第三章圓8圓內(nèi)接正多邊形

1.

概念：頂點(diǎn)都在同一圓上的正多邊形叫作

圓內(nèi)接正

多邊形

，這個(gè)圓叫作該正多邊形的

外接圓

；正多邊

形的外接圓圓心叫作這個(gè)正多邊形的

中心

，中心到頂

點(diǎn)的線段長(zhǎng)叫作這個(gè)正多邊形的

半徑

；其中一邊所對(duì)

的圓心角叫作這個(gè)正多邊形的

中心角

；正多邊形的中

心到邊的距離叫作這個(gè)正多邊形的

邊心距

.圓內(nèi)接正

多邊形外接圓中心半徑中心角邊心距2.

把一個(gè)圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點(diǎn)，所得

的多邊形是這個(gè)圓的

內(nèi)接正多邊形

.內(nèi)接正多邊形

圓內(nèi)接正多邊形的相關(guān)計(jì)算【例1】如圖，☉O的周長(zhǎng)等于8π

cm，正六邊形ABCDEF

內(nèi)接于☉O.

（1）求圓心O到AF的距離；

（2）求正六邊形ABCDEF的面積.

綜合運(yùn)用【例2】如圖，A，P，B，C是☉O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°.（1）求證：△ABC是等邊三角形；

（2）若☉O的半徑為2，求等邊三角形ABC的邊心距.解：過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OB，則∠OBD＝30°，∠ODB＝90°.∵OB＝2，∴OD＝1，即等邊三角形ABC的邊心距為1.

本例先證明圓內(nèi)接三角形是等邊三角形，再利用圓

內(nèi)接多邊形的性質(zhì)求出邊心距，類似問題看上去比較簡(jiǎn)

單，但能將圓內(nèi)接正多邊形的概念及性質(zhì)充分運(yùn)用，若

再加深難度的話，可設(shè)計(jì)與面積有關(guān)的問題.

1.

半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心

距分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是（A）A.

a＜b＜cB.

b＜a＜cC.

a＜c＜bD.

c＜b＜aA

A.30°B.36°C.45°D.60°第2題圖D3.

如圖，A，B，C，D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為

正多邊形的中心.若∠ADB＝18°，則這個(gè)正多邊形的邊

數(shù)為

10

.第3題圖104.

一個(gè)正六邊形外接圓的半徑等于2

cm，則這個(gè)正六邊

形的周長(zhǎng)等于

12cm

.12cm

6.

如圖，等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于☉O，

則AD∶AB＝（B）第6題圖B

8.

如圖（1），正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O，閱讀以下作

圖過程，并回答下列問題：第8題圖作法如圖（2）.①作直徑AF.

②以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與☉O交于點(diǎn)M，N.

③連接AM，MN，NA.

（1）求∠ABC的度數(shù).

（2）△AMN是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由.解：（2）△AMN是正三角形.理由：連接ON，NF.

由題意可得FN＝ON＝OF，∴△FON是等邊三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°.同理可得∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形.（3）從點(diǎn)A開始，以DN長(zhǎng)為邊長(zhǎng)，在☉O上依次截取

點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值.

9.

如圖，☉O半徑為4

cm，其內(nèi)接正六邊形ABCDEF，點(diǎn)P，Q同時(shí)分別從A，D兩點(diǎn)出發(fā)，以1

cm/s的速度沿AF，DC向終點(diǎn)F，C運(yùn)動(dòng)，連接PB，QE，PE，BQ.

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.第9題圖（1）求證：四邊形PEQB為平行四邊形.證明：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F.

（2）填空：①當(dāng)t＝

2

s時(shí)，四邊形PBQE為菱形；②當(dāng)t＝

0或4

s時(shí)，四邊形P