第三章圓8圓內(nèi)接正多邊形

1.

概念：頂點都在同一圓上的正多邊形叫作

圓內(nèi)接正

多邊形

，這個圓叫作該正多邊形的

外接圓

；正多邊

形的外接圓圓心叫作這個正多邊形的

中心

，中心到頂

點的線段長叫作這個正多邊形的

半徑

；其中一邊所對

的圓心角叫作這個正多邊形的

中心角

；正多邊形的中

心到邊的距離叫作這個正多邊形的

邊心距

.圓內(nèi)接正

多邊形外接圓中心半徑中心角邊心距2.

把一個圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點，所得

的多邊形是這個圓的

內(nèi)接正多邊形

.內(nèi)接正多邊形

圓內(nèi)接正多邊形的相關計算【例1】如圖，☉O的周長等于8π

cm，正六邊形ABCDEF

內(nèi)接于☉O.

（1）求圓心O到AF的距離；

（2）求正六邊形ABCDEF的面積.

綜合運用【例2】如圖，A，P，B，C是☉O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°.（1）求證：△ABC是等邊三角形；

（2）若☉O的半徑為2，求等邊三角形ABC的邊心距.解：過點O作OD⊥BC于點D，連接OB，則∠OBD＝30°，∠ODB＝90°.∵OB＝2，∴OD＝1，即等邊三角形ABC的邊心距為1.

本例先證明圓內(nèi)接三角形是等邊三角形，再利用圓

內(nèi)接多邊形的性質(zhì)求出邊心距，類似問題看上去比較簡

單，但能將圓內(nèi)接正多邊形的概念及性質(zhì)充分運用，若

再加深難度的話，可設計與面積有關的問題.

1.

半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心

距分別為a，b，c，則a，b，c的大小關系是（A）A.

a＜b＜cB.

b＜a＜cC.

a＜c＜bD.

c＜b＜aA

A.30°B.36°C.45°D.60°第2題圖D3.

如圖，A，B，C，D為一個正多邊形的頂點，點O為

正多邊形的中心.若∠ADB＝18°，則這個正多邊形的邊

數(shù)為

10

.第3題圖104.

一個正六邊形外接圓的半徑等于2

cm，則這個正六邊

形的周長等于

12cm

.12cm

6.

如圖，等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于☉O，

則AD∶AB＝（B）第6題圖B

8.

如圖（1），正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O，閱讀以下作

圖過程，并回答下列問題：第8題圖作法如圖（2）.①作直徑AF.

②以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與☉O交于點M，N.

③連接AM，MN，NA.

（1）求∠ABC的度數(shù).

（2）△AMN是正三角形嗎？請說明理由.解：（2）△AMN是正三角形.理由：連接ON，NF.

由題意可得FN＝ON＝OF，∴△FON是等邊三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°.同理可得∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形.（3）從點A開始，以DN長為邊長，在☉O上依次截取

點，再依次連接這些分點，得到正n邊形，求n的值.

9.

如圖，☉O半徑為4

cm，其內(nèi)接正六邊形ABCDEF，點P，Q同時分別從A，D兩點出發(fā)，以1

cm/s的速度沿AF，DC向終點F，C運動，連接PB，QE，PE，BQ.

設運動時間為t（s）.第9題圖（1）求證：四邊形PEQB為平行四邊形.證明：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F.

（2）填空：①當t＝

2

s時，四邊形PBQE為菱形；②當t＝

0或4

s時，四邊形P