^i10.∑(i=1ton)x^i*d/dx^i三、計算題1.X(1,1)=(1^2,1^2)=(1,1)2.Y(1,2,3)=(2*3,1*3,1*2)=(6,3,2)3.Z(0,1)=(-1,0)四、證明題1.證明：加法和數(shù)乘運算下是向量空間*加法：任取x,y∈T_pM，則x+y仍是T_pM中的向量，因為向量加法在標準線性代數(shù)中封閉。*數(shù)乘：任取x∈T_pM，k∈?，則kx仍是T_pM中的向量，因為標量與向量乘法在標準線性代數(shù)中封閉。*結(jié)合律：x+(y+z)=(x+y)+z，分配律：k(x+y)=kx+ky，k(x+y)=(k+l