2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——策略性游戲中的概率思維考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知一款策略游戲中的某個(gè)資源點(diǎn)會(huì)隨機(jī)被不同勢(shì)力占領(lǐng)。根據(jù)歷史記錄，勢(shì)力A、B、C占領(lǐng)該資源點(diǎn)的概率分別為0.5、0.3、0.2。假設(shè)每次占領(lǐng)結(jié)果是獨(dú)立的?，F(xiàn)進(jìn)行兩次占領(lǐng)嘗試，求以下事件的概率：1.兩次占領(lǐng)結(jié)果均為勢(shì)力A。2.兩次占領(lǐng)結(jié)果中，勢(shì)力A和勢(shì)力B各占領(lǐng)一次。3.至少有一次占領(lǐng)結(jié)果是勢(shì)力C未占領(lǐng)。二、在一款輪盤(pán)賭游戲中，輪盤(pán)有36個(gè)紅色槽和18個(gè)黑色槽，且每個(gè)槽被選中的概率相等。玩家可以選擇下注“紅黑猜大小”或“特定顏色”。如果玩家選擇下注“特定顏色”（假設(shè)顏色為紅色），且輪盤(pán)最終停止于該特定顏色，玩家將獲得10倍于其下注額的回報(bào)；否則輸?shù)粝伦㈩~。如果玩家選擇下注“紅黑猜大小”，且輪盤(pán)最終結(jié)果為紅色，玩家將獲得2倍于其下注額的回報(bào)；若為黑色，則輸?shù)粝伦㈩~。設(shè)玩家每次下注金額為1單位。1.計(jì)算玩家選擇下注“特定顏色”一次的期望回報(bào)。2.計(jì)算玩家選擇下注“紅黑猜大小”一次的期望回報(bào)。3.從期望回報(bào)的角度，比較這兩種下注方式對(duì)玩家的優(yōu)劣。三、一名玩家在游戲中需要通過(guò)抽取卡牌來(lái)獲取強(qiáng)力技能?？ㄅ贫压灿?00張卡牌，其中包含20張強(qiáng)力技能卡，其余為普通卡牌。每次抽取卡牌后，卡牌不放回。玩家決定進(jìn)行兩次抽取。1.求玩家第一次抽取就抽到強(qiáng)力技能卡的概率。2.求玩家第一次抽到普通卡牌，第二次抽到強(qiáng)力技能卡的概率。3.求玩家兩次抽取中至少抽到一張強(qiáng)力技能卡的概率。4.設(shè)玩家需要連續(xù)抽到兩張強(qiáng)力技能卡才能獲得所需技能。求玩家獲得所需技能的期望抽取次數(shù)。四、在一款塔防游戲中，敵人的到達(dá)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。假設(shè)敵人按泊松過(guò)程到達(dá)，平均每30秒到達(dá)一個(gè)敵人。設(shè)玩家有一個(gè)技能，可以一次性清除前方路徑上的所有敵人，但冷卻時(shí)間為2分鐘（120秒）。如果玩家在敵人到達(dá)時(shí)立即使用該技能，求在技能冷卻期間內(nèi)沒(méi)有敵人到達(dá)的概率。五、某策略游戲中有一種資源采集活動(dòng)，采集結(jié)果受到“成功率”影響。玩家的當(dāng)前成功率為p（0<p<1）。每次采集嘗試都是獨(dú)立的。玩家決定進(jìn)行最多k次采集，直到成功為止。如果第k次采集仍未成功，則放棄采集，損失所有投入的資源。1.設(shè)k=3，求玩家成功采集資源的概率。2.設(shè)k=5，求玩家采集次數(shù)的期望值。3.玩家希望以至少90%的概率成功采集到資源。如果p=0.6，問(wèn)他至少需要進(jìn)行多少次采集（即k的最小值）才能達(dá)到這個(gè)目標(biāo)？試卷答案一、1.概率=0.5*0.5=0.25。解析思路：由于每次占領(lǐng)結(jié)果是獨(dú)立的，兩次均為勢(shì)力A占領(lǐng)的概率等于每次A占領(lǐng)概率的乘積。2.概率=0.5*0.3+0.3*0.5=0.15+0.15=0.3。解析思路：兩次占領(lǐng)結(jié)果中，勢(shì)力A和勢(shì)力B各占領(lǐng)一次，可以有兩種順序：A在第一次B在第二次，或B在第一次A在第二次。根據(jù)獨(dú)立性，計(jì)算每種順序的概率后相加。3.概率=1-(勢(shì)力A占領(lǐng)的概率*勢(shì)力A再次占領(lǐng)的概率)-(勢(shì)力B占領(lǐng)的概率*勢(shì)力B再次占領(lǐng)的概率)-(勢(shì)力C占領(lǐng)的概率*勢(shì)力C再次占領(lǐng)的概率)=1-(0.5*0.5)-(0.3*0.3)-(0.2*0.2)=1-0.25-0.09-0.04=0.62。解析思路：至少有一次占領(lǐng)結(jié)果是勢(shì)力C未占領(lǐng)，等于“兩次均未占領(lǐng)勢(shì)力C”的事件的對(duì)立事件。計(jì)算兩次均未占領(lǐng)勢(shì)力C的概率，然后用1減去該概率。二、1.期望回報(bào)=(10倍回報(bào)*特定顏色概率)+(0倍回報(bào)*非特定顏色概率)=10*(36/54)+0*(18/54)=10*(2/3)=20/3。解析思路：期望回報(bào)是所有可能回報(bào)與其對(duì)應(yīng)概率的乘積之和。下注特定顏色，回報(bào)為10倍下注額的概率為1/54，回報(bào)為0倍下注額（即輸?shù)粝伦㈩~）的概率為53/54。計(jì)算加權(quán)平均。2.期望回報(bào)=(2倍回報(bào)*紅色概率)+(0倍回報(bào)*黑色概率)=2*(36/54)+0*(18/54)=2*(2/3)=4/3。解析思路：期望回報(bào)是所有可能回報(bào)與其對(duì)應(yīng)概率的乘積之和。下注紅黑猜大小，回報(bào)為2倍下注額的概率為36/54，回報(bào)為0倍下注額（即輸?shù)粝伦㈩~）的概率為18/54。計(jì)算加權(quán)平均。3.比較期望回報(bào)：10/3>4/3。從期望回報(bào)角度看，下注“特定顏色”更優(yōu)。解析思路：比較兩種下注方式的期望回報(bào)值。數(shù)值越大，表示長(zhǎng)期平均收益越高。選擇期望值較大的策略。三、1.概率=20/100=0.2。解析思路：第一次抽取時(shí)，卡牌堆中有100張卡牌，其中20張是強(qiáng)力技能卡。因此抽到強(qiáng)力技能卡的概率是強(qiáng)力技能卡數(shù)量與總卡牌數(shù)量的比值。2.概率=(80/100)*(20/99)=0.8*(20/99)=16/99。解析思路：第一次抽到普通卡牌的概率是80/100。在此前提下，第二次抽取時(shí)，卡牌堆剩下99張，其中強(qiáng)力技能卡仍有20張。根據(jù)條件概率和獨(dú)立性（第二次抽取基于第一次的結(jié)果），計(jì)算第二次抽到強(qiáng)力技能卡的概率。3.概率=1-(第一次未抽到*第二次未抽到)=1-[(80/100)*(79/99)]=1-(80*79)/(100*99)=1-6320/9900=3580/9900=179/495。解析思路：至少抽到一張強(qiáng)力技能卡，等于“兩次均未抽到強(qiáng)力技能卡”的對(duì)立事件。計(jì)算兩次均未抽到強(qiáng)力技能卡的概率（第一次P=80/100，第二次P=79/99），然后用1減去該概率。4.期望抽取次數(shù)=1*P(第一次成功)+2*P(第二次成功|第一次失敗)+3*P(第三次成功|前兩次失敗)+...=1*(20/100)+2*[(80/100)*(20/99)]+3*[(80/100)*(79/99)*(20/98)]+...=Σ[k*(80^(k-1)/(100*99*...*(100-k+1)))*(20/100)]fork=1toinfinity=(20/100)*Σ[k*(80^(k-1)/(99!*(100-k)!))*(1/100^(k-1))]fork=1toinfinity=(20/100)*Σ[(k/100)*(80/100)^(k-1)/((100-1)/99)!]fork=1toinfinity=(20/100)*[1/(1-80/100/100)]=(20/100)*[1/(1-0.008)]=(20/100)/(0.992)=20/99.解析思路：這是一個(gè)幾何分布的變形，每次嘗試成功的概率p=20/100。第一次嘗試成功的期望次數(shù)是1*p。第一次失?。ǜ怕?0/100）后，第二次嘗試成功的期望次數(shù)是2*(80/100)*p。依此類推。利用幾何分布期望公式E[X]=1/p，其中p是首次成功的概率。這里p=20/100，所以期望次數(shù)=100/20=5。但是這里需要考慮卡牌不放回，每次成功后卡牌總數(shù)減少。更準(zhǔn)確的計(jì)算是求出每次抽取都未成功的概率，然后用1減去該概率，得到至少一次成功的概率。設(shè)n=100,K=20,則P(至少一次成功)=1-P(全失敗)=1-P(未抽到任何強(qiáng)力卡)=1-C(80,100)/C(100,100)。更簡(jiǎn)便地，利用期望公式：E[抽取次數(shù)]=1/p(首次成功)=100/20=5。但考慮到不放回，嚴(yán)格計(jì)算應(yīng)為100/20=5。此處采用標(biāo)準(zhǔn)幾何分布期望公式，認(rèn)為每次抽取視為獨(dú)立試驗(yàn)（雖然是不放回，但強(qiáng)力卡比例不變，可視為伯努利試驗(yàn)的序列）。因此期望次數(shù)為100/20=5。*修正：更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治鰬?yīng)考慮卡牌數(shù)量變化，期望次數(shù)為Σk*P(k次嘗試才成功)=Σk*[(100-K)/100*(99-K+1)/99*...*(100-(k-1))/(101-k)*(K/(101-k))]=Σk*[K/100*(80/100)^(k-1)/((100-1)/99)!]=K/p=20/(20/100)=100。但根據(jù)幾何分布原理，期望次數(shù)應(yīng)為卡牌總數(shù)除以單次抽中強(qiáng)力卡概率，即100/(20/100)=5。此處采用5。*四、概率=e^(-平均到達(dá)率*冷卻時(shí)間)=e^(-(1/30)*120)=e^(-4).解析思路：根據(jù)泊松過(guò)程的性質(zhì)，在時(shí)間長(zhǎng)度T內(nèi)事件發(fā)生0次的概率為P(0)=e^(-λT)，其中λ是單位時(shí)間內(nèi)的平均到達(dá)率。本題中，平均每30秒到達(dá)一個(gè)敵人，即λ=1/30次/秒。冷卻時(shí)間為120秒。因此，在120秒內(nèi)沒(méi)有敵人到達(dá)的概率為P(0)=e^(-(1/30)*120)=e^(-4)。五、1.概率=p*(1-p)*p+(1-p)*p*p+(1-p)*(1-p)*p=3*p*(1-p)*p=3*p^2*(1-p).解析思路：k=3，即進(jìn)行3次采集。成功發(fā)生在第2次或第3次。第2次成功：第一次失敗(1-p)，第二次成功(p)，第三次失敗(1-p)。第3次成功：前兩次失敗(1-p)*(1-p)，第三次成功(p)。所有這些互斥事件的概率相加?；蛘?，也可以用C(3,1)*p^2*(1-p)^2。2.期望值E[X]=1*P(第1次成功)+2*P(第2次成功)+3*P(第3次成功)=1*[1-P(前兩次均失敗)]+2*[P(第一次失敗)*p*(1-p)]+3*[P(前兩次失敗)*p^2]=1*[1-(1-p)^2]+2*(1-p)*p*(1-p)+3*(1-p)^2*p=1*[1-1+2p-p^2]+2*p*(1-p)^2+3*p*(1-p)^2=2p-p^2+5p*(1-p)^2=2p-p^2+5p*(1-2p+p^2)=2p-p^2+5p-10p^2+5p^3=7p-11p^2+5p^3.解析思路：期望采集次數(shù)是每種可能次數(shù)乘以其發(fā)生的概率的總和。對(duì)于n次抽取，成功發(fā)生在第k次，則前k-1次必須失敗，第k次必須成功。概率為(1-p)^(k-1)*p。因此期望值為Σ[k*(1-p)^(k-1)*p]fork=1ton。這是一個(gè)典型的期望值計(jì)算，可以通過(guò)求和公式或逐項(xiàng)計(jì)算得到。3.設(shè)至少成功概率為0.9，即P(至少一次成功)≥0.9。P(至少一次成功)=1-P(全失敗)=1-(1-p)^k.1-(1-p)^k≥0.9(1-p)^k≤0.1k*ln(1-p)≤ln(0.1)k≥ln(0.1)/ln(1-p)當(dāng)p=0.6